CHAPITRE VII

Propagation de la lumière dans un diélectrique

pondérable qui se trouve en mouvement.

Equations fondamentales.

$ 132. Je supposerai dans ce chapitre que toutes les molécules du diélectrique sont animées d’une même vitesse de translation parallèle à l’axe des æ et indépendante du temps. Je désignerai par p cette vitesse et tout en conservant pour le moment les axes immobiles O X, O Y et OZ, j'introduirai des axes nouveaux qui sont fixement liés à la matière pondérable.

Le premier de ces axes coïncidera avec OX; les deux autres seront parallèles à O Ÿ et à OZ et coïncideront avec ces axes au moment { — 0. Par conséquent, les nouvelles coôürdonnées seront

(æ)=2z—pti(y)=7y, (4) =2.

Toute fonction qui dépend de 7, y, z et { peut également

être exprimée en (x), (y), (z) et &. J'employerai les signes :

0 ù Ô Ô 3° dy" 92 D (126) si je veux me placer au premier point de vue et les signes: Ô 0 0 Ô Sa)’ 5@) 50° 50 7": (127) dans le second cas.

On voit facilement que 2 D D D D D Ôæ Ô(x)’ 0y (y) 02 d(e) mails — 3 7 Pt $ 133. Dans les équetions (11) —(V) on peut introduire les

dérivées (127) au lieu des dérivées (126). Après avoir effectué cette transformation je supprimerai les axes fixes, je désignerai

par x, y, z les coordonnées prises par rapport aux axes mobiles

np + + Ù Ô Ô Ô et j'écrirai 5z° 0y 92° di senté provisoirement par les signes (127). Enfin, j'entendrai par (£, 7, €) non pas la vitesse absolue d’une particule chargée, mais sa vitesse relative par rapport à la matière pondérable, de sorte que les composantes de Ja vitesse absolue deviennent E +p, net C.

Cela posé, les équations fondamentales prennent la forme suivante :

X—=47 : fefds + nferdr—t fesar,

pour ce qui a été repré-

Y —4x Pa fegdr+t foudr - (E+pferds, ()

2 = 4x Pfondr+(E+pfepñdr—nfecdrs

dy ae Gr (Er dde

oh 0 2 dx V' sh 2) ES "....(V) ri = (sr )r

S 134. Tant que les particules chargées n’ont d'autre mouvement que la vitesse commune de la matière pondérable on

aura ËÉ—=7—=#@t—=0 et la densité dans un point (x, 7,2) sera indépendante de {. Il n’en sera plus ainsi lorsque les molécules sont le siège des vibrations électriques dont je me propose d’examiner la propagation.

Dans cet examen je suivrai pas à pas la vole qui a été tracée dans le chapitre précédent. Seulement, comme la méthode et les hypothèses resteront les mêmes, je pourrai m’exprimer plus concisément.

Remarquons encore que si, dans cette étude, il est question d’un point ou d’une surface immobile, cela signifiera: ,immobile par rApport aux axes”, ou, ce qui revient au même, »par rapport à la matière pondérable”. Pareillement, on entendra par le déplacement (x, y,z) d’une particule le déplacement qu'elle à subi relativement à cette matière.

Vibrations produites par une seule molécule.

$ 135. On Fonvere d’abord, au lieu des équations 168) et (87): O0 f— pi © + (5 ra) E+p)},

,\ 90 de} Ga«—=4x ns — tie, | Ô Ô 0 de, cyan) (re p)s 158 -

Dans ces formules, ainsi que dans plusieurs autres qu’on rencontrera plus loin, le signe Üj est employé pour indiquer l'opération

Ô à N° V?a— (rx) $ 136. Portons dans les équations (128) et (129) les valeurs (88) et (89), et supposons que x, y, z. £, y, 6 soient infiniment petits. Comme x, y, z sont indépendants de x, y, z tandis que e, est indépendant de t, on trouvera, après quelques transfor-

mations, J(e,-—5) 2?7(@x) (a? (ax) 28

— (V2 n2 __\o *: é Of= PI, om PP) 3x0t oi de, — 5) 2*(e,y) 2? (0,7) — 2 "SO | 0° 7 — 0 :.

Ds=r—, YE dx0i ?

9 (8o— S) , 9° (2) 0? (02) — ya (Lo D) , (Ro?) , © \Wo7 Dh=y d 2 F dt? ox dt”?

yw\2(@y) 2?(072) ES EE FTT Sydé |

2? (02) d?(e,x) d (9, — S) — 2 — O — —— D8—4xp ; Dædt 0204 P 92 |’

9° (es x) 9? (8 y) 9 (es — S)]

Dydt dædt P oy

QOr7=4xr p?

où l’on a posé, pour abréger,

9 (ex) 9 (8, Y) 9 (8,2) - \ Dz dy Er — $.

Introduisons maintenant quatre fonctions auxiliaires qui satisfont aux conditions:

Dog, ............ (130) Ü = x; D y: = Y; Ü Yys —=0o7 (131) et soit d à Pts LOU LU sg... (132) H 3 y U ?

On aura alors:

f=(V*? p°) CS) = rte g=n es ” +5 Pire «33) = ET de — TE ne EE dt lo

y =4An V? 19741 __ 0? 9 (œ —S")) lydot oxot * Comme la densité », est indépendante du temps, l'équation

(130) peut être ns n( Or p°) a + (5 s+on)e=e (135)

Du reste, les valeurs (133) et (134) satisfont à toutes les équations (I1”}—(V").

$ 137. Je supposerai que, tant que la particule mobile P se trouve dans sa position d'équilibre, la molécule entière dont elle fait partie, ne fait naître, en des points éloignés, ni un déplacement diélectrique, ni une force magnétique, et cela même dans le cas, où cette molécule est animée de la vitesse p. Alors, pour obtenir les valeurs de f, g, h, «, B, 7 dues à la molécule entière et relatives à des points qui se trouvent à quelque distance, il suffit de supprimer, dans les équations (133) et (134), les termes qui dépendent de w. C’est ce qu’on reconnaîtra par un raisonnement semblable à celui qu’on trouve au paragraphe 115.

Théorèmes mathématiques qui serviront à déterminer Lis Ya OÙ Xs-

$ 138. Je commencerai par chercher une solution de l'équation

Oy=0,............ (136) ou Y pr, ya dy dy (P? —P) + TE PP pt OS 0.

A cet effet, j'introduirai d’abord au lieu de x une nouvelle variable

LT = TV pe T , et je poserai P____— L'Vi=pt = €.

L’équation devient alors

dy d?y d?y d?y | —+ —— 9 V 1 T7 — ms +: 9 y? +52 FT #4 EME 0 {? 0.

La fonction y qui est regardée ici comme une fonction de X, y, z et { peut aussi être considérée comme dépendant de

L, 7,2, et li tr

Si on se place à ce nouveau point de vue, il faut remplacer

d bar 2 — € ?

dt OT V ot”?

2 Dr 2 9 st 27 , € 9° dx? PT 2 Viroë Ÿ Vi or?

d 0? 2° HN SE PA 5e À 57 et enfin 9? 9? £ 9?

ot Poxor Vo?

On obtient ainsi