V? RS

ou bien | d'y d? y d? y 2? y V?— EE — — Vs DETTE PTT Sa = 0.

Cette équation a la même forme que la formule (107): elle admet donc la solution

vs F(r-E), T Li p°

dans laquelle F' est une fonction quelconque et

T=L gt +y! rep , æ?+y?+22..(137)

Il en résulte que L LF (:— CT+ez LV pe )

est une solution de l’é équation (136).

On obtient une solution plus générale si on remplace à Z, 4, 2 par æ—x, y—y,2—7%7, x", y, 2 étant les coordonnées d’un point fixe. Cette nouvelle solution peut être mise sous la forme :

1 T+e(z— 2x) Fr): ... + + (138)

si l’on attribue à tv la signification suivante :

el een + y y + 2 (139

$ 139. La fonction (138), analogue à la fonction

du chapitre précédent, jouera un rôle important dans la théorie que nous allons développer. En effet, elle est propre à représenter la propagation dans l’éther d’un ébranlement qui

part d’un centre unique (x, y, z). Les particularités de ce mouvement se réfléchiront dans la forme de la fonction F'et le lieu géométrique des points (x, y,z) où cette dernière a une valeur déterminée peut recevoir le nom de ,surface d'onde”. Or, l’équation x +e(x— x) = const.

représente une sphère dont, si R est le rayon, le centre est situé au point (= — £, R, y, :). Un ébranlement émis au moment À, par un point P de la matière pondérable et se propageant dans l’éther, aura atteint, à un moment postérieur quelconque #, la surface d’une sphère, ayant pour rayon V(f—+t) et pour centre le point de l’éther qui coïncida avec le point P à l'instant &. C’est un résultat auquel on aurait pu s'attendre.

Dans les paragraphes suivants on trouvera des formules plus compliquées et applicables aux cas où la source des vibrations a une certaine étendue.

$ 140. Soient:

Tr’ un certain espace qui se déplace avec la matière pondérable et dont par conséquent chaque point a des coürdonnées r',y,2 constantes,

dr’ un élément de volume situé au point (x', y’, 2’),

F'(t,x',y',2) une fonction finie et continue.

D’après ce qui précède, la fonction

m1 LF (: t+el ——— œ) 2,94)

satisfera à l’équation (136) et, si le point (x, 7,z) est situé à l'extérieur de l’espace r', il en sera de même de l'intégrale À =f;r( = ay) dr .

Mais, lorsque (x, y,z) est un point intérieur, on n'aura plus O4 = 0.

C’est ce que nous allons démontrer, en entendant toujours

par ( la limite de l'intégrale [ (voir le paragraphe 116).

$ 141. En appliquant la formule générale (104) on trouve d’abord :

d T'—X T+e(r—x) ” = tm if Er (1 me DL sv] + 11} T+e(c—x) | | far eme) (ar

Pour calculer la limite on peut, dans le premier terme, remplacer F par F(t, x, y, 2). Ce terme devient par conséquent :

F(t, x, y, 2) [2° dv.

ce qui s’annule à la limite. Donc

2 y — Cu — a, y ) dr’. (140) dx xIT 17 V2 — pi 7 7%)? \

Appliquons de nouveau la formule (104) en y substituant cette fois-ci

do ; I rs — | t+e(x— 7x) 4 is PE #8)

Si, pour abréger, la fonction qu'on À trouve dans les deux dernières formules est indiquée par F, il vient:

Re Lim ÊCE (G)e]+ + fer = = — F(i,x,y,2) Lim fe 9 (5) +

= (5 Ver lose (141) On a pareillement

0? y . 1 do fi 4 — | 1f n2(2\3 Si=—F(29,9 Li | +f (y na (+) | + 2? F , +f55()

et une équation de la même forme pour +. En outre :

0 y d F si =] 5 Or

et, en vertu de la formule (140),

2, 2 2 — 9 OL oæot oæœot\T

Substituons toutes ces valeurs dans l’expression

nE d? "7 d° 4 — (V2 … np?) —# 2 F2 Ox=(7 p')5i +, PTE + + 9?

Comme ona

et, à la surface sphérique, o fi o fl 2 ss 2 ? __ ——— 1 — re — St DAC 252 ( )+r (y D 3e (+) +

+P(G—-2s (+ r)=rs, on obtient d b Oi=—- VV? F(I,2x,9y,2). Lim [rfSs [= =—A4n VIT Vi - p? F(t,x,y,?).

11 en résulte que la fonction

1 fe T+e(x — 7x) D 0 , = — ——— — — PIE , y 2 )de x Ar VV Vip ( LV p° J

a la propriété exprimée par

Détermination de %,, y:, 2 et dd f,g,h, «, B, y

$ 142. Employons les mêmes notations qu'au commencement du paragraphe 119, avec cette différence, cependant, que nous entendons maintenant par (x, y, z) le déplacement de la particule à l’instant T+e(x— 7)

LV? — p?

x’, y, 2 étant les coordonnées du point B et t étant défini par la formule (139).

Alors, si on pose

L=An VW V—pt,,.... . . (142) on aura, au lieu des formules (108), 1 o X , 1 oY / Li =— TZ “ed n=— 7 f* dr, —=— 2 fear ......... (143)

Lorsqu'il s’agit de l'effet qu'une molécule produit à quelque distance, il est de nouveau permis de regarder ©, x, y et z comme ayant les mêmes valeurs dans tous les éléments. Les intégrales peuvent par conséquent être calculées de la même manière qu'au paragraphe 119. En substituant dans les équations (133) et (134), après y avoir omis les termes dépendant de w, et en posant

0 m'> Ô m'y ù m': — 2 Cr)+55 (er) +55 (es as

on trouve, au lieu des équations (109) et (110),

V2— p20 S' Lo (me pi É à S"p )+ e)+ ae,

Î= TL 5: Le TTLidxot

V2 o S’ 1 9? d 0? D) = Titre (x) En Ce) (7 Vi98" 1 (+ p 0? (7) "TL oz LE \T)T Lôza\ tr)

4 x v? | (CE - (2)! \ A — — L je "et | 4 x v? 1 0? m'z = TZ 122 a(r)-5 " D PT 5 | ne An V? | (C ‘)— d S” | TTL ss Si +75 |

Ici, m', m’, et m'. désignent les moments électriques de la molécule agissante, à l’instant

T+e(c— 7) ——— Vi pt 2

z', y, z 6tant les coordonnées du point où elle se trouve et T étant toujours défini par la formule (139).

Du reste, les équations obtenues ont encore lieu lorsque l’amplitude des vibrations surpasse le diamètre de la particule mobile (voir la Note additionnelle).

Valeur de la force qui est produite par la molécule elle-même dont la particule considérée fait partie.

$ 143. Pour trouver, comme au paragraphe 120, la réaction de l’éther sur la particule vibrante, il faut, au moyen des équations (133), (134) et (143), calculer les valeurs de f, g,h, œ, GB, 7 à l’intérieur de la particule elle-même, pour les porter ensuite dans les équations (1’}($133). Dans les formules (143), x, y et z représentent les déplacements au moment

t+el@—z) t p(x— x).

LV? — p° — 17 Vi — p° Vi— p? ?

ces lettres x, y, z doivent donc être remplacées par

v : p(w—x) F3 Pin Vip

X — x, etc.

si l’on veut entendre par x, y, z, x, y, z les valeurs relatives

au temps t.

On trouve ainsi:

RE LV Vr = p ALLÉE fear, ”, etc.

Quant à la fonction w, qui est déterminée par la condition (135), elle peut être représentée par

o=— 7 [ar

$ 144. C’est ici le lieu d'introduire une simplification qui nous sera très utile dans tout ce qui suit. Elle consiste à regarder la vitesse p de la matière pondérable comme si petite, en comparaison de la vitesse de la lumière, que le carré de

41 = after +

£ peut être négligé. Cela nous permet d'écrire PV? au lieu de Vi —p?, r oul”(x — x)? + (y — y}? +(2 — z')° au lieu det,

et 4x V? au lieu de LZ, ce an nous donne

@o n= gen ]eer+sE

[ED ar, 0 Â x} 0 +

etc.

D — D Î <e dr.

Après avoir effectué les substitutions nécessaires, entre lesquelles je citerai encore la substitution (88), et après avoir supprimé tous les termes en p?, on remarquera dans les expressions pour les composantes de la force dont il s’agit maintenant deux groupes de termes, les uns indépendants de p, et les autres en contenant la première puissance. Je vais démontrer que ces derniers termes s’annulent et que, par conséquent, les composantes cherchées ont les mêmes valeurs que dans le cas où le diélectrique ne se déplace pas, c’est-àdire les valeurs (111).

Cette démonstration repose sur un théorème général, qui fera l'objet des paragraphes suivants. Préalablement, je fais encore

observer que tous les termes qui contiennent la première puissance de p renferment également un des facteurs x, y. z, X, etc. En effet, dans les formules (133) et (134), il n’y a que la fonction « qui soit indépendante du mouvement vibratoire; maïs dans les fonctions f, g, h les dérivées de cette fonction ne sont pas multipliées par »p, et bien qu'elles le soient dans les expressions pour $ et y, ces dernières se trouvent multipliées, dans les formules (1”) ($ 133), soit par une des vitesses x, y, z, soit par la vitesse p elle-même.

Du reste, nous ne ferons aucune attention aux termes dans lesquels p est multiplié par un carré comme x°, ou par un produit comme x ÿ, parce que x, y, z, x, etc. sont toujours regardés comme infiniment petits.

$ 145. Concevons un système de particules chargées qui se déplacent au sein de l’éther en excitant dans ce milieu des mouvements électriques, conformément aux équations (II) — (V) ($ 90). Soit Æ un plan fixe et imaginons un second système, composé de particules chargées et d’éther, et dont l’état est relié à celui du premier système de la manière suivante:

Si P et P’ sont deux points, l’un dans le premier système et l’autre dans le second, et qui sont symétriquement situés de part et d’autre du plan E, on trouvera dans ces points, à tout moment,

a. la même valeur de o;

b. des vitesses (£, 7, €) et (£’, 7, L’) qui sont l’image l’une de l’autre ;

c. des déplacements diélectriques D et D’ entre lesquels il y a la même relation;

d, de telles forces magnétiques H et H’ que la seconde est égale et opposée à l’image de la première.

Le nouveau système qui se trouve ainsi défini, satisfera, aussi bien que le premier système, aux équations (II) — (V).

Pour s’en assurer, on peut rapporter les deux systèmes à des axes des coordonnées de la même direction et supposer que le plan E soit perpendiculaire à l’axe O X.

Alors, les variables f, g, h, «, B, y, sl , etc, qui ont toutes

la propriété de présenter les mêmes valeurs absolues en P et P', peuvent être rangées en deux groupes, le premier contenant les quantités qui, en P et en P’, ont le même signe, et le second étant composé de celles qui y ont des signes contraires. Au premier groupe appartiennent, par exemple, 9, h, “J , —S , df 9g

dx ?70% c'est là le point essentiel, que tous les termes qui sont réunis dans une même équation font partie d’un même groupe. Voilà pourquoi les équations ne cessent pas d’être satisfaites si on passe du point P au point P’,

$ 146. Si, comme il a été dit plus haut, on trouve toujours, en des points correspondants, des valeurs égales de o, cela implique évidemment. que les systèmes de particules dont il s’agit dans les deux cas présentent entre eux la relation qui existe entre un objet et son image. Cependant, nous avons seulement démontré que, lorsque le mouvement supposé pour le premier système peut réellement exister, il en sera de même du second mouvement, en tant que ce dernier satisfait aux équations du mouvement de l’éther. Il y faut ajouter la condition que des forces convenablement choisies doivent être appliquées aux particules chargées elles-mêmes.

Or, il résulte des équations (1) ($ 90) que le vecteur qui représente la force exercée par l’éther sur une particule du second système est, à tout moment, l'image de la force qui agit sur la particule correspondante du premier système. En eftet, si l’on s’en tient à la direction choisie pour le plan E, on verra facilement que tous les termes dont se compose X changent de signe

et au second groupe f, et f. On verra facilement, et

quand on passe du premier au second mouvement, mais que les signes dans les expressions pour Ÿ et Z ne changent pas.

$ 147. L'application de ces considérations au problème qui nous occupe est bien simple. Si, dans le premier système, une

particule est animée à la fois d’une vitesse de translation p et d’une vibration dans laquelle le déplacement est (x, y, 2}, la particule correspondante du second système aura une vitesse qui est l’image de p et un écartement qui est celle de (x, y, 2). En vertu de notre théorème, on peut affirmer que les forces que les deux particules éprouvent de la part de l’éther sont également symétriques par rapport au plan E.

Dans le cas où ce plan est perpendiculaire à O X, chacune des quantités y, z, y, z, etc. sera, dans les deux systèmes, affectée du même signe, mais le contraire aura lieu pour p, x, x, etc. Il faut que la composante X se trouve dans le dernier cas, l'expression par laquelle elle est représentée ne peut donc contenir aucun des produits p x, px, etc.

En appliquant un raisonnement de la même nature aux composantes Ÿ et Z,et en supposant que le plan E soit perpendiculaire à O0 Y ou OZ, on achèvera de démontrer ce qui a 6t6 avancé au paragraphe 144.

Du reste, dans la Note additionnelle, je donnerai un examen plus général de la réaction de l’éther sur une particule vibrante. $ 148. J’admettrai encore que la force aux composantes — Îx, — Ÿ7, — 7, qui est exercée ($ 121) sur la particule vibrante par les autres particules de la même molécule, est également indépendante de la translation de la matière pondérable. C’est une hypothèse que nous ne saurions justifier, puisque nous regardons comme entièrement inconnu le mécanisme qui produit ces forces intérieures. Tout au plus, on pourrait faire voir que le chan-

gement apporté par la translation est de l’ordre x s1 les for-

ces peuvent être représentées, en deux systèmes correspondants ” (8145), par des vecteurs qui sont l’image l’un de l’autre.

ES

Détermination de la force iotale qui agit sur une particule vibrante.

$ 149. En reprenant les questions dont nous nous sommes occupés à partir du paragraphe 122, je cominencerai par la force qui est due aux molécules extérieures à la sphère B. Soient, de nouveau, x, y, 2 les coordonnées du centre, où se trouve la molécule M contenant la particule P et ayant le moment électrique (Mz, my, m.), D Tr’ un élément de volume situé au point (+, y’, z’) extérieur à la sphère, ? la fonction (139), M':, M’, M’: les composantes du moment électrique rapportées à l’unité de volume et relatives au point (x’,7', 7)

t à l'instant

LV p°

Cela posé, on aura les valeurs de f, g, h, «, B et y que l'élément D r' seul produit au centre de la sphère, si on remplace, dans les formules (144), (145) et (146), mz, m',, m'par M:Dz, M,yDr,M:Dr et une intégration sur l’espace extérieur à la sphère nous fera connaître les valeurs def, g, h a, G, y qui sont produites par toutes les molécules de cet espace. Si, dans les coefficients, on écrit V? au lieu de V?— p1 et 4x V? au lieu de L, et si on pose

Ê GE LE à (M: gn Oæ\T +5 T/ on trouve:

28" 1 02/Ma\ p10? Mae 0ST,, =f[S 7 Re) + one TS 12 os" 1 2*/M,\ pP W', = JT 7 pi A ( x JT: a D Dr, (F7

NS 1 o°/M', M:

fe 75 hi ‘)]pr

—… M’: 0? M', ’ ; fl )— sa(r)]?r | M’ d? M’. es , at se (à = (e M, 5 = )- Syoi )+ PAL |

$ 150. Soit, pour simplifier, T ’ M’, ’ M'- = | POLE EL

ces intégrales, qui se rapportent à l’espäce extérieur à la sphère B et dans lesquelles M',, M',, M'; sont toujours les valeurs des moments électriques au moment — v+e (æ — x) Vip? !

seront des fonctions de x, y, z et {.

Ecrivons, pour un moment, M= FE, x, y,2), et, par conséquent, e(t— x = ri 2 LE #).

L'intégrale M; devient par cela analogue à l'intégrale y du paragraphe 140 et on trouve

2e = = [2 (È Dr et

et CEE (+ )D B+[ (De. . (149)

Il est vrai que le rayon À de la sphère B n’est pas infiniment petit, comme l'était celui de la sphére b du paragraphe 116, mais il a été supposé si petit qu’on peut, à la surface B, remplacer M'; par M.

En négligeant des termes de l’ordre p?,on peut, dans la première intégrale, remplacer T par la distance r, ce qui nous donne :

d? t. 4 0? M’. 5 2° =-jrm+ fe (pe .

Pareïllement :

Ô 2 D (CE 2 ’ dæd y — fs xdY )2

etc.

Enfin :

2? MW. [2 M’. , dE — (5) Dr, 22 Mt. M’.

te D 5z01 =[,5, ) F

$ 151. Ces relations conduisent à écrire, au lieu des expressions (147) et (148),

1 si 0 > 1 0? Mz

elc.

—1y,4L1po2 129%, p (97 221] = gg | 53 5e Vrjosott ot ||?

| 1 0 à 1 0? M, D JM, 2= Mt, | 57 — vs YE + ossi]:

1 1 d > 1 22. P 0? M, h=gM+ y | V? 94? sl:

+ + - 0 x 0 y Oz

$ 152. Il nous reste à porter ces valeurs dans les équations (1) ($ 133), qu’on peut préalablement simplifier en regardant f, 9, h, «, B, y comme constants à l’intérieur de la particule

P. Les composantes de la force exercée par la partie du diélectrique qui se trouve au dehors de la sphère B deviennent ainsi

du, __ dm X,—=4x V! Ti B, A z d Mr Y,=4x V'eg+ im, —TEy—pen je (50 z d 4, =4x Pen + 1 B — a +pel.

Avant d'effectuer les substitutions ($ 153), j'appellerai l’attention sur l’ordre de grandeur des différents termes. Conformément à ce a été dit au ES 125, on a

0 > 0 27 T° x Ch ER sr y gs te.

De plus:

Donc, si on désigne par f,....7, les parties des six fonctions qui ne contiennent pas le facteur p et par f,...... Ya celles où il se trouve,

ACTROLIOELES