Prenons pour origine le point où se trouve le centre de

la particule lorsqu'elle occupe sa position naturelle. Alors, les valeurs de x, y, z pour lesquelles les fonctions:

T S(—x, «x, y, 2), ete. ...... (162)

diffèrent de 0, seront très petites par rapport à la longueur d'onde. Elles le seront également par rapport à x, y, z et T, si le point (x, y, z) pour lequel on veut calculer f, 9, h, «, B, y est situé dans une autre molécule, même lorsque celle-ci est une des plus voisines,

Cela posé, on peut développer les fonctions (159) et (160) en séries rapidement convergentes. Soient 1, et x, les valeurs qui

Ô correspondent à x = y —=2 — 0, et désignons par | 55 | etc.

des différentiations dans lesquelles on regarde comme constants les +’, y , z’ qui entrent explicitement dans ces fonctions et comme variables seulement Y et +. Alors:

FC, Y, 2) = Fr, y,2)+ + Tv Er ges x, Y, 2] + +5) È D (— x, x, y,#)|+ etc.

En effectuant les Jifférentiations indiquées dans le second membre, on est conduit à des expressions contenant des dérivées de n D lt— x, x, y, 2) par rapport à t et à x, mul-

tipliées par des dérivées de T et de x par rapport àx ,y ,7. Dans les dérivées de la première espèce, on remplacera T et x par 1, et x.; dans celles de la seconde espèce, on substituera en outre =y =2=0.

Or, tout cela peut être exprimé bien plus simplement. En effet, pour les fonctions dont il s'agit 1CI,

Hé 57 |= — (32 |=— D.

| 5e [= cie

et, lorsqu'il est question des dérivées par rapport à x, y, z la substitution de T, et x, pour T et x peut avoir lieu avant la différentiation.

Donc :

5 (—%,x,y,2) = Br r y, 7) —

sul + Lens] S [ESCn en] -

n 4 , , , TT 53 EBl—asd,y,2) [+ 1 2? Fr’? or + 55,2 [T-SU—use, ve) | + ete... . .. (163)

et, d’après les formules (159) et (160),

fer files] peer] - Le + on [fe 5er | +. ete (164 — + -fuar sl] Ads |+.. …), ete (165)

où, pour abréger, on a écrit #, GO, $, À, 5, C au lieu de Sl—n,a,y,2), GO (t— 0, 2,7, 7), ete. . . . . . ... (166)

ë. Si on entend par @ la densité de la charge qui existe, au moment t, dans le point (x’,7,z2'), et par (£, y, &) la vitesse dont la particule est animée à ce même instant, on aura:

Sezv.n=[r-e+n]-e+nrse-

—E+ nr Her...

La même expression peut être prise pour la première des fonctions (166), pourvu seulement qu’on prenne pour e, Ë, 7, 6, . les valeurs relatives au temps {— x. Recherchons ce qui en résulte pour les intégrales de la formule (164).

“a Valeur de [ÿdr

On a évidemment:

ET F0, EL 0, fitdr—0,

et cela parce que la densité @ est une fonction continue des coordonnées qui s’évanouit aux confins du champ d’intégration !). D'un autre côté:

( 0 dr =e.

Si donc on entend par (m:, m,, m-) le moment électrique, à l'instant { — x,, de la molécule dont la particule vibrante fait partie, on aura

et

b. Valeurs de fa 3ar, fr ar, [ÉGLEE En intégrant par parties, on trouve

1) Ce champ sera limité par une surface fixe quelconque enveloppant la particule oscillante.

1900 7, D [= ssd=—fedr=—e De plus, on aura ,90 fl y 2 @ | — [= Sy = [+ 37 dr—=0 et, x étant la première coordonnée du centre, féear =: fodr — ex.

Vu, cependant, que nous avons pris pour origine des coordonnées la position naturelle du centre, on peut écrire

fredr=m:

donc 1, — 2 2 dE faSar =-e[v-(4+) FM:

Pareillement , d £ [v Sdr —e(E + p)7+ my FL

[rares +p)t+m ts.

c. Valeurs de Î r?Fdr,etc.

Dans le calcul de ces intégrales nous nous servirons des formules

/ mn) , , , fe: Sdr=— [y edr —=— m,, etc.

Le terme principal (V?— p?) “e de l’expression (167) ne con-

tribue en rien aux intégrales:

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWEIL.L. 175

[ya fSar,fyrSar, mais, dans les intégrales | [= ddr, [+ yY dr, J# { Ndr, il introduit les termes —2(P—p')m.,, —(V? —p')my, — (V?— p°')m... (168)

Ce sont ces expressions qui joueront un rôle dans le résultat final. Tout ce que les autres termes de l'expression (167) fournissent aux intégrales dont il s’agit maintenant peut être négligé. En effet, nous admettrons que l’amplitude des vibrations n’est qu’une fraction insignifiante de la longueur d'onde et que, par conséquent, les fractions

Ë On &

V? TV! V ont une valeur insensible.

En vertu de cette supposition, nous n’aurons pas à nous occuper des termes

ù ù Ô +285 —E+pu— E+Dt5,

les parties correspondantes des intégrales cherchées étant extrémement petites par rapport aux produits (168).

Quant au dernier terme de la formule (167), il introduit dans

fear, [y" S dr, [= S dr les termes suivants:

| x? dr ,etc | d A Q ’ ,

Désignons de nouveau, par Ô l'amplitude et par 9 la durée d’une vibration. Alors, les derniers termes sont du même ordre de grandeur que

92 Me

et peuvent, par conséquent, être négligés par rapport aux expressions (168).

Le terme principal de l'expression (167) est donc bien le seul dont il faille tenir compte dans le calcul des intégrales

[EE À d r',etc.

et, dans le développement (164), il n’est pas nécessaire de nous occuper des dérivées d’un ordre supérieur au deuxième, 6. En résumant ce que nous venons de trouver, et en écrivant

v au lieu de T,, on obtient:

= LR (DETTE) +

ra be() +38) + CI AO TOO