T4 =VE—, Ÿ T

et on aura pour les composantes de la force qui agit sur une des particules :

yet, yes, ve.

Remarquons que ce potentiel est intimement lié à la fonction 2 que j'ai introduite dans le paragraphe précédent. Cette fonction peut évidemment être décomposée en un grand nombre de parties dont chacune est due à une seule des particules chargées. Si, dans le calcul de 2, on exclut la partie qui dépend de la particule pour laquelle on veut calculer la force, la fonction devient identique à œ.

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELI.. 95

Force électrodynamique agissant sur un élément d'un circuit linéaire.

$ 95. Dans l’étude des courants électriques qu’on peut observer par les moyens ordinaires, il ne faut pas perdre de vue que la plus petite partie d’un conducteur sur laquelle on puisse opérer contient toujours une multitude énorme de particules chargées: on peut même concevoir une partie de l’espace qui satisfait à cette dernière condition et qui peut néanmoins être regardée comme infiniment petite dans une théorie ayant pour objet, non pas le mouvement des particules individuelles, mais les effets d'ensemble qui sont accessibles à nos sens. Un tel élément de volume sera représenté par Dr, pour le distinguer d’un élément dr qui est infiniment petit dans le sens mathématique et peut par conséquent trouver place même à l’intérieur d’une seule particule.

Or, il est clair qu’en suivant une ligne droite de petite longueur, tirée dans un conducteur, on rencontrera en succession rapide des valeurs très différentes des fonctions f, g, h, uw, v, W, «, À, y, la droite se trouvant tantôt dans le voisinage immédiat ou rnême à l’intérieur d’une particule chargée et tantôt à une distance plus grande. Cependant, ces variations rapides n’ont aucune influence sur les phénomènes considérés ; ce qu’on peut observer dépend uniquement des valeurs moyennes, qu'on peut définir de la manière suivante :

Si l’on conçoit un élément sphérique D r ayant pour centre un point quelconque P, et qu’on prenne la valeur moyenne w qu’une fonction y présente à l’intérieur de D r, cette valeur y sera nommée la valeur moyenne au point P.

Evidemment, on aura

» 1 v=p;/vés

l'intégration s'étendant à la sphère Dr. Le résultat sera une

fonction de t et des coordonnées x, y, z du point P, et on démontre facilement les relations suivantes : Dy 0y Dy 0y dv dy dy 0y dt 0t 3æ dx’ 9y 0y’ D 02 Il en résulte que les équations

x Df \ 32 ty +98 — 0 dy dB d& dy 67 dy D: An 5, Da — 47% re 67 Of Ja

auront toujours lieu, si l’on entend par «, f, y, u, v et wles valeurs moyennes.

Il est clair du reste que P—Y si la fonction y ne présente pas de variations rapides à l’intérieur de l’élément D r. $ 96. La valeur moyenne de « ($ 75, d) est:

- 1 1 0 um pfesdr+ 5 sffar.

Si le mouvement des particules chargées est stationnaire, Î f dr ne change pas avec le temps et le dernier terme s’an-

nule. D'un autre côté, l'intégrale

fesar

peut être remplacée par ZeË, e étant la charge d’une particule, et la somme étant étendue

à toutes les particules de l'élément D x.

On trouve donc:

Ces expressions peuvent être interprétées de différentes manières. D'abord, on peut écrire: Zef—£, ËE +EÆ,E,, etc. en représentant par Æ, la somme de toutes les charges positives, par Æ, celle des charges négatives et par £, et £, les vitesses moyennes des particules positives et négatives. En second lieu, on peut considérer un élément de surface perpendiculaire à O X, et comparable quant aux dimensions à

Dr. La composante w sera égale à la somme des charges que possèdent les particules qui traversent cet élément, cette somme étant rapportée à l'unité de surface et à l’unité de temps.

En prenant pour u, v, w les valeurs (68) on déterminera par les formules (67) la force magnétique produite par un courant stationnaire.

$ 97. Concevons un champ magnétique quelconque et dans ce champ un circuit linéaire fermé s. Tant que les particules chargées contenues dans ce conducteur se trouvent en repos, les composantes «, f, ; auront partout les valeurs qui correspondent au champ magnétique donné; d’ailleurs, si ces valeurs sont constantes, on peut supposer f = g = h = 0.

Si maintenant on établit dans le circuit un courant électrique 1, l’état de l’éther et les valeurs de «, B, 7 en seront changés, mais on peut faire abstraction de ce changement dans le calcul suivant, qui doit faire connaître la force agissant sur un élément de la longueur D s '}, en tant qu elle dépend de l'état de l’éther qui existait déjà.

Remarquons que la force électrodynamique cherchée E est la résultante des forces que toutes les particules chargées de l’élément éprouvent de la part de l’éther. Le champ magnétique pouvant être considéré comme homogène dans l’étendue de D3, les équations (1) ($ 90) donnent:

E =; Z5ne—B£zte, EE, —azte—;ZE£Ee, E=fZzEe—xZEuye.

1) La lettre D indique ici la même chose que lorsqu'il s'agissait d’un

élément de volume Dr,

Les sommes doivent être étendues à toutes les particules qui se trouvent à l’intérieur de l’élément. Je représente par

. a w la section du conducteur, par C = — le courant, par !, m @

et n les cosinus directeurs de Ds.

Alors, des équations (68) on déduit:

Set=uwDs—=lCoDs—=liDs, Zen=miDs, Zel—=niDs:; donc :

z=i(my—nmf)Ds, E,=i(na— 1y)Ds,\...... . . . (69) E.—i(1f—ma)Ds.| |

Ce sont des formules bien connues, qui s'accordent avec les expériences.

Remarques sur les formules (I).

$ 98. Si, au point de vue où nous nous sommes placés au paragraphe 91, on veut faire une hypothèse convenable sur la force qu'une particule chargée e éprouve de la part de l’éther, il est tout d’abord probable que cette force se composera de deux parties, dont l’une sera en jeu dans les cas de l’électrostatique, tandis que l’autre provient du mouvement de la particule. Les deux parties doivent dépendre de l’état de l’éther au point où se trouve la particule: la première partie sera donc déterminée par le déplacement diélectrique. Or, lorsque toutes les particules chargées se trouvent en repos, les composantes de ce déplacement, en tant qu'il est produit par toutes les particules, à l’exception de e, sont ($ $ 93 et 94)

Î= 7 5x 17 4x V5y = Ar 0e

et l'expérience démontre que la force a pour composantes:

| y 0 y 4 0 p V 9 y — TT 9 ———— —Tr— 9 ——— TL 9 6 0 + dy € 0 z

ce qu'on peut mettre sous la forme An V'ef, 4x V'eg, 4x V'eh.

Il est donc naturel d'admettre que dans tous les cas la première partie de la force peut être représentée par

4 x pr fefdr, 4 x pr fear. 4 7 Vi fehar.

Quant aux composantes de la seconde partie, elles doivent donner lieu à la force déterminée par les formules (69); la plus simple supposition qu’on puisse faire à leur égard est exprimée dans les derniers termes des équations (I).

Les deux parties de la force pourraient être distinguées par les noms de force électrostatique et de force électrodynamique. Il importe cependant de faire ressortir que la première partie dépend, elle aussi, du mouvement des particules dont on considère l’action.

Induction dans un circuit fermé.

$ 99. Nous allons appliquer les formules fondamentales à l'induction qui est produite dans un circuit, soit par un mouvement dont il est animé lui-même, soit par un changement du champ magnétique où il se trouve. L'état de l’éther, variable dans ce dernier cas, sera regardé comme donné, et nous ne nous occuperons pas de la modification qu'y apporte le courant induit.

Calculons la force pe qui agit, dans la direction du circuit 8, sur une particule e. En nommant £,,7,,6, les composantes de la vitesse du point du circuit où se trouve la particule, v la vitesse relative de cette dernière par rapport au conducteur, !, m, n les cosinus directeurs de ds, on aura:

EE, +vl, p=m +vm, =, +vn | 7*

et, d’après les formules (1):

pe=XI+Ym+Zn—=4xV'e(fl+gm+hn) + L, mn, +elË,,n,,6, 1.

a, 6, y En divisant par e, on obtient la force » rapportée à l'unité de charge; ce qu’on appelle la force électromotrice induite dans le circuit est ensuite donné par

P=fpds

$ 100. Soit 5 une surface fixe sur laquelle le circuit est situé dans les positions qu’il occupe aux momentstet { + dt, et considérons l'intégrale

Î H, do étendue à la partie de cette surface qu'il embrasse. Pendant le temps dt, cette intégrale subit ui accroissement d Il H,do, qui peut être décomposé en deux parties. La première partie, d, Î H,d5, n’est autre chose que Î d H;:d5; c’est l’accroissement que l'intégrale éprouverait si le circuit ne se déplaçait pas. La seconde partie, d, Î H; do, provient du changement de

l'étendue de la surface. En désignant par do’ les éléments nouveaux qui sont admis à l’intérieur du circuit et par d5” les éléments qui en sont exclus, on aura:

d, [més=z H, do — > Hyde”.

Ceci posé, on peut déduire des équations (V): d, [H, do ———

D'un autre côté, la valeur absolue du produit

4x V'[(fi+gm+hn)ds= —

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELIT, 101

Um, nl E,,%156: dsdi la, À, y

représente le volume du parallélépipède ayant pour base l’élément do ou do” qui est décrit par ds et pour arête le vecteur H ; elle sera donc égale à la valeur absolue de H, d 0° ou H, d 6”. En ayant égard aux signes algébriques, on trouvera :

équation bien connue de la théorie de l'induction.

Pouvoir inducteur spécifique.

$ 101. L'influence des diélectriques pondérables dans les phénomènes de l’électrostatique s'explique par la supposition que les molécules de ces corps contiennent des particules chargées qui peuvent être déplacées par des forces extérieures. Pour simplifier, j'admettrai les hypothèses suivantes, qu’on pourrait cependant remplacer par d’autres plus générales :

a Si toutes les particules chargées d’une molécule se trouvent dans leurs positions naturelles, elle n’exerce aucune influence sur d’autres molécules, même sur celles qui sont les plus voisines.

b. Il n’y a dans chaque molécule qu’une seule particule chargée qui puisse être déplacée de sa position d'équilibre P. Si cette particule a la charge e, il faut, d’après l'hypothèse a, que l’ensemble des autres particules exerce la même action électrostatique qu’une charge — e au point P, Si donc la particule mobile a pris la position P”, la molécule entière équivaut à un système formé de deux particules aux charges + e et — e, l'une se trouvant au point P' et l’autre au point P. Un tel système sera nommé un couple électrique; le produit

m—=ex PP’

est ce qu’on nomme le moment de ce couple. Cette quantité est regardée comme un vecteur dont la direction est celle de la ligne P P’.

Les composantes du moment sont Mr ex, My—ey, M —ez, x, y, z étant les projections du déplacement P P.

c. Ces dernières lignes seront considérées comme très petites, même par rapport à la distance des molécules les plus voisines.

d. Dès que le corpuscule mobile a été déplacé, les autres parties de la molécule exercent une force qui tend à le ramener vers la position d'équilibre. Je prendrai pour les composantes de cette force:

— Î X, — Î Yo — Î Z; f étant une constante qui dépend de la structure de la molécule. Du reste, ce coefficient et la charge € seront regardés comme ayant les mêmes valeurs dans toutes les molécules d’un même isolateur homogène.

Si (4, Ÿ, 3) est la force que toutes les particules chargées qui se trouvent au dehors de la molécule considérée exercent sur une particule à unité de charge placée au point P, la particule mobile sera en équilibre si

tx ce) Œs

X = f , Ÿ= + 2 = + et on aura e? e? e?

Me + %, m,— + Ÿ, m:—= FT 3... .. (70)

$ 102. Voici le problème qu'il faut résoudre pour se rendre compte de l'influence d’un diélectrique homogène et isotrope dans les phénomènes électrostatiques.

Un système de conducteurs est placé dans un diélectrique qui s'étend à l'infini, et chaque conducteur est maintenu à un potentiel donné. Déterminer les charges.

Remarquons d’abord que le potentiel g en un point quelconque d’un conducteur, c’est-à-dire la somme

peut être décomposé en deux parties w, et ,, l’une étant produite par les particules chargées qui se trouvent sur les conducteurs eux-mêmes, et l’autre par la ,polarisation” des molécules du diélectrique. Je commencerai par calculer la valeur de œ, dans un point Q extérieur au diélectrique, et, pour m'exprimer avec plus de clarté, je désignerai par Ds, D 5, Dr des éléments dont les dimensions sont très grandes par rapport aux distances moléculaires

Saient x, y, z les coordonnées d’un point dans le diélectrique, x’, y’, 2’ les coordonnées du point Q, r la distance de ces deux points, À le nombre des molécules par unité de volume, mz, my, m: les valeurs moyennes ($ 95) de m., m,, m. au point (x,y,2),, Nm.=M., Nm,=M, Nm. =M..

Le vecteur M est alors ce qu’on peut appeler le moment électrique rapporté à l’unité de volume.

Un calcul très simple donne pour la partie de y, qui est due à une seule molécule

im? (L}+m 2 (L)+m 2 (2)!

| “ox ) *0y -)+ er = )+

et pour celle qui provient d’un élément Dr

u do fi o fi . do fi\] V\M—(—)\+<M—(—)\+M — Me (S) Mm(>) M ()i2

La valeur cherchée sera donc

| o f1 o /1 o f1\, “= \ — ns nr ——.——. — ; n=pfini()+ms(s)+n (+)ior

et, en intégrant par parties, on arrive à l'expression suivante:

m=—vf%Ds— vf (+ 5 +55)Dr

Dans ce calcul, on s’est borné au cas à où la plus petite valeur de x est encore très grande par rapport aux distances

moléculaires. Cela n'empêche pas que cette valeur ne puisse être très petite par rapport aux dimensions des conducteurs; la formule peut donc être appliquée à des points Q qui se trouvent dans le voisinage immédiat de la surface.

La première intégrale doit être étendue aux surfaces qui limitent le diélectrique, la normale n# étant dirigée vers l’intérieur de ce corps.

Du reste, la formule peut être interprétée ainsi:

En ce qui regarde les actions exercées sur des points extérieurs, le diélectrique peut être remplacé par un système ordinaire de particules chargées, distribuées d’une part sur l’espace r occupé par l’isolateur, d’autre part sur les surfaces o qui le limitent, les densités de ces distributions étant:

— e + + 57) et —M:...... (71) $ 103. Soit q le potentiel total qui serait produit en un point quelconque par la distribution dont ïl vient d’être question et par les particules chargées qui se trouvent sur les conducteurs. Cette fonction coïncidera avec le potentiel réel des conducteurs, et on verra bientôt qu’elle peut être employée dans la discussion de ce qui se passe à l’intérieur du diélectrique.

Si les distributions de particules chargées déterminées par les expressions (71) existaient réellement, une particule à l'unité de charge éprouverait une force aux composantes:

Op 0 y A Vs ner VS:

Pour qu'il y ait équilibre, il faut qu’à l’intérieur d’un con— ducteur p = const.

d'où on déduit que les particules électrisées qui constituenla charge d'un conducteur formeront une couche très mince» à la surface. Je désignerai par

la charge totale de la partie de cette couche qui correspond à l'élément Do. Comme, dans le calcul du potentiel w, il y a à considérer deux couches très-minces juxtaposées, qui par unité de surface présentent les charges S et — M,, il résulte d’un théorème bien connu que, en un point qui est séparé du conducteur par la seconde couche mais en est néanmoins très voisin,

À cette condition on peut ajouter l'équation:

M 0M., =) d x dy oz)” qui doit avoir lieu dans tout l’espace occupé par le diélectrique. Enfin, la fonction q ne présentera aucune discontinuité. On arrivera ($$ 107 et 108) à la solution du problème proposé ($ 102) si on combine ces formules avec celles qui ex-

Se e + et que nous allons déduire ($$ 104—106) des équations (70).

$ 104. Pour calculer les forces #, 9), 3 qui entrent dans ces dernières formules, je décris dans le diélectrique une sphère B qui a son centre dans la molécule considérée et dont le rayon est très grand par rapport aux distances moléculaires, tout en étant si petit que les fonctions M., M,, M:, Me US 2 M: peuvent être considérées comine constand x dy 0 2 tes à l’intérieur de la surface. En appliquant à la partie du diélectrique qui est extérieure à la sphère le théorème du paragraphe 102, on voit que la force (%X, Ÿ), 8) se compose de plusieurs parties, qui sont produites respectivement par:

a. les charges des conducteurs:

‘b. les charges superficielles aux densités — M, dans le voisinage immédiat des conducteurs;

c. la distribution à densité

Ap=4rV

priment M:, M,, M: en fonction de

(55 ++) y ee +... (74)