ACTRICES

Ba =): (=) pr

Passons rapidement en revue les termes qui paraissent dans les expressions pour X,,Y,,Z.

a. Les produits 4 x V'ef,, 4 x V'eg, et An V'eh, contiennent des parties qui sont du même ordre de grandeur que e M

b. Comme Êe (= )

156 H. A. LORKNTZ.

les termes de la forme

sont comparables à

eù M Vos :

ils peuvent donc étre négligés en présence des produits précités, et cela parce que l'amplitude à est beaucoup plus petite que la longueur d'onde & V.

c. Les expressions 4 x V?ef,, etc. sont de l'ordre:

Ces termes devront être conservés, parce que ce sont eux qui détermineront l'influence de la translation du diélectrique. d. Au contraire, on peut omettre toutes les quantités de la forme dm, dt 73:

en effet, on oblient une idée de leur grandeur au moyen de l'expression

pe M PT 95 ?

qui est très petite en comparaison de la fraction (151). e. Les termes pey, et peb doivent être retenus, parce qu'ils sont de l’ordre

pe AE

et, par suite, comparables aux termes que nous avons noimnmés en troisième lieu.

f. Enfin, on peut naturellement négliger

Pey: € Pebi, ces produits étant proportionnels à p°.

$ 153. Voici maintenant le résultat final des substitutions: 0? M VS PE = — o {? Pi5xoiT 56!

., OZ OM, , o°M 9 |: 2 72e SE Y=elirr ME, — 5 ATEN oz om, M, 02 où ‘PSzôt Il importe de signaler l’origine différente des deux termes An V'eg,et —pey, qui, par leur combinaison, ont produit

X,=e [Sr PM + y

Z,=e EC V3 M + 7!

le terme pe —— . Le premier provient de ce que le dépla-

Syot cement diélectrique qui est excité par les particules vibrantes est modifié par la translation p. Le second est simplement la force que la particule e subit en vertu de son mouvement, avec la vitesse p, à travers le champ magnétique que les vibrations ont fait naître. Des remarques analogues s’appli-

9? | quent au terme pe A dans l'expression pour Z..

$ 154. Représentons, comme au paragraphe 126, par for Jos Ros & 1 Bos Yo

les composantes du déplacement diélectrique et de la force magnétique qui sont produits par des causes extérieures au corps considéré. À ces composantes correspondra une force, agissant sur la particule P et ayant, d’après les formules (F'), les composantes

An V'ef,, 4x V? ego —pey Am V'eh +pef. . . (152)

Pour la raison qui a été alléguée au paragraphe 126, nous avons omis ici les termes de la forme

de Yo:

$ 155. Pour compléter cet examen de la force qui agit sur une particule vibrante, nous avons encore à étudier l’action des molécules qui sont incluses dans la sphère B. Les composantes de cette force seront de nouveau indiquées pare%/,

e Ÿ)', e 3’: leurs valeurs moyennes, les seules dont nous aurons besoin, seront déterminées — du moins dans un diélectrique donné — dès que l’on connaît pour chaque instant les valeurs de M:, M,, M: au point considéré (x, y, 2). En effet, la sphère B est très petite par rapport à la longueur d’onde; on peut donc faire abstraction du changement que subissent M., M,, Mquand on passe d’un point à l’autre.

C’est ainsi que, pour un milieu immobile, on pourrait écrire (8$ 127 et 106):

e L' = AM, e VAN, eB = AM, ..... (153)

A étant une constante, dont la valeur n’aura du reste aucune importance pour ce qui suivra.

Quelle est maintenant l'influence de la translation imprimée au diélectrique? Elle pourra donner lieu à des termes qu’il fadt ajouter aux composantes (153), et qui forment des séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de la vitesse ». Nous nous bornerons aux termes du premier degré.

Un coup d’œil sur les formules (['), (145) et (146) suffit pour comprendre que tous les termes dont il s’agit doivent

pe 0 M être des fonctions linéaires de M:, M,, M, ET etc. Si donc

dt ?

etc., en attachant un sens analogue aux signes (M,) et (M), on aura, au lieu des composantes (153) :

e { —AM: + ? (Me), + (My), + (M), , e D = AM, + p{ (Ma + (My: + (M): 1, L.. (154) e B—=AM+Dp | (Mes + (Myls + (Mi)s |:

nous désignons par (M-) une fonction linéaire de M.,

Or, dans le cas d’un diélectrique homogène et isotrope, tous les termes en p doivent s’annuler. C’est ce que nous démontrerons dans les deux paragraphes suivants; après cela, nous reviendrons à l'étude du mouvement des particules ($ 158).

$ 156. Pour arriver à la simplification que je viens d’indiquer, on peut se servir d’un raisonnement analogue à celui qu’on trouve dans les paragraphes 145 et 146. Aprèsavoir choisi un plan fixe Æ, on peut concevoir un système N° qui soit à tout moment l’image exacte du diélectrique considéré N, et cela, non seulement en ce qui concerne l'état de l’éther et la distribution des particules chargées, mais aussi en ce qui regarde les autres parties constituantes de la matière pondérable; en effet, nous nous figurerons qu'à chaque point matériel du premier système corresponde, dans le second, un point qui est doué des mêmes propriétés. Nous avons déja vu que le nouveau mouvement est compatible avec les équations (IT) — (V). Ajoutons maintenant que, si le premier système satisfait aux équations qui déterminent le déplacement des particules chargées, il en sera de même du second corps. La raison en est que non seulement les vecteurs qui, dans les deux corps, représentent les accélérations des particules, mais aussi ceux qui indiquent les forces, s'accordent entre eux comme des objets et des images correspondantes. C’est ce qui a été démontré au paragraphe 146 pour les forces qui sont exercées par l’éther; et 1l est naturel d'admettre la même chose pour celles qui sont en jeu à l’intérieur de molécules correspondantes.

$ 157. Un corps amorphe et parfaitement isotrope est tellement constitué qu'il possède les mêmes propriétés qu’un corps qui en serait l’image; du moins, il en sera ainsi tant qu’on se borne aux phénomènes dépendant d’un grand nombre de molécules. On pourra donc prendre pour N° un corps qui est absolument identique à N et qui est orienté de la même manière, et non pas en sens inverse; dans ces deux corps, il pourra toujours exister des mouvements qui sont l’image l'un de l’autre en ce qui regarde M., M,, M: et les forces moyennes agissant sur les particules.

Je rapporterai les corps N et N° à un même système de coordonnées, et je supposerai, en premier lieu, que le plan Æ

soit perpendiculaire à l’axe des z. Alors, les quanfités M, et M: auront, en deux points correspondants, les mêmes valeurs et les mêmes signes, mais M- et p (la translation étant toujours dirigée suivant O X dans le premier corps):auront, à valeurs égales, des signes contraires. D’un autre côté, les forces

eX!, eY, EL auront, dans les deux corps, les mêmes valeurs absolues, mais ce ne sont que les deux dernières qui auront également, en W et N', les mêmes signes.

Comme, du reste, les coefficients dans les fonctions linéaires (M:),, etc. seront les mêmes dans les deux cas, il faut que le terme p(M-), s’annule: en effet, ce terme aurait, dans les deux corps, le même signe. Les termes p(M,),, p(M2),, p (Ms), p (M): doivent s’annuler pour une raison semblable, et, en considérant l’image du mouvement par rapport à des plans perpendiculaires à O Y et O Z, on démontre la même chose pour les termes p(M,),, p (M),, p (M:),, p (Mz),. On peut donc toujours se servir des équations (153).

Équations du mouvement d'une particule.

$ 158. En rassemblant les données dispersées dans les paragraphes 144, 148, 153, 154 et 155, on voit que la formule (121) et les deux autres que nous aurions pu lui ajouter doivent être remplacées par

° ; 2 4 MmÊ=—-fx+4r rt foudr+ 7 EtelgeM+

+ 222 27e, 07 ST] + ar Vies, +eœ

5x où "Phzott 56 . . e? 4 my=—Îy+4x Ve fewdr + UE M, +

2 2°, Me

» (155) el 2 moment Vsy set? TT +4r Veg—per.+e),

e 2. 4 Mmê—=—Îz+47 Péunse+ EtelgeviM+ |

2 2 / + V VE Y TE + p Pr, [+ 4xv eh, + pel+e8".

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELT.. 161

Je ferai subir à ces formules les changements qui ont été indiqués au paragiaphe 128 — en divisant cependant par € et non pas par e Ÿ — et, pour abréger, je réunirai en un seul terme tout ce qui résulte de chacun des trois groupes

— m£—fx+4x Véfoudr+ex+ Le V? eM,, etc.

En ayant égard aux formules (153), on trouve pour ces trois groupes 4 , , ANe—; x 0? M.

(Gr V + 7) TE Ne TJ ? etc.

Je me bornerai à des vibrations simples de la période 5. Dans ce cas:

9? M: —T | A D — ——— Mr, etc.

Donc, si on pose LrViNe +4 An x 3 9?

Ne = 4 x Q,

les trois groupes deviennent 4 nr Q M, 4x QM,, 47 QM..

I1 n’est pas nécessaire de nous occuper de la valeur de Q; il nous suffit que pour un corps et une durée de vibration donnés, cette quantité est une constante, indépendante de la

vitesse ?.

En somme, les équations (155) prennent la forme

02 91M, (o2M, 02 … Ar QE + nf = d,

4x Q M, + V° y — 5 Ha +P De +4r V'q —py,=0, (156)

DZ M, 07M Ps st 7 2 —0,.

4r Q M: + d 2 Dit + D 22 gs tr ho +pBo

Équations différentielles qui déterminent M., M,, M.

$ 159. Dans le chapitre précédent, nous sommes parvenus à ces équations en soumettant la formule (122) à l'opération 1 9?

Tir:

Maintenant que les équations (156) se rapportent aux axes mobiles O X, O Y, OZ, c’est l'opération

qu’il leur faut appliquer, |

On fait disparaître ainsi f,,9,, À, æ&s fo 7 parce que

Of. =0, D «, = 0, etc.

Comme, de plus ($ 150), |

O Mr = —-47 M, 0 M =—-47M, OM =—-47M,, il vient

DT 2M (02M 0 .— Vi —- 7" —— ROM VS + a Pi555:

mod 2 te ss LL nn ne

—— 2 7 Re OM-V SE + sr —P5,5:

où nous ayons posé

Entraînement des ondes lumineuses par la matière pondérable.

$ 160. Concevons d’abnrd des ondes planes qui se propagent dans la direction de Ô X. Les moments électriques sont alors indépendants de y et de z et on peut satisfaire aux équations

en supposant qu'ils ont partout la direction de O Y. En effet, en posant M; — M, —0 et en supposant M, indépendant de y et de z, on satisfait à la première et à la troisième des

équations; la deuxième se réduit à |

DM,

ou bien, si on néglige toujours les termes en p?, à 0? M 0? M 0? M 2 ÿ y , Y — Pan tPiznu 5 0 où | { "=l——#.

La fonction

M, = C co 27 (1 w)

satisfait à cette équation, si

mp +0 d’où l’on déduit pour la vitesse de propagation, en négligeant de nouveau les termes en p?,

4 p W= +-—— erssssees 157 +s À (157) Pour p = 0, cette valeur devient E 272

la vitesse W,, dans le cas où le diélectrique se trouve en repos, est par conséquent donnée par

| = et L Q n’est autre chose que l'indice de réfraction ». La formule (157) devient par cela:

W=+tw +, y

C'est la vitesse de propagation par rapport à la matière pondérable. Pour obtenir celle du mouvement relatif des ondes lumineuses par rapport à l’éther, il y faut ajouter la vitesse p. On obtient ainsi:

+ M+ (1) pr.

Quel que soit le sens dans lequel les ondes se propagent — c'est-à-dire quel que soit le signe qui précède W, — on voit que le mouvement de la matière pondérable avec la vitesse p imprime toujours aux ondes une vitesse qui est une fraction déterminée de p. Le facteur

1—............ (158) est précisément le coefficient d’entraînement que Fresnel a introduit dans la théorie de l’aberration et qui peut servir à rendre compte des expériences de M. Fizeau !), répétées dans ces dernières années par M M. Michelson et Morley *), sur la propagation de la lumière dans une colonne liquide qui se déplace.

Remarquons encore que, d’après notre théorie, la valeur (158) est applicable à chaque espèce de lumière homogène, si seulement on entend par » l'indice de réfraction qui lui est propre *).

$ 161. Lorsque la direction de propagation des ondes est perpendiculaire à celle dans laquelle se déplace le milieu, il faut distinguer deux cas principaux. Dans le premier, les vibrations électriques sont normales au plan qui contient les deux directions indiquées; dans le second cas, elles sont parallèles à ce plan.

1) Comptes rendus. T. 83, p. 349; Pogg. Ann., Erg. 3, p. 457.

?) American Journal of Science, 34 Ser., Vol. 31, p. 377.

3) Dans un Mémoire qui parut en 1880 (Phil. Mag. 5th Ser., Vol. 9, p. 284). M. J. J. Thomson s'est occupé de la propagation de la lumière dans un diélectrique qui se déplace. Cependant, dans cette étude, il n’est aucunement question de la perméabilité pour l’éther et, suivant l’auteur, le coefficient d'entrainement aurait toujours la valeur 4.

LA THÉORIE ÉLKCTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL 165 a. Le premier cas se préernte si M: =M,—=0 et

M Cons 27 (+).

Les trois équations se réduisent à:

mais l’opération [] équivaut maintenant à 0? 2?

L'équation ne contient donc plus p et la vitesse W devient indépendante du mouvement du milieu.

b. Dans le second cas, les vibrations ne peuvent plus être rigoureusement transversales; elles feront avec la direction de

propagation un angle dont le complément est de l’ordre L :

Cependant, la vitesse de propagation reste

En effet, on peut satisfaire aux équations du mouvement par les valeurs:

27 y M: = C cos — (+ ,

I] est facile d'étendre ces résultats à une direction de proôpagation quelconque.