CHAPITRE VI

Propagation de la lumière dans un diélectrique pondérable qui se trouve en repos.

Nature du problème.

$ 109. Il s'agira dans ce chapitre des mouvements oscillatoires que les particules chargées peuvent exécuter dans les molécules d’un diélectrique. Accompagnées de changements périodiques dans l’état de l’éther, ces vibrations constitueront un faisceau lumineux, dont je me propose d'étudier la propagation.

Pour simplifier, je supposerai de nouveau ($ 101, b) que chaque molécule ne contienne qu’une seule particule chargée mobile. Pour en étudier le mouvement, il faudra tenir compte des forces exercées par l’éther et données par les formules (I) ($ 90); d'autre part, les équations (II) —{(V) serviront à déterminer l'état de l’éther qui est compatible avec le mouvement des particules. Dans tous les points qui sont extérieurs aux particules ces équations se réduisent à la forme plus simple:

Sy 0e "54 52 52 "5 28 da, 0h (85) x dy — ”"9t?

9g À & Oh of of 2 [2 —, —— ——— + 0 4x p (5 — 34 an (5 52) 5€’

$ 110. Supposons, pour un moment, qu'il n’y ait qu’une seule particule chargée, qu’elle soit animée d’un mouvement donné

et qu’on soit parvenu à un système de valeurs f,, g,, h;, «y, Pr, 7,. qui satisfait, à l’intérieur, aux équations (IT)—(V; et, à l’extérieur, aux équations (85).

Supposons, de plus, qu'on ait trouvé un système analogue Îas ns Res 2, Ba, 72 pour le cas où une autre particule se déplace à travers l'éther, cette autre particule étant à son tour regardée comme la seule qui existe.

Alors, il est clair que les valeurs :

f=f +fs9=9 + h=Rh + h,,

aa, +a P—É, + br, 7=7, + 7:

satisferont à toutes les conditions du problème, si les deux particules existent simultanément.

Ce théorème peut être étendu à un nombre quelconque de particules chargées. On cherchera, pour chaque particule, un système de valeurs de f, g, h, «, B. 7, qui soit compatible avec son mouvement — en raisonnant comme si les autres particules n'existaient pas — et on combinera toutes ces solutons par simple addition.

Du reste, il ne faut pas croire qu’on trouverait ainsi l’état réel de l’éther. En effet, aux valeurs de f, g, h, «, B, 7, on peut toujours ajouter des valeurs quelconques qui satisfont aux équations (85).

$ 111. On peut trouver deux états différents de l’éther qui sont compatibles avec les vibrations d’une particule chargée. Dans le premier, la particule est le centre d’un ébranlement qui se propage en dehors; dans le second, des vibrations de l’éther se dirigeront de tous côtés vers la particule dont elles chercheront à maintenir les oscillations. Nous nous occu- Perons seulement des solutions de la première espèce, qui se Présentent immédiatement à l'esprit. En effet, supposons qu’une Source lumineuse commence à un certain moment à émettre de8 vibrations. Ce mouvement se propagera dans l’éther et atteindra à un instant déterminé la première particule chargée du diélectrique. Aussitôt, les forces déterminées par les formules (I) ($ 90) entreront en jeu ; elles déplaceront la particule et, conjoin-

tement avec les autres forces auxquelles elle est soumise, en détermineront le mouvement. Mais, en vertu de son agitation, la particule devient elle-même le centre d’un ébranlement qui se propage dans toutes les directions et se superpose à l’état de l’éther déjà existant. Au moment où elle est atteinte par les vibrations électriques de l’éther, chaque molécule suivra l'exemple de la première, et en définitive des vibrations émaneront de toutes les particules chargées.

Il importe cependant de remarquer qu’on peut opérer avec une solution particulière quelconque qui s'accorde avec le mouvement des particules, pourvu seulement qu’on rétablisse la généralité nécessaire en ajoutant à cette solution une autre, qui satisfait partout aux équations (85).

Si, dans les pages suivantes, il est question du mouvement que ,produit” une particule vibrante, cela servira simplement à indiquer une solution particulière qui est compatible avec les oscillations.

ee ee ne

Vibrations dans l’éther produites par une seule molécule.

$ 112. Des équations (I1)—{(V) ($ 90) on peut éliminer cinq quelconques des variables fig h, a, P, 7.

On trouve ainsi:

d°f o (e Ë) praf— si vriS+ Rs, ete... .. (86)

Praa— 4 n Vi (5e +), ete... (87)

En appliquant ces formules à une molécule qui contient une particule mobile P, je me bornerai à un cas bien simple; c’est celui où les écarts de la position naturelle sont infiniment petits par rapport aux dimensions de la particule ellemême. Hâtons-nous d’ajouter que les résultats resteront vrais

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELI.. 115

si l’amplitude des vibrations est beaucoup plus grande, pourvu seulement qu’elle soit très petite en comparaison des distances moléculaires. Cette extension de la théorie ne se trouvera pas dans le chapitre présent; elle sera reléguée à la ,Note additionnelle” qui terminera ce mémoire !). J’ai pris ce parti dans l'espoir de faciliter ainsi la lecture et de faire mieux ressortir les traits essentiels de la théorie que je désire proposer. D

$ 113. Soient: x, y, z les projections du déplacement de la particule mobile et o, la densité électrique au point (x, y, 2), dans le cas où elle a sa position naturelle. Alors, on aura dans les formules (86) et (87)

et, comme ces dernières quantités sont, par supposition, infiniment petites, ainsi que x, y. z.

pa __ J — 2 Co SO SO 90 af C y G£ 0 x? Y5%x0y — re)

E da | UT Ce __ 2% 4 V'A« TE —= 4 x V? dt 9: nie) etc. (91)

Lorsqu'on a en vue les valeurs de f, g, h, «, B, 7 qui dépendent de la particule mobile seule, il faut admettre qu’en dehors de l’espace qu’elle occupe,

Pa lo, etc., Viaa——<=0, etc., ou bien, si on veut appliquer les formules (90) et (91) à l'espace tout entier, il faut poser e, = 0 dans tous les points

extérieurs.

1) Dans cette Note il sera toujours question d’un diélectrique qui se déplace, mais on peut, dans toutes les formules, supposer nulle la vitesse de ce déplacement.

& 114. Les équations (90) et (91) peuvent être mises sous la forme !):

ff pr 00 pr" (@x) | 9° (e y) Praf—z, Mir" 0x 0y 9? z 0? (o,x 2 "Re, etc. . (92)

et 0? œ (92 (eo y) __ 9? {eo 2) 2 — = 2 O1 — te. . (93 Pau dr Sy oi (8) On y satisfera en introduisant quatre fonctions auxiliaires

@, {3 X2s Ys, AU moyen des conditions:

Viaw— Por. (94) Pay — een Van =e, ray; — =, . (95) et en posant JET TE +2 bg oe Del + Da de (09)

a—4nv ÉTAT ETET La densité o, est indépendante du temps; il en sera donc de même de la fonction w, et elle sera déterminée par la relation :

etc. . . . . (97)

On s’assure facilement que les valeurs (96) et (97) satisfont aux équations primitives ([1}—(V). On trouve, par exemple,

5 )Van-$) si Van — 9 @o 9 @ 9 @ T Le dx Y5y 0z *

1) En effet, », est indépendant du temps, et x, y et z sont indépendants de x, y, z.

$ 115. D’après les formules (96), les fonctions f, get contiennent les termes De pi20 yd® d x 0 y 02 qui sont indépendants du mouvement de la particule. Or, tant que cette dernière est maintenue dans sa position d’équilibre, la molécule entière dont elle fait partie n’exerce aucune action sensible en des points qui sont situés à quelque distance, par exemple, dans une molécule voisine. Il s'ensuit qu’en de tels points les parties immobiles de la molécule produisent un déplacement diélectrique égal et opposé à celui qui a pour composantes les expressions (99). Si donc on convient d'entendre par f, g, h, «, 5, ; les valeurs qui sont dues à la molécule entière, on aura à quelque distance,

Loreeeee (99)

OZz0t Dyot Quant aux fonctions y, elles peuvent être déterminées à l’aide des théorèmes qu’on trouvera dans les deux paragraphes suivants.

ne d?

—— y Ar, SU = PTT + 550y +520 op ete. (100) | 2 2 ax =4A rx V? 9° 42 9° 43

|, ete. . . . (101)

Théorèmes mathématiques.

$ 116. Soient: r’ un espace limité par une surface quelconque os; dr un élément de volume situé au point variable (x,y',2); (x, y, 2) un point qui est situé dans l’espace r' et qui est regardé comme fixe si on veut effectuer les intégrations dont il s’agira tout à l'heure; U (x, y’, 2, x, y, 2) une fonction qui est finie et continue pour toutes les valeurs des coordonnées, excepté pour

SEXY =Y =2.

Considérons l'intégrale :

I1= [ U (x',y,2,x,y,z)dv,

où l'indice rindique qu’il faut exclure du champ de l’intégration une sphère b, à rayon r, ayant pour centre le point (x, y, 2), Je rayon étant toujours le même quelle que soit la position de ce dernier point.

L'intégrale sera une fonction de x, y et z, et on a le théorème que voici:

= fe—audr+ [dr Lee (102) où la première intégrale est étendue à la surface de la sphère. Démonstration. Soient :

À le point (x, y, 2), B le point (x + à, y, z), à étant une longueur infiniment petite, T4 et 18 les valeurs de l'intégrale relatives à ces deux points. . Il s’agit de calculer:

0 I __Ip—l4 dt à

Supposons qu'en déplaçant le point (x, y, z) de À vers B on donne, en même temps, une translation égale à tous les éléments d r’. L'ensemble des éléments déplacés, que je nommerai (d r’)}, constitue un espace qui est limité à l’intérieur par la sphère b décrite autour du point B, c’est-à-dire par la sphère jusqu’à laquelle il faut étendre l'intégrale Ip, et à l’extérieur par une surface (6) qui n'est autre chose que la surface o déplacée sur une distance 6.

Il en résulte que, pour changer 14 en Jp, il faut d’abord remplacer, dans la fonction U, + et x par x + à et x + à; de la valeur ainsi obtenue il faut retrancher l’intégrale

fuerrampadr

étendue à la zone qui se trouve à l'intérieur de (6) et à l’extérieur de 5, et il y faut ajouter une intégrale analogue relative

à la zone qui est à la fois extérieure à («) et intérieure à 0. Tout ceci se traduit par la formule

I fou à = dr + <= de — [Ucos(n,z)d6,. (103)

dans laquelle n désigne la normale à la surface, menée vers

l'extérieur. La première intégration peut être effectuée. On trouve:

[5 Sdr= [U cos (n, x) do — L fe z —x) Ud b, d’où il suit:

=. — {fe-2 vav+f; ar. C. Q.F. D.

Remarquons que cette relation doit avoir lieu quelque petite

que soit la valeur de r. En désignant par l la limite vers

laquelle tend L quand on diminue de plus en plus le rayon,

on aura :

SE fuar = tin [if Je —2) Udr|+f; dr (104)

Du reste, cette formule est encore applicable si l’espace 5° s'étend à l’infini, ou si, cet espace étant limité, le point (x, y, 2) se trouve à l'extérieur. Le dernier de ces deux cas rentre dans le premier lorsqu'on suppose que l’espace r' est infini mais que la fonction U s’annule dans une certaine région. Si le point (à, y, 2) ppartient à à cette région, on aura:

[ua far

$ 117. rréorème. Employons de nouveau les notations du paragraphe précédent, et représentons par r la distance des points (x, y, z) et (x’, y, z’), par F une fonction finie et continue. Je dis que la fonction 1 1

1 gnpi]r Fe va)dr

satisfait à l'équation :

V? Ay— E = F(i,x, y.

Démonstration. Le théorème précédent donne:

1 a) \1 r CN: ’

Ar pi 5}, rte— péye)fdr.

Pour déterminer la limite, on peut, dans le premier terme, remplacer

F @— 7? , T,Y,2) par F(i,x,y,2).

On voit alors que ce terme s'évanouit et que Ô 4 — D or | ’ 5x — y f 5 À —F(t-S, #,y,#)ldr, d’où il suit, np une nouvelle application de la formule (104),

dy — 5 = js Vi lin [fe - 0 15 Fe v.2)]@ | F 2° — ps [EF À, PAT 2)}dr .... (105)

Soit F(t, x, y, 2) la dérivée de Æ'(t, x, y, 2) par rapport à t. Alors:

1 r poor on | 2 ar Ft- ave |= —L ? T ( / Ep Fi pars),

ce que, dans Île premier terme du second membre de (105), on peut remplacer par :

F (é TT 12 æ, UE C4 )—