LE CALCUL DES PROBABILITÉS

représente la certitude. Sans doute, si nous ne faisons qu'un petit nombre de tirages, le rapport des boules de chaque couleur tirées de l'urne peut différer plus ou moins du rapport des boules de chaque couleur qui sont dans l'urne. Mais, si nous faisons un grand nombre de tirages, le premier rapport reproduira le second à de petits écarts près, d'autant plus petits que le nombre d'expériences sera plus grand. S'il en était autrement, en effet, il faudrait admettre qu'il y a une cause d'un tel écart constant, et que nous avons donc supposé à tort que tous les cas possibles étaient également probables, (au sens vulgaire) ^

On peut appeler probabilité a priori celle qui se détermine ainsi quand on connaît d'avance les différents cas possibles et leur nombre.

Supposons maintenant que nous ne connaissions ni ces cas, ni leur nombre ; c'est ce qui arrivera si nous ne savons pas le contenu de l'urne. D'après ce que nous venons de dire, par des tirages répétés nous pourrons déterminer d'une manière très approchée le rapport du nombre des blanches au nombre des noires. D'après Quetelet, l'ordre de l'approximation croîtrait à peu près comme la racine carrée du nombre des tirages^. C'est ce qu'on peut appeler probabilité a

1. « Un jour, à Naples, un homme delà Basilicate, en présence de l'abbé Galiani, agita trois dés dans un cornet et paria d'amener rafle de 6 ; il l'amena sur-le-champ. Cette chance est possible, dit-on. L'homme réussit une seconde fois, et l'on répéta la môme chose. Il remit les dés dans le cornet trois, quatre, cinq fois, et toujours rafle de 6. « Sangue di Baccol s'écria l'abbé. Ces dés sont pipés 1 » et ils l'étaient. » Diderot, cité par Bertrand, Calcul des probabilités, p. 142.

2. « La théorie montre que la précision des résultats croit comme la racine carrée du nombre des observations d'où ces résultats sont déduits. Ainsi, toutes choses égales d'ailleurs, la pré-

16 L\ THEOBIE DE L HOMME MOrSN

posleriori. Or tel est le cas qui se présente quand nous interrogeons la nature. Alors, par hypothèse, la probabilité a ;??non n'intervient pas. Car, pour connaître à l'avance tous les résultats possibles d'une expérience, et leurs nombres respectifs, il est nécessaire d'avoir un critérium — d'aucuns diraient de connaître les causes — pour distinguer a priori ces différents cas. Ce critérium connu, nous n'aurions que faire du calcul des probabilités a posteriori K 11 n'en sera plus de même si nous voulons prévoir, pour un pays et pour une année déterminée, le rapport du nombre de naissances de garçons aux naissances de filles, par exemple. La nature est alors une urne qui ne nous a pas livré son secret, et nous aurons besoin des statistiques des années précédentes pour obtenir un nombre voisin du rapport inconnu.

Revenons maintenant à l'hypothèse où, le nombre des cas possibles étant limité, ces différents cas sont connus à l'avance (probabilité a priori). Imaginons une urne qui contient un nombre égal de boules blanches et de boules noires, et tirons plusieurs boules à la fois, ou plutôt l'une après l'autre en supposant que ce n'est qu'un tirage. Appelons a, a', a"... les noires, b, b', b"... les blanches, les accents indiquant le numéro du tirage.

cision croit comme les nombres 1, 2, 3, 4, etc., quand on calcule la mortalité d'après des décès dont les nombres croissent comme 1, 4, 9, 16, etc. ; ou bien encore d'après les décès d'une série d'années désignées par les nombres 1, 4, 9, 16, etc. On suppose que chaque année amène sensiblement le môme nombre de décès. » De l'appréciation, etc., p. 209.

1. Pour savoir dans quel sens un courant électrique va faire tourner une boussole, nous n'avons pas besoin de multiplier les expériences et de faire une statistique : la règle d'Ampère nous donne immédiatement la solution, si nous savons le sens du courant, et si nous avons distingué les pôles de la boussole.

LE CALCUL DBS PROBADILItMs 17

Si nous faisons seulement deux tirages, nous pourrons avoir :si la 1" tirée est noire, aa' on ab' — si lai '«tirée est blanche, ba' ou 66'. Les cas possibles seraient donc représentés par les termes du produit symbolique :

(a + 6) (a' + 6') = aa' + ba' + ab' + 66'.

Si nous ne distinguons plus l'ordre du tirage, il nous faudra faire a = a', b = b', et les cas possibles seraient représentés par les termes du développement de:

(a + 6) (a + 6) = (a + 6)2 = a^ -{-2ab -\- VK

Il n'y aura plus que 3 cas distincts, et leurs probabilités seront entre elles comme 1, 2, 1.

La somme de ces probabilités étant 1, la règle du partage en parties proportionnelles donne la valeur de chacune d'elles :

Si on avait tiré de même 3 boules, nous aurions eu comme cas possibles les termes du développement de:

aa'a" + aa'b" + ab'a" + a6'6" + a' . . . + bb'b"

et, en ne distinguant pas l'ordre des tirages, les termes de :

[a + 6)» = a» + 3 a^b + 3 aô^ + 6».

Il y a 1 + 3 + 3 + 1 = (1 + 1) » = 2=^ cas possibles et seulement 4 cas distincts. Leurs probabilités sont :

L L J. JL

Halow&chs, 2

18 LA THÉORIE DE l'hOIIHE MOTKN

et ainsi de suite. Pour 4, 5... tirages on a comme cas possibles les termes des développements de (a -+- 6)*, (a-\-by, etc., et les probabilités des cas distincts sont les coefficients numériques de ces développements divisés par 2* = 16, 2" = 32, etc. Ces coefficients numériques sont connus depuis longtemps. Newton en a donné une expression algébrique, mais avant lui Pascal avait indiqué un moyen méthodique de les former, connu encore sous le nom de triangle de Pascal *.

Cas poctibles. C«s dUtioeU,

Boules tiréss.

11 y a donc dans chaque cas (auquel correspond une ligne) une répartition parfaitement symétrique des probabilités de part et d'autre de la combinaison (ou des combinaisons) la plus probable ^.

1. On inscrit sur une première ligne le nombre 1 répété deux fois ; puis on calcule chaque nombre à inscrire dans les lignes suivantes en ajoutant au nombre inscrit immédiatement audessus de lui le nombre inscrit à la gauche de celui auquel on l'ajoute, en supposant les lignes prolongées à droite et à gauche par des zéros.

2. Quetelet voulut vérifler la théorie par l'expérience. En tirant une boule à la fois (et en remettant la boule tirée dans l'urne après chaque tirage), il fît successivement 4, 16, 64, 256, 1.024, 4.096 tirages. D'après la théorie, il aurait dû extraire successivement, 2, 8, 32, 128, 512, 2.048 blanches, et autant de noires : il tira 1, 8, 28, 125, 528, 2.066 blanches. Plus les observations ont été nombreuses, moins l'écart a été grand. Il tira ensuite. 2, 3,