TT — TZ

Fa

En définitive :

Il y a des formules analogues pour

0? y 0? y 2 __#h 2 | 4 Sy t 52 ) et comme:

dy 1 2? (1 Toro nlas

A = an vifonlr FU payie)jér on trouve:

Pray—ss = F(i,x,y,s) —

1 0? \1 T ro or / nmf(ra-s)hre- paretdr.

Or, un calcul direct nous apprend que

(ra-à ii (ns 471 #)|=0: (106)

donc:

Pay T=Faye. CQF.D.

$ 118. La proposition que je viens de démontrer peut être regardée comme une extension du théorème de Poisson, qui joue un rôle si important dans la théorie du potentiel et auquel on revient en supposant que la fonction F ne renferme pas le temps {. De même, la formule (106), que, sans en diminuer la généralité, on peut remplacer par

(ma) Ë F(i- F)1=0. .. (107)

est analogue à l'équation de Laplace . pour la fonction *.

Cette formule (107) est connue depuis longtemps: après l'avoir trouvée, il est tout naturel de rechercher ce que devient

af= F(&,Y,#)dr si on y remplace

1 nor F(,y,2)

par

1 ET Etes ):

Détermination de y,, 4, 42 et dé f,g, h, a, B, 7.

$ 119. Le théorème du paragraphe 117 conduit immédiatement à une solution des équations (95). Soient: À le point (x, y, 2) situé à l’extérieur de la molécule et pour lequel on veut calculer les valeurs des fonctions relatives au temps {, B un point de l’espace occupé par la particule mobile, d Tr’ un élément de volume au point B, e, la densité électrique en B lorsque la : particule a sa position naturelle, r la distance À B, (x, y, 2)

le déplacement à l'instant ti — 2. On aura:

| 1 fey,, n=-ppf dr, = fear, = — 7 ÿ5 fe” dr, . (108)

où les intégrales doivent être étendues à toute la particule vibrante.

A la rigueur, ni r, ni, par conséquent, x, y, z n'auront les mêmes valeurs pour les différents éléments d r’. Vu, cependant, l'extrême petitesse, par rapport à la distance À B, que nous attribuons à la particule, on pourra remplacer tous les 7 par la distance de À au point où se trouve le centre de la particule dans sa position naturelle. C’est cette distance qui sera désignée par r dans les formules qui vont suivre.

En représentant par (m2, m,. m:) le moment électrique

($ 101) à l'instant — on trouve:

x , , ex m far = fadr=e= —, etc.

et finalement, au lieu des expressions (100) et (101),

0? fm, 2? (5), Te) + d x =) +5 d2 —) =

er } . (109) = (FT 7 yo r

LE , etc. . . . (110)

Ces expressions peuvent encore être appliquées lorsque, contrairement à la supposition du paragraphe 112, l’amplitude des vibrations est plus grande que le diamètre de la particule, tout en restant beaucoup plus petite que la distance r. C’est ce qu’on verra démontré dans la Note additionnelle.

Intensité de la force qu'une particule vibrante éprouve en vertu de l’état de la molécule dont elle fait parie.

$ 120. Les valeurs (109) et (110), portées dans les formules (D) ($ 90), peuvent servir à déterminer la force que l’une des molécules exerce sur la particule mobile qui appartient à une autre; nous en déduirons bientôt ($ 125) l’action qu’une particule déterminée P subit de la part de toutes les molécules environnantes. Cependant, avant d'aborder ce calcul, nous allons considérer la force à laquelle elle est soumise en vertu de l'état de l’éther qu’elle excite elle-même.

À cet effet, il est nécessaire d’étudier jes valeurs que les fonctions f, g, h, «, B, 7, déterminées par les équations (92) et (93), présentent à l’intérieur de la particule.

On peut toujours employer les formules (96), (97) et (108); seulement, ces dernières se simplifient, parce que, dans le problème actuel, r est tout au plus égal au diamètre de la particule, et, par conséquent, extrêmement petit par rapport à [a

longueur d’onde. La quantité = n’est donc qu’une fraction 1n-

signifiante du temps d’oscillation et il est permis, dans les formules (108), de remplacer x, y, z par:

Ts: ru Te — + X V— — + 2

[ ; V y 3 V Ü si l’on convient d'entendre par x, y, z, x,y,z les valeurs relatives au temps ti.

Comme, d’après la formule (98),

— 1 @o P—— nl dr on trouve:

1 | fe np fe ar —Sfodrl=xo + Ts cote.

Substituons dans les formules (1), en ayant égard à la relation (88) et à ce que x, y, z sont regardés comme infiniment petits. Il vient pour la première composante de la force cherchée, si on remplace x par £,

are sie xfre(e se) dr — IÉPACE d : 2œ\; u dy & 5% F— 3e 5) e]+ + 4 V'foodr +Ëe for

Ici, la première intégrale est 0, parce que la distribution des fonctions o, et w est symétrique autour du centre; il en est de même des trois intégrales suivantes, puisque 0. s’annule à la surface de la particule. On trouve, par conséquent, pour les composantes de la force cherchée:

e E e? ° 4 x Pr Efe vtr + 27 el ee (111) Si le mouvement de la particule est une vibration simple, les signes des dérivées E, q, t sont opposés à ceux des vitesses £, 7, &. La force aux composantes ee? 7 e?

LR

s'oppose donc au mouvement. Il est naturel qu’il y ait une

te

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELI. 125

telle ,résistance” : sans cela, en effet, la particule ne pourrait céder de l'énergie à l’éther.

Aussi bien que les formules (109) et (110), les expressions (111) restent applicables lorsque les excursions dela particule sont plus grandes que le diamètre. (Voir la Note).

$ 121. Quant à la force avec laquelle les parties immobiles de la molécule agissent sur la particule qui est déplacée de sa position d'équilibre, je m'en tiendrai à l’hypothèse du paragraphe 101. Les composantes en seront représentées de nouveau par

Détermination de la force totale qui agit sur une particule vibrante.

$ 122. Le calcul de la force que la particule mobile contenue dans une des molécules éprouve de la part de toutes les autres molécules ressemble beaucoup à celui qui nous a servi à l'évaluation du pouvoir inducteur spécifique. . Je désignerai de nouveau par

M, My, Me les valeurs moyennes de m., m,, m- ($ 102) et par M-—= Nm, M =Nm,, M—=Nm.

- les composantes du moment électrique rapporté à l’unité de volume. Ces composantes seront des fonctions du temps et des coordonnées; elles ne présenteront plus les changements brusques et irréguliers ($ 106, a) qu'on trouve dans les moments Mz, m;, M2.

Il importe de remarquer que, lorsqu'il s’agit de fonctions telles que M:, M,, M, on peut attacher aux signes Le ee , & une signification un peu différente de celle qu'ils avaient

e e L 2 Li d M , e jusqu’ici. Pour obtenir, par exemple, 3 , on peut considérer

une ligne PQ = Dx, parallèle à l’axe des x, et qui, loin d’être infiniment petite dans le sens rigoureux du mot, est beaucoup plus grande que les distances moléculaires. Il suffira que, dans l'étendue de cette ligne, le changement de M, soit très petit par rapport à ce moment lui-même; alors, on pourra prendre pour = le quotient qu’on obtient en divisant par Dzx la différence des valeurs de M: aux points P et Q. Evidemment, dans les problèmes qui nous occupent, la condition à remplir ‘ revient à ce que Dzx doit être une très petite fraction de la longueur d’onde.

Un signe spécial pour indiquer les différentiations prises dans ce sens nouveau me semble superflu; dans chaque cas particulier on comprendra facilement ce qu’il faut entendre

Ô Ô ù par . 57 , 5 y , 52 .

$ 123. Je considère un diélectrique pondérable, homogène et isotrope, qui est limité par une surface 6, et je me propose d'établir les équations différentielles auxquelles doivent satisfaire M, M,, M. à l’intérieur de ce corps. Des mouvements électriques Peuvent également avoir lieu à l’extérieur de la surtace, mais il n’est pas nécessaire de supposer quelque chose à leur égard.

Soit M une molécule située au point (x, y, 2). La particule mobile qu’elle contient est d’abord soumise aux forces (111) et (112) et, en second lieu, à une force qu’on calcule en prenant, dans les formules (I) ($ 90), pour f, g, h, «, B, 7 les valeurs qui existent indépendamment de la molécule M ellemême. Toutes ces valeurs peuvent être regardées comme constantes dans l'étendue de la particule et les formules (I) prennent, par conséquent, la forme

X=A4nV'ef+e(ny —6B), ete. .... (113)

Je construis de nouveau la sphère B dont il a été question dans la théorie du pouvoir inducteur spécifique ($ 104), et je

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWEÏLT.. 127

décompose les valeurs de f, g, h, «, B, 7, X, Y, Z dans Îles parties suivantes :

a. celles qui sont produites par les molécules du diélectrique, extérieures à la sphère B:

b. celles qui sont dues aux molécules à l’intérieur de la sphère — la molécule M elle-même étant toutefois exceptée ;

c Célles qui sont indépendantes de toutes les molécules nommées.

Je supposerai que dans l'étendue entière de la sphère les moments M:, M,, M. ont sensiblement des valeurs constantes. Cela exige que le rayon À soit très petit par rapport à la longueur d’onde.

Si, après avoir calculé les valeurs de f, g, h, «, B, 7, etc. pour une molécule M, on veut passer à une autre molécule, ‘on construira autour de celle-ci comme centre une nouvelle sphère B, égale à la première.

$ 124. Soient: D 7’ un élément de l’espace r’ compris entre les deux surfaces B et 5,

æ', y, z les coordonnées du centre de cet élément,

M'-,M',, M’: les valeurs des moments électriques dans ce point,

r la distance du point (x, y, z’) au point (x, y, 2).

En vertu de l'équation (109), la première composante du déplacement diélectrique produit par toutes les molécules de cree r’ a, dans la molécule M, la valeur:

IE (+) + : )+ (7 )d x dæ0y 5S J 2 1 9? M’ 5e (5)]pr.

où il faut entendre par M':, M',, M: les valeurs qui corres-

pondent au temps { — . .

Mais, en appliquant le théorème du paragraphe 116, on trouve:

2 Me, 1 | > (M fror=-fe-aups+f;(E)pe,

Ô M’. 1 nm M’. , = | Dr = [5 (9) 27. + (114)

parce que, en intégrant sur la surface sphérique, on peut remplacer M’; par la valeur M: qui existe au centre au moment f. Une nouvelle application du même théorème donne :

Me, if, > (M:

sa Dr 5e - Dos

ou bien

+ ee (e Dr = rm fs (5 Dr (115) On a, au contraire, M) 2? /M,\,., Z ir? 5e 5 Dr.

une — Men.

M’. M’ — | — =] — | = )Dr!.

fr: (pr Posons :

| [or =. fem, [n-=m.

alors :

j= ges [SE + PSE "Tr 5e F5z0y 5x 02

ee | . (116)

On trouve de la même manière :

Me 0... (117) dyot ydt Dz dt

$ 125. Lorsqu'on veut calculer les forces (113), il faut multiplier par 4x V?e l’expression (116) et par ey ou eË la valeur de «. Or, les fonctions M,, M,, M seront en général du même ordre de grandeur. En outre, lorsqu'il s’agit d’un faisceau lumineux, elles seront périodiques par rapport au

temps, la période étant égale à la durée 9 d’une vibration, et elles présenteront une variation considérable et même un changement de signe si on passe d’un point à un autre qui en est éloigné de la demi-longueur d'onde. Si la longueur d'onde est représentée par À, l’amplitude par à et une quelconque des fonctions M,, M, De par M, on aura

RE) «2 D 1m À

Il en résulte que les derniers termes des expressions (113) divisés par les premiers termes, sont de l’ordre:

Comme à est beaucoup plus petit que la longueur d’onde on peut se borner aux termes 4 x V'ef, etc. et écrire pour les composantes de la force que la particule mobile subit de la part de toutes les molécules qui se trouvent dans l'espace 7’:

4 .,, 219 02M, .o2M, 1 o2M gr PeMe+ Ve pi 520 002 Vi on =], q18 etc.

$ 126. Soient Jos Jos Ros os Pos Fo les composantes du déplacement diélectrique et de la force magnétique qui existent indépendamment des molécules incluses dans la surface 0. Les équations (85) démontrent que les rapports

æo Po fo” fo” sont de l’ordre W, ce qui donne lieu à la même simplification que j'ai fait connaître au paragraphe précédent. Je prendrai donc pour les composantes de la force qui est due à cet état de l’éther:

An V'ef,, 4x Veg,, 4x V'eh,...... (119)

$ 127. Je représente par m', m'y}, m' les valeurs, au moment {, des moments électriques d’une des molécules MH’ qui se trouvent à l’intérieur de la sphère B, et par (m'.), (m',), (m's) ces mêmes moments, à l'instant { — 5 , T étant la distance au centre (x, y, z) de la sphère.

Si, dans la formule (109), on remplace m', m'y, m2 par (m2), (m'y), (m2), on obtiendra la première composante du déplacement diélectrique que cette molécule M produit à l’intérieur de M.

Mais :

v dm’ (m’2 D = Me pr +. . , etc.

d’où LT tire :