__ (PP?) 2 :) L
si l’on veut obtenir la valeur de f qui est due à la molécule entière dont la particule vibrante fait partie. Cette valeur devient donc:
So LAURE (+) Ce )]+ tale Ce) +3) +
ee Pr —, 1)..... (169)
où la fonction S” est celle qui a été définie par la formule (144). 7. Pour que ce résultat s'accorde avec la première des équations (145), il faut qu’on néglige les termes
ACOMOEOIS MOTOR QI = La C)e (CE) CT: ro
Or, ces termes sont les seuls dans lesquels les moments m-, Mm,, m se trouvent mnultipliés par une des composantes de la vitesse vibratoire; on en diminuera les valeurs autant qu’on voudra en supposant suffisamment petites l’amplitude et la vitesse des vibrations.
Ce degré de petitesse nécessaire est-il atteint dans les cas qui se présentent en réalité? Pour répondre à cette question, nous considérerons de plus près l’ordre de grandeur des termes.
Remarquons d’abord qu’une différentiation par rapport à
+ dx
t introduit le facteur =. Au contraire, une différentiation
par rapport à x donne lieu à deux termes différents. D’un côté, dans les fractions dont il s’agit, le dénominateur T est une fonction “ x, et, en ce qui regaree l’ordre de grandeur,
les dérivées — = ): S = =) 5 32 (+ )peuvent être rein-
1) 71) Dans cette équation, les signes mz, my, m- représentent ce quia été indiqué, au paragraphe 142, par m'z, m'y, m'>.
placées par TE Mais, d'un autre côté, les numérateurs, tels
que m- ou m-£, dont les valeurs doivent être prises pour l'instant { — x, sont par cela même fonctions de x, y, z. Si on désigne par À un quelconque de ces numérateurs, on aura A 0 À AR] 1 OT p dx Ot'0r ‘9 DAS 5 tmp] Cette dérivée se compose donc de deux parties, l’une de l’ordre
A A et l’autre de l’ordre Ap av?
Si, dans l'expression (170), on omet pour un moment les termes de cette dernière catégorie, il ne reste que des quantités
comparables à
m° m ni] 1 Ÿ m À 1.97° 9 m à De Len %Lé + Lever (D
D'autre part, dans la première des formules (145), le premier terme donne lieu à des expressions qui sont du même ordre de grandeur que
V? m Fm m Lis? Lot Loir (172) et le terme 1 2? (% 7 Lot )
est du même ordre que la troisième de ces expressions. . En divisant la première des fractions (171) par chacune des fractions (172), on obtient ÔT d à CRERTE À étant la longueur d’onde 9 V, et la seconde des fractions (171) conduit de la même manière à rt dr D A5 "27 2:
Il n'y a aucune difficulté à admettre que è et : sont des
fractions négligeables et que, par conséquent, les quantités (171) peuvent être négligées par rapport à celle des expressions (172) qui est la plus importante. Si, pour se mettre à l'abri de toute objection, on désire que les termes (171) soient très petits par rapport à chacun des termes (172), il faut que t ou, ce qui revient presque à la même chose, la distance pour
laquelle on veut calculer l’action d’une molécule, soit petit par
rapport à A5 — } V1 Léo (173)
Vu l'extrême ten de à par rapport à À, cette limite peut être un multiple très élevé de la longueur d’onde et dans la déduction des équations du mouvement on peut se borner à une partie du diélectrique, dont les dimensions soient beaucoup plus petites que la longueur (173). En effet, on se rappellera que nous n'avons rien supposé sur ce qui se trouve à l’extérieur de la surface « ($ 123).
Quant aux termes dans l'expression (170) qui contiennent le facteur »p, l’ordre de grandeur qu'ils présentent est déterminé par
mp .
LS V'x?
on démontre facilement qu'ils peuvent être négligés par rapport au terme:
mz Es as ot a ( )+°
qui figure dans la première des formules (145).
8. Je n’insisterai pas sur la démonstration des deux autres formules (145), qui n’offrent rien de nouveau. Il suffira d’examiner encore la valeur d’une des composantes de la force magnétique. C’est la valeur de f que je choisirai, parce qu’elle
est moins simple que l’expression pour «.
Il faut se servir maintenant de la deuxième des formules (165),
[sa 5[<-f Sr ]- — À HALLE Ë z? Bdr [+
+55 [+ [Bar] +.. ).. .. (174)
Or, en partant de la valeur
Bar Pc —(E+nSE |»
on trouvera:
fBar=0, [+ Sdr ——4nV'ie—=— Am V' — me
[y Bar —0,
[ÉÉTE — 4 n V'(E+p)e— 4» V' Ême
) [EX Ddr——4n V'.2mrt, [y Bar —0, 22 Bdr —A4nx V'.2m.(£+0), f#y8ar = — Ar V'm,£, fv28ar —=A4n P?m,(Ë +2),
[547 = 4 x V [— me € + me + p) |.
En portant ces valeurs dans l’équation (174), on obtient : 1°. les termes qu’on voit dans la deuxième des formules (146):
2°. le terme 4 x V? n (+) L Pé5:\ x
qui est indépendant du mouvement vibratoire et qui disparaîtra, par conséquent, dans la valeur de $ produite par la molécule entière ;
3°. le terme
le ()s C0) CO Ie
2 ms MEN, © mes) |] — {5 ( te t )+5 t | qu’on peut négliger pour les mêmes raisons qui ont conduit à l’omission des termes (170).
Détermination de la force qu'une particule vibrante éprouve. en vertu de l'état de l'éther qu’elle excite elle-même
9. Pour calculer cette action, il faut recourir de nouveau aux formules (159) et (160};; cependant, on les simplifiera cette fois-ci en ayant égard à ce que x est un intervalle de temps très court.
Commençons . par rappeler les valeurs des fonctions & G etc. En désignant maintenant par o’ la densité électrique et
PT 5 5e 5 7 5e t— x et le point (x ,y ,2), on peut ‘écrire :
les valeurs des dérivées pour l'instant
Ben n=[r- en]
— + pr E+ DES + Eee,
( ( ( — ( 2 __ 2 — G (1 1,92) = E+p)13S +7 D (175) ù © ., —105g +10; Blt—ux,y,e)=-(E+p)rIe pre dx dy
Do :
HP) + Le
1 og 0 @ A(—x,x ,Yy ,2) —4x V2 Œ 5e),
15 | de! de!
B(t—»x,ÿ,#)=4n V' Le = —E+nS |, tu Von y | ù g ù ç C(t—x,x ,y ,2)—=An V? LE +») T — 15
Dans ces expressions, il faut entendre par £, y, & les composantes de la vitesse vibratoire à l'instant — x. Mais, dans le cas qui nous occupe actuellement, les valeurs de x — x, Yÿ — y, 2 —2 sont très petites par rapport à la longueur d'onde et le temps x le sera par rapport à la durée d’une vibration.
Il est donc permis d’écrire
EE Ë, =; Ctrl,
où l'indice { indique les valeurs relatives au temps {. De plus, les termes x£,, x y, peuvent être traités comme des infiniments petits, ce qui nous donne:
(E + p)? = (E+ p}° — 2x (Er + p) Ée, etc.
C'est ainsi que tous les coefficients de Le , etc. peuvent
être exprimés en &4, #, Le, Ët, mt, Ce. Pareillement, nous rem-
placerons Eo',ne, bo par (£e — x Ë?) o’, etc. Ensuite, les valeurs qu’on trouve pour (t— x, ,y ;,z), etc. doivent être portées dans les formules (159) et (160), et ce qu’on obtient pour f,9,h, «,f,7 sera substitué à son tour dans les équations (1°) ($ 133). Il importe de remarquer que, dans ces dernières, les lettres £, 7, indiquent précisément ce que nous venons de représenter par &4, y, &z. Il est donc permis de supprimer l'indice t; de plus, nous simplifierons en réunissant les différents termes.
LA THÉORIE ÉLEUTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 183 | On a, par exemple, X=fe [4x ntnteles et AnVij+nr-té=— jfsfarS+nC-18 ar,
où F. C, B sont les fonctions % (f— x, ,y ,2), etc. qui se trouvent déterminées par les formules (175) et (176). Posons, pour abréger,
Ji=fe(fter)es J,=fe (fsger)es ,e(faseper a=fe(feg ee) à
et indiquons par J”, J',, J,, J, ce que deviennent ces in-
tégrales si on ÿ remplace =: par a Alors
X= — (+0 |, — —ËT, +[2E+DË+nn+tt) + + +p)7 de + E+DE Ji |, = LV à [eee], - — 7 J, + LE +) Ë +2r1+tt] J', + (77) + nË J', + n Ed’, |, = 7 + Dep | Ji —
—{T, + LE+mÉ+ur+2ti] J', +
+LËJ, + Cr |. |
184 H. A. LORENTZ 10. Quelles sont maintenant les valeurs de J,,J,, ete.? Dans le calcul des intégrales Î dr et Far, il y a
une difficulté: c’est que la lettre o’ indique la densité électrique qui existe dans le point (4 ,y,2) à l'instant {—x. Nous allons cependant transformer les expressions de façon qu’elles contiennent seulement la densité relative au temps t. Remarquons d’abord que, sans changer la valeur des intégrales, on peut prendre pour origine des coordonnées le point (x, y, 2) pour lequel elles doivent être calculées; de plus, pour une raison qu'on comprendra bientôt, j'écrirai x”, y”, 2” au lieu de x’ ,y ,2 et dr” au lieu de dr’. Alors:
— és Æ 112 112 = = y° +Yy?+2?,.... (178) RS LE = = p V? — p?
et il s'agira des intégrales
Supposons que le point qui, à l’instant {--x, a les coordonnées x”,y”,2" prenne part au mouvement vibratoire de la particule, et nominons +’,y',2 ce que sont devenues les coordonnées à l'instant t. Le mouvement pouvant être regardé comme uniforme pendant le temps x, on a:
DL HE y =y" + = +6 .... (181)
Ici, les rapports
on en pourra donc négliger les puissances supérieures à la première. Mais, alors, on peut, dans les relations (181), entendre
par x ce que la fonction (179) devient si on y remplace x”, y," par æ,y,2. | Les points qui, à l'instant {—+, se trouvèrent dans un élément dr”, situé au point (x”,y”,z"), se trouveront, à l'instant £, dans un élément de volume dr’, situé au point (2’,y',2). Or, d’après un théorème bien connu, RTL Oz” dx? dx" | du o# op 2 lOy ? dy ” dy | ÉPRTREE 1 02/0% 702.
équation qu’on peut mettre sous la forme
0 x dx 0 x 1 mm — DT TT ét / défis ni is )dr parce que | 2 x” dx 0x” À x PR FES TERRE T ER et que dx 0% 5 3g?
sont du même ordre que les expressions (182).
IL. Ceci établi, les intégrales (180) peuvent être transformées en d’autres auxquelles chaque élément dr' contribue pour un terme. Seulement, dans les premières intégrales, il
fallait entendre par : et T les fonctions de x”, y”, z” qu'on
déduit des équations (178) et (179). Si on veut indiquer par ces signes les fonctions analogues de 2’, y’, z, il faut remplacer
L et + par
T Lun (Lun (ar (2) rt "Sox Nr) “Toy :) SrFANVE
et
TROT OO 2 (£ rt "S5x \t #75y \% Fr: ):
Quant à o', cette densité est évidemment égale à celle qui existe dans le point (x,7',2") à l'instant t.
On finira par trouver, pour les intégrales (180), qui ont été primitivement représentées par
LE yr'etf*e d f£aret] Eds, ........ (183)
les formes suivantes: | , T1 Ô * 0 * d fx , DO OO) et do Tax d fx? d fa! d fx? , Je [5 (%) 15%) 57 ()}e (185)
et cela restera encore vrai si, en revenant à une origine des coordonnées quelconque, on entend par x, y, 2 les coordonnées
du point pour lequel on veut calculer Î rar, etc. et par,
y,2 celles du point où se trouve l'élément dr. Je simplifierai encore en négligeant des termes de l’ordre
m2 Dre Alors, Y* se confond avec la distance r des points (x, y, 2) et (æ", Y', z'),
Tr, p&w-x) #=gtr — ÿ?
et les expressions (184) et (185) deviennent
, T1 pi, d frz—x do fx—x" [e br 85% (= )+ 155 (TE F
+ (er
, T1 Pp T—x E æ—x 7 Y—Y Je [+ # + r + r +
et
En remplaçant ici 9 par > 2 E ) TE , 2 7 ,
qui, dans les formules pour ’ 1» TL, etc. est désigné par
1 00 x do [+5 dr, JE ar, etc.
En effet, ces dernières expressions peuvent être transformées de la même manière que les intégrales (183), et cela, parce que les dérivées de la densité par rapport aux coordonnées ont, dans le point (x', y, +) et à l’instant f, les mêmes valeurs qu’elles avaient au moment & — x, dans le point (x”, y”. 2").
12. Le calcul de J,, J,, etc. est ainsi ramené à celui des intégrales
ffecarar, [fe rar, [fee (EE )érdr ete.
on trouvera ce
Ici, les signes op et o’ indiquent les densités électriques, relatives toutes les deux au même instant £ et existant dans les points (x, y, 2) et (x’, y’, z ) de la particule. Tout ce qui dépend du mouvement de cette dernière a disparu et les valeurs des intégrales sont entièrement déterminées par la manière dont la charge est distribuée. De plus, plusieurs des intégrales s’annulent, puisque cette distribution est symétrique tout autour du centre. En effet, si ce dernier point est pris pour origine des coordonnées, p et os’ seront des fonctions paires de æ, y, zet de x,y,2 et une intégrale dans laquelle vw 0’ se trouve multiplié par une fonction impaire de x —x, y — y,
e LU n ' z— 2 s'évanouira. Au contraire, vu que " est une foncd / tion impaire de +’, une intégrale qui contient 5 ne diffé-
rera de 0 que lorsqu'elle contient encore un facteur qui est une fonction impaire de x — x.
Voici maintenant les valeurs des intégrales, en tant qu’elles ne s’annulent pas. On a posé
| — x JE dr = &, feodr=u,
et il faut se rappeler que chaque combinaison de deux éléments dr et dr’ doit être prise deux fois.
[fee drar =, LC Grdr —=—4n V'u, r , d X— TL , d De [fee 5 ( r Jardr=[fÆardr + — M}? i + [fee GET Gode = à Va a, r 3 2e ZT —X y D , À fx—x , [fe = drdrt =— [fee sr ( = Jarar =
= —ÊÎx V? u,
[fes Se dr dr= ff — drdr —= T dz T
