ER
port au temps, qu'on trouve dans les deux termes du second membre, disparaissent si on développe ces termes.
Il en résulte que les conséquences qui découlent du principe de d’Alembert sont indépendantes de la manière dont ôx, Ôy, 02, ou, dans le cas qui nous occupe, e:, e,, 6; varient avec le temps.
Dans l'application qui va suivre, ces dernières quantités sont supposées indépendantes de &.
Voici encnre une remarque importante. Si l’on admet que le seul moyen par lequel on puisse déplacer les points du système consiste à y établir des courants électriques, on obtiendra tous les déplacements virtuels possibles en donnant aux quantités €, e, et e. toutes les valeurs dont elles sont susceptibles.
Application du principe de d’ Alembert.
$ 17. Pour appliquer la formule (3) je considérerai successivement les variations d’7, ÔT et le travail 04.
Par 9’ nous avons représenté la variation que subit l’énergie cinétique si les vitesses des points matériels éprouvent des variations égales à celles qui sont apportées en réalité aux coordonnées. Or, dans le problème actuel, cette condition se trouve réalisée si, tout en maintenant constante la configuration qui se présente dans le mouvement réel, on augmente de 6:, €y, €: les composantes du courant. En effet, si dans les formules (16) les coefficients À, B, C, À’, .... demeurent invariables et que les composantes du courant électrique reçoivent les accroissements e-, e,, e:, les variations de £, y et & seront:
Z(4ez + Bey + Ce),
2 (4'ez + B'e, + C'e:),
2 (4'ez + B'e, + C'es); elles deviennent égales aux valeurs que les équations (18) donnent pour dx, dy, dz.
On voit donc que la variation 9’ T peut être calculée au moyen de la formule (15); il faut pour cela remplacer ôu, Ôv, dw par er, 67. 6. Comme ces quantités sont supposées indépendantes du temps, on trouve:
ue Ier | )a —J\%T + re 5
les valeurs de , €, 7e se rapportant au mouvement réel.
$ 18. La variation à T devient 0, si l’on introduit l’hypothèse suivante, analogue à celle dont Maxwell s’est servi dans sa théorie des circuits linéaires. ($ 2).
La position de chaque point matériel se trouve déterminée par les quantités d’électricité qui, à partir d’un moment fixe arbitrairement choisi, ont traversé les éléments de surface qu'on peut faire passer par les différents points de l’espace; ou, ce qui revient au même:
Si, après une série de mouvements, chaque élément de surface a été traversé dans les deux directions opposées par des quantités égales d'électricité, tous les points matériels se trouvent ramenés à leurs positions primitives.
Il est presque superflu de dire que la quantité d’é lectricité qui traverse un élément do pendant un certain temps dans la direction positive est représentée par l'intégrale |
fo at.ds
et qu’on parle d’une quantité d'électricité e qui est passée vers le côté négatif, si cette intégrale a la valeur: — e.
L'hypothèse mentionnée donne lieu à ce théorème:
Si les quantités e-, e,, e. sont indépendantes du temps, le mouvement varié, bien qu'il diffère du mouvement réel par les configurations qui se succèdent, consiste en un système de courants dans lequel u, v, w ont les mêmes valeurs que dans le mouvement réel.
Or, l'énergie cinétique dépend uniquement des valeurs de
u, v et w; on trouve donc Ô T—=0.
$ 19. Voici comment on démontre le théorème du paragraphe précédent.
Soient W, et W, les configurations qu’occupe le système dans le mouvement réel aux moments {et {+ dt, W' et W,' les configurations variées correspondantes. Le mouvement varié est celui qui fait passer le système de la position W,' à la position W,, ce passage s’accomplissant dans le temps dt et tous les points décrivant des lignes droites, infiniment petites.
Si donc on commence par la position W,', et qu’on donne successivement au système les déplacements:
W'—-W,, WW, WW; le mouvement varié est celui par lequel la position primitive W,' se rétablit après un temps di.
Pendant les trois déplacements, des éléments de surface perpendiculaires aux axes ont été traversés successivement par les quantités d'électricité :
—— Cr, —©y, —E:, —udt, —vdi, —wdtit, + @r, +ey, + e:, toutes ces quantités ayant été rapportées à l'unité de surface. Si donc, à partir de la position W,', on fait exister pendant un temps d{ des courants u, v, w, la somme algébrique des quantités d'électricité qui ont traversé un élément devient 0 et d’après notre hypothèse le système est ramené à la position W,'. Le système des courants uw, vw, w constitue donc bien le mouvement varié W, — W,.
$ 20. Reste à considérer le travail à À. Lorsqu'on en veut calculer la valeur, on peut passer sous silence toutes les forces qui servent à maintenir les liaisons du système, c’est-à-dire les forces qui sont mises en jeu, parce que la distribution du courant électrique doit être solénoïdale et parce que l’induc-
tion et la force magnétiques qui déterminent les mouvements électromagnétiques sont liées aux courants de la manière qui a 6té considérée au paragraphe 9. Les forces dont il faut bien tenir compte ne sont pas les mêmes dans des corps de nature différente. Cependant, comme on le verra plus loin, on peut dans tous les cas indiquer pour chaque point de l’espace trois quantités À, YŸ, Z, telles que
— [ae + Ye,+ Ze:)dr . .... (19)
représente le travail des forces pour le déplacement virtuel défini par er, @y, ez.
La formule (3) devient donc:
— fe + Ye, + Ze:) dr =
=[(Ge+s À ey + eds, . .« . + (20)
relation qui renferme à elle seule toutes les équations du mouvement. Pour en tirer toutes les conséquences, il suffit d’exprimer que la formule doit être vraie pour toutes les valeurs admissibles de e-, ey, 6. Cependant, avant de procéder plus loin, il sera utile d'étudier les valeurs de X, r, Z dans des cas particuliers.
Valeurs de X, Y et Z pour les diélectriques.
$ 21. Lorsque quelques-unes des forces qui agissent dans le système dérivent d’une énergie potentielle, le travail de ces forces est égal à la diminution de cette énergie. Or, suivant les idées de’ Maxwell, les forces qui agissent dans les corps non conducteurs ou diélectriques possèdent cette propriété.
Dans les diélectriques il existe un état d'équilibre naturel qui est dérangé par tout mouvement de l'électricité, et un tel dérangement donne lieu ‘à une certaine énergie potentielle.
Appelons f, g et h les quantités d'électricité qui, à partir de l’état naturel, ont traversé des éléments de surface perpendiculaires à OX, OY et OZ, ces quantités étant ramenées à l'unité de surface ; alors on peut écrire pour l’énergie potentielle par unité de volume | Lvesf? +vyy 9 + vas R? + 2ve,yf9 + 2vy,2 9h + + 2v,zhf),............ (21)
où les coefficients » dépendent des propriétés physiques du corps. Dans le cas des diélectriques anisotropes il est en général nécessaire de connaître les valeurs des six coefficients. Pour les corps isotropes la chose est plus simple: les coefficients Vz,y, Vy,z €t ve, S'évanouissent e‘ les trois autres ont une valeur commune ».
Pour augmenter la symétrie des formules, j'écrirai quelque- ÎOIS »y,z, Vz,ys Vr,z AU lieu de v2,y, Vy,z, V2, x
$ 22. Les quantités f, g et h peuvent être regardées comme les composantes d’un vecteur que je représenterai par D et que Maxwell nomme le déplacement diélectrique. En se rappelant la définition de f,g et k on s'assure facilement que la distribution de ce vecteur doit être solénoïdale, ce qui s’exprime par les formules: !)
. Of 90g Oh.
RÉTRE ri IRRREEES (22 (D), —= (D): .. (23)
S'il y a mouvement de l'électricité, les valeurs de f, g eth changent avec le temps et les composantes du courant sont évidemment données par les formules:
D'une manière analogue, les quantités e, e,, e. qui déterminent un déplacement virtuel doivent être considérées comme des variations de f, g et h. |
1) Ces formules cessent d’être vraies s’il y a une charge électrique” à l’intérieur d’un isolateur ou à la surface qui sépare deux de ces corps. Je reviendrai sur ce cas au paragraphe 43: |
$ 23. Cette dernière remarque conduit à la valeur suivante de à À, en tant que ce travail dépend des forces qui agissent à l’intérieur d’un diélectrique :
LICE Vz,y 9 + vx, 2 R) 6x +
dt.
+ Gus] + 9,99 + vy,2h) 07 + (v2, 2 f + v2,9 9 + v2,2h)ez
En identifiant ceci avec l’expression (19), on trouve
X=va2f +99 +vash = vy2f + vys9 + vy,2h, pre. (25) L= ve,2f + v2,y9 + V2,2 h.
Valeurs de X, Y et Z pour les conducteurs.
$ 24. Le développement de chaleur qui accompagne les courants électriques dans les conducteurs prouve que dans ces corps il y a des causes qui tendent à diminuer l'énergie électromagnétique. Il faut donc admettre qu’il existe des forces, comparables au frottement de la mécanique ordinaire, dont le travail est négatif dans tous les mouvements réels.
La quantité de chaleur qui est dégagée dans un fil conducteur étant proportionnelle au carré de lintensité du courant, il est naturel de supposer que dans un conducteur quelconque le développement de chaleur est une fonction homogène du second degré de u, v et w. J’écrirai donc pour le travail de la résistance par unité de volume, pendant le temps di,
— (ue, 2 7 Hg, y V2 + 42,2 W° + Dur, y U 0 + Day, x 0 W+ 2, x W U) dt
ou
— [ea 0 + 2, y Vs, 2 W) U dE (ny, à U Hey, y DH kg, 2 W) 0 dE + + (eee U + %2,y 0 + 4,2 W) w dt],
les constantes x dépendant de la nature du conducteur et
#y,z K2,y, %z,2 désignant la même chose que %:,y, %y, 2; %2, x. Si le conducteur est isotrope, on à 42,9 = %y, : = %,z = 0,
et les coefficients x2,+, #y,y et x7,: Ont une valeur commune x.
Les produits udt, vdt, wdt représentent pour le mouvement réel ce que nous avons indiqué dans le cas général par er, @y, @. On voit donc que, tant qu'il s’agit d’un mouvement réel, le travail des forces peut être calculé au moyen de la formule (19) si l’on pose:
X' = ur,r 0 + 47,9 0 + 4r,z V, Ÿ = 47,7 + %y,y9 0 + 4y,z WU, . + + + (26) Z'=hsrU + 42,90 + 42,2 U. |
Or, je supposerai que, si on emploie ces valeurs, le travail des forces dans un déplacement virtuel peut également être mis sous la forme (19); hypothèse, du reste, qui est confirmée par le fait que les conséquences qui en découlent s'accordent avec l’expérience. |
Il n’y a qu’un seul cas où l’on a eu recours à des valeurs de X, Y et Z différentes de celles que je viens d'indiquer.
Pour expliquer le phénomène de: Hall, qui se produit dans des feuilles métalliques placées dans un champ magnétique, on a ajouté aux derniers membres des équations (26) des termes de la forme:
l,v—luw, l'w—l,u, L'u—l, v.
Mais le phénomène de Hall ne sera pas considéré dans ce mémoire.
Équations du mouvement.
$ 25. Revenons maintenant à l'équation (20), qui peut être remplacée par :
do F Ôd6G d H
si on désigne par p, q et r les cosinus directeurs du vecteur 6e dont e:, e,, 6 sont les composantes.
Il faut appliquer cette condition à tous les déplacements
virtuels qui sont compatibles avec la condition que la distribution du vecteur e doit être solénoïdale.
Concevons un tube annulaire d’une section infiniment petite ; l’axe de ce tube, c’est-à-dire la ligne fermée s qui passe par les centres de gravité de toutes les sections droites, peut être de forme quelconque. Désignons par « la surface d’une de ces sections, et prenons 6 — 0 dans tous les points à l'extérieur du tube. Supposons aussi qu’à l’intérieur le vecteur e ait partout la direction d’une circulation le long de la ligne s, que 6 ait une même valeur dans tous les points d’une même section droite et que le produit 6w ne change pas d’une section à l’autre. On reconnaîtra immédiatement que la distribution de e est alors solénoïdale. En substituant dans la formule précédente :
drT—=owds
et en divisant par ew, on trouve
fG +5 p+(r+5) a+( (2+ 5 [és=0, ( (27)
équation qui doit être vraie pour une ligne fermée quelconque, et dans laquelle p, q, r sont maintenant les cosinus directeurs d’un élément de cette ligne.
$ 26. Si l’on prend pour la ligne fermée le contour d’un rectangle infiniment petit dont les côtés sont parallèles à deux des axes des coordonnées et qui n’est pas coupé par une surface de discontinuité, on trouve:
OY 0Z à (CE - s.)
nd — Sy — Di
07 dy — 0 y dz
0Z 0X 9 foF 0H RTE ... . (28) x __2 (6 0"
dy dæ 0t\0x 0y
On peut considérer en second lieu une ligne fermée qui se trouve inoitié d’une part et moitié d’autre part d’une surface de discontinuité. Soit 8 une ligne quelconque non fermée située dans cette surface; le contour auquel j’appliquerai la formule
(27) sera composé de deux lignes s, et s,, situées des deux côtés de la surface à une distance infiniment petite de la ligne s, et de deux lignes infiniment petites qui joignent les extrémités de s, et s,. Comme les fonctions F, G et H sont continues ($ 12), la formule (27) revient à la condition que les intégrales du vecteur (X, Y, Z), prises le long des lignes s, et s,, doivent être égales entre elles. Or, ceci exige que, si R représente ce vecteur, on ait pour toute direction À située dans le plan tangent :
T1 est facile de s'assurer que la condition (20) sera remplie pour tous les déplacements admissibles, dès que les composantes X, Ÿ, Z satisfont aux équations (28) et (29). Nous avons donc trouvé le système complet des équations de mouvement.
$ 27. En ayant égard aux formules (14) on peut donner aux équations (28) la forme:
OX DY dc 5y 5x D.
ce qui présente l’avantage que les fonctions F, G et H ont disparu. Tous les problèmes spéciaux peuvent être traités au moyen de formules qui ne contiennent que le courant électrique, le déplacement diélectrique, les fonctions X, Ÿ et Z'et enfin la force et l’induction magnétiques. Les équations (4), (5), (6), (8), (9), (10), (11), (22) et (23) expriment les liaisons entre les parties du système; les équations (24) résultent de la définition même de f, g et h; dans les formules (25) et (26) on a résumé ce que l’expérience nous apprend sur les forces agissant dans le système; enfin les relations (30) et (29) sont 7 les équations du mouvement proprement dites. Tout comme dans la mécanique ordinaire, elles nous font connaître la dépendance mutuelle des forces et des accélérations. En effet,
les valeurs de la force et de l’induction magnétiques déter-
minent les vitesses des mouvements électromagnétiques; les
accélérations se trouvent par conséquent renfermées dans les Ja db de
dérivées St? Dt? 5 .
Formules de l'électrostatique.
$ 28. S'il y a équilibre électrique, on a uw —=v—w—= 0, et par conséquent la force magnétique, l’induction magnétique et le vecteur (F, G, H) disparaissent. La formule (27) exige alors que pour toute ligne fermée on ait
[ x» + Yg+Znds= | R,ds—0,.... (31)
condition qui se laisse encore énoncer comme il suit: Pour toutes les lignes qu’on peut mener entre deux points A et P l'intégrale
doit avoir la même valeur.
Prenons pour À un point situé à l'infini; la valeur de l'intégrale prise avec le signe — est alors appelée le: potentiel au point P. Cette fonction sera représentée par .
De cette définition et de la circonstance qu’à l’intérieur d’un conducteur X, Ÿ, Z ont, dans le cas de l'équilibre, la valeur 0, on déduit les propositions suivantes:
a. Le potentiel est 0 à distance infinie.
b. Dans tous les points d’un même conducteur il a la même valeur.
c. Il est continu à chaque surface de discontinuité
d. Les fonctions X, Ÿ et Z sont données par les formules :
$ 29. Les équations (25) peuvent être mises sous la forme : f=ve,e À + vas Y+ru,z Z, I = ry,r À + D'y,y Y + ÿ'y,z Z, h=5r:,2z X +rzy Y +2: Z, les coefficients »’ étant déterminés par les valeurs des coefficients », et »,,z, v'2,y, vx, étant respectivement égaux à »'r,v, V'y,2) Y'2,z.
En substituant dans ces formules les valeurs de X, Ÿ et Z données dans le paragraphe précédent et en portant les valeurs de f, g et h dans les équations (22) et (23), on trouve des équations différentielles qui, jointes aux conditions déjà trouvées, suffisent à la détermination du potentiel g dès que la valeur en est connue pour chaque conducteur du système.
Dans le cas d’un diélectrique homogène et isotrope, la formule (22) conduit à l'équation connue de Laplace.
$ 30. Supposons qu’au moyen des valeurs de g dans les différents conducteurs du système on ait calculé pour tous les points de l’espace les valeurs de ?, f, g et h. Quelle est alors la grandeur de la charge de chaque conducteur ? Ce qu’on appelle ainsi, c’est la quantité d'électricité Æ qu'il faut enlever au conducteur, au moyen d’un fil métallique par exemple, si l’on veut ramener le système à l’état naturel.
Soit s une surface fermée, enveloppant le conducteur et traversant le fil conducteur qui sert à opérer la décharge. Distinguons par les indices d et f les intégrales qui se rapportent aux parties de la surface situées dans le diélectrique et dans le fill En vertu de la propriété fondamentale des courants électriques, il faut qu’à chaque instant pendant la décharge :
[,œde+ [ C,do—=0 ,
où bien, comme dans le diélectrique
__ db, =;
d [,œd=—7 [ D, do.
Je suppose la normale n dirigée vers l'extérieur de la surface. |
Multiplions par dt l’équation précédente et intégrons sur toute la durée de la décharge. Le premier membre devient alors égal à la charge que possédait le conducteur, et, en entendant par D le déplacement diélectrique qui existait avant la décharge, on trouve | |
Par des raisonnements qu’il est superflu de reproduire ici, on s'assure que la formule est encore vraie si le conducteur est maintenu isolé et que l'intégration soit étendue à toutes les parties d’une surface fermée enveloppant le conducteur.
Dans ce qui a été dit dans les trois derniers paragraphes ou reconnaîtra immédiatement des propositions bien connues de l’électrostatique.
Hypothèse du fluide électrique.
$ 31. Plusieurs des raisonnements qu'on trouve dans ce mémoire peuvent être rendus plus clairs au moyen d’une hypothèse qui est une de celles dont M. Poincaré s’est servi dans son exposition !) de la doctrine nouvelle et que je vais présenter sous une forme un peu différente. On peut supposer que tous les corps, y compris l’éther, sont imprégnés d’un fluide incompressible, dont le déplacement constitue les phénomènes electriques. Dans les corps diélectriques, les particules de ce fluide doivent être regardées comme liées à des positions d'équilibre, vers lesquelles elles sont ramenées dès que la force qui causait un déplacement cesse d’agir ; dans les conducteurs, au contraire, il ne peut être question d’une position d’équilibre et ces corps
1) Poincaré, Électricité et Optique (1890), T. I. Chapitre II.
peuvent se retrouver dans leur état naturel après des déplacements du fluide très considérables.
Selon cette manière de voir, les composantes u, v et w du courant électrique ne sont autre chose que les quantités du fluide incompressible qui traversent des éléments de surface perpendiculaires aux axes des coordonnées, ces quantités étant toujours rapportées à l’unité de temps et à l’unité de surface. Ce que nous avons appelé la quantité d'électricité qui a franchi une surface quelconque pendant un certain temps est précisément la quantité du fluide incompressible qui a passé d’un côté de la surface à l’autre. |
Pour cette dernière raison, il convient de donner le nom même d'électricité au fluide hypothétique, bien que la présence à elle seule de cette substance ne donne lieu à aucun phénomène particulier !).
Du reste, il ne faut pas attacher à l'hypothèse trop d’importance. Elle est utile en tant qu'elle nous permet de nous former une image de ce qui était d’abord caché sous les symboles mathémathiques, mais le langage de ces derniers sera toujours préféré par ceux qui désirent se borner à ce qui a été démontré par les observations et à ce qu’il y a de nécessaire dans les hypothèses.
C’est ainsi que les équations (4) et (5) ont pour la théorie de Maxwell une importance fondamentale. En élevant l'électricité au rang d’un fluide incompressible, on leur donne une interprétation qui ne laisse rien à désirer sous le rapport de la clarté, mais on dépasse le domaine des suppositions nécessaires.
$ 32. Voyons maintenant ce que c’est dans l’hypothèse du fluide, qu’une charge électrique. Un conducteur étant relié à un autre corps, à la terre par exemple, par un fil métallique, on peut faire agir des forces ,électromotrices” sur le fluide électrique contenu dans ce fil. Si ces forces sont dirigées vers
1) M. Poincaré donne le nom de fluide inducteur au fluide incompressible qu’on suppose dans les diélectriques, et celui d'électricité au fluide contenu dans les conducteurs.
le conducteur, il en résultera une charge que je nommerai positive. Une nouvelle quantité d'électricité entrera dans le conducteur, mais, en vertu de l’incompressibilité, une quantité égale en dépassera la surface et chassera devant elle le fluide contenu dans le diélectrique ambiant. La charge sera mesurée soit par la quantité d'électricité qui a traversé une section du fil, soit par celle qui s’est déplacée dans le diélectrique vers l’extérieur d’une surface fermée quelconque enveloppant le conducteur.
En renversant la direction des forces électromotrices on obtient une charge négative. Le déplacement de l'électricité prendra alors dans tous les points du système une direction opposée à celle qu'il avait dans le cas précédent.
Le déplacement du fluide dans le diélectrique donne lieu à des forces qui cherchent à le ramener vers la position primitive et qu'on peut réunir sous le nom d’élasticité diélectrique. Si la charge est positive, ces forces tendront à repousser l'électricité vers le conducteur; il en résultera dans le fluide de ce dernier un surcroît de pression et un état permanent aura été atteint dès que la pression augmentée fait équilibre aux forces électromotrices dans le fil.
De la même manière, il y aura diminution de pression dans le conducteur, si la charge est négative. La pression peut cependant rester positive si dans l’état naturel du système elle avait une valeur suffisamment grande.
$ 33. Bien que nous ayons regardé le fluide électrique comme remplissant tout l’espace, il faut admettre que d’autres matières y peuvent également trouver place, soit que ces substances différentes soient des manifestations diverses d’une matière unique, soit qu'une constitution atomique leur permette de se pénétrer mutuellement. Il y a d’abord la matière pondérable ; en second lieu, il faut que l’éther contienne une matière capable de retenir l'électricité et de la ramener vers la position d’équilibre; enfin les points matériels qui sont chargés des mouvements électromagnétiques doivent être regardés
32 ….. ÎH. À. LORENTSZ.- °
comme n’appartenant pas au fluide électrique lui-même. On risquerait d’être ‘entraîné en de vaines spéculations si on voulait se former une idée précise de ce mécanisme compliqué; aussi me bornerai-je aux distinctions que je viens d’indiquer. Inutile de dire que cette analyse des phènomènes n’est que provisoire et pourra être modifiée profondément dans une théorie plus avancée.
J'indiquerai par M à la fois la matière pondérable et la substance qui retient l'électricité contenue dans l’éther, par N la matière qui est le siège des mouvements électromagnétiques.
$ 34. Pour fixer les idées je supposerai que la matière M est immobile et qu'elle ne fait point partie du système auquel nous avons appliqué le principe de d’Alembert. Ce système est donc composé du fluide électrique et de la matière N. Les conditions qui en limitent la mobilité reviennent à l'incompressibilité du fluide, d’une part, et à ce que, d’autre part, tout mouvement de ce fluide donne lieu à un mouvement électromagnétique parfaitement déterminé.
Tout comme dans la mécanique ordinaire, certaines forces sont mises en jeu en vertu de ces liaisons et servent à les maintenir. Il existe une pression dans le fluide et entre celui-ci et la matière N un système de forces sur lequel je reviendrai bientôt.
Je supposerai que ces forces, qui sont provoquées par les liaisons et qui n’accomplissent aucun travail, sont les seules qui s’exercent entre les différentes parties du système: fluide électrique + matière N. Si, de plus, on admet que la matière M n’agit pas directement sur la matière N, il faudra dans la formule fondamentale (3) entendre par à À le travail des forces que le fluide électrique éprouve de la part de la matière M:
$ 35. Au paragraphe 20 nous avons admis l’existence de trois fonctions X, Ÿ et Z, telles que le travail d À peut être calculé au moyen de la formule (19). Au point de vue où nous nous sommes placés maintenant, on peut voir dans ces fonctions, prises avec le signe négatif, les composantes de la
force avec laquelle la matière M agit sur l’unité d’électricité. En effet, lorsqu'on écrit — X, —— Ÿ, — Z pour ces composantes, un raisonnement très-simple conduit à l'expression (19) pour le travail. Soit Æ la quantité invariable d'électricité, exprimée en unités électromagnétiques, qui se trouve dans l’unité de volume. Alors la force qui agit sur l'électricité contenue dans l'élément dr a les composantes :
— X kdr, —Ykdr, —Zkdr, ..... (34)
et, si x, y et z sont les projections du déplacement infiniment petit d’une particule du fluide, le travail de cette force devient:
—(Xx+Yy+Zrkdr.
Mais évidemment kx—=ez:, ky =ey, kz=es.
La dernière expression devient par conséquent — (Xe + Ye, + Ze.)dr,
ce qui donne pour le système entier S4=—[(Xe + Ye, +Ze.)dr.
. $ 86. IL est clair quel sens il faut attacher maintenant aux équations (25) et (26). En changeant le signe des seconds membres, on trouve les composantes de l’élasticité diélectrique et de la résistance, c’est-à-dire de la force qui, dans les diélectriques, cherche à ramener vers sa position d’équilibre le fluide électrique, et du frottement qui s'oppose au mouvement de l'électricité dans les conducteurs. Pour les corps isotropes ces composantes deviennent. |
, —v ], —vg, —»%h,
— AU, — XV, —%xU.
Ce sont les valeurs auxquelles on est conduit par les hypothèses les plus simples qu’on puisse imaginer.
$ 37. S'il y a équilibre électrique on peut faire abstraction de la matière N. De plus, le principe de d’Alembert se réduit alors à celui des vitesses virtuelles; on arrive à la formule
fondamentale de l’électrostatique, l’équation (31), en exprimant que le travail des forces — X, — Ÿ, — Z est nul pour tous les déplacements imaginables du fluide électrique, par exemple pour une circulation dans un tube annulaire ($ 25). La valeur du travail à À peut être déduite des équations (19) et (25); il peut également être considéré comme la diminution de l'énergie potentielle (21). Cette dernière est comparable à l’énergie potentielle qui est développée dans les corps élastiques ordinaires par un dérangement de leur équilibre.
Du reste, les problèmes d’électrostatique admettent un autre traitement, qui consiste à exprimer directement l’équilibre des forces qui agissent sur le fluide électrique contenu dans un élément de volume dr. On a d’abord les forces (34): il y faut ajouter celles qui résultent de ce que la pression p du fluide n’a pas la même valeur tout autour de dr. Ces forces sont évidemment
9pP op 9pP — 5,1 —3y% —3,,45
et la condition cherchée s'exprime par les formules :
xp Po — ve 0 = gr —°2—0, dx. 0 y 02
Soit p, la pression qui existe à l’état naturel du système,
et définissons le potentiel par la formule p — P TT Po
les dernières équations se réduisent alors aux formules (33) que nous avons trouvées précédemment. .
On voit ainsi que, dans l'hypothèse du fluide électrique, le potentiel est intimement lié à la pression. Cela est du reste fort naturel, car on comprend immédiatement que la pression peut jouer le rôle qu’on attribue au potentiel. Si deux conducteurs sont reliés l’un à l’autre par l'intermédiaire d’un fil métallique, il y aura équilibre lorsque la pression a la même
valeur dans les deux corps; s’il n’en est pas ainsi, le fluide électrique tendra à se mouvoir vers le côté où la pression a la valeur la plus basse.
Courants invariables.
$ 38. Lorsque deux points d’un corps métallique C' sont reliés aux pôles d’un élément voltaïque, il s’établit un régime permanent, dans lequel uw, », w et par conséquent la force et l'induction magnétiques sont indépendants du temps. En toute rigueur, la théorie que nous avons développée jusqu'ici ne suffit pas à l’étude complète d’un tel cas, parce qu’elle ne tient aucun compte des forces électromotrices qui sont en jeu dans les combinaisons voltaïques. Cependant les équations (30) n’en sont pas moins applicables, pourvu seulement qu’on se borne aux parties de l’espace où il n'existe pas de forces électromotrices, par exemple au corps C et au diélectrique environnant. Mais, si a, b et c ne varient pas avec le temps, ces équations se réduisent à:
On en déduit de nouveau le théorème que l'intégrale (32) a la même valeur pour toutes les lignes qu’on peut mener du point À au point P. Seulement, il faut ajouter la condition que les lignes dont il s’agit doivent être situées entièrement dans une région exempte de forces électromotrices.
Cela posé, on définira le potentiel + de la même manière qu’au paragraphe 28, et on aura encore les formules (33), dans lesquelles on substituera les valeurs (26) si l’on veut étudier la distribution du courant électrique dans le corps C.
$ 39. Je n’insisterai pas sur les questions que présentent les courants permanents. Cependant, 1l importe de remarquer que la théorie du fluide électrique arrive d’une manière fort simple
aux équations fondamentales si on introduit deux hypothèses, à savoir, que la matière N n’a aucune influence sur un mouvement stationnaire de l'électricité et que le fluide électrique lui-même n’a qu’une masse insensible. Cette dernière hypothèse nous permet d’égaler à 0 la force résultante qui agit sur l’électricité contenue dans un élément de volume, sans nous préoccuper des changements en grandeur et en direction que la vitesse d’une particule déterminée du fluide électrique subit en général, même dans les courants constants. En vertu de la première hypothèse, les forces en question consistent dans
celle qui dérive de la pression et qui a pour composantes : Par Pq Pa x 0 y d2
et dans la force aux composantes:
— Xkdr, —Ykdr, — Zkdr,
X, Ÿ et Z ayant les valeurs (26). On revient donc aux formules (33).
Quant aux hypothèses précitées, la première est vérifiée par la théorie générale, vu que les seconds membres des équations (30) s’annulent, et la seconde est à la base de toute la théorie. En effet, si le fluide électrique lui-même avait une masse appréciable, il aurait aussi une énergie cinétique, dont la valeur — par unité de volume — serait proportionnelle à (u? +? +w!?). L'expression (12), qui se trouve en accord avec les expériences, serait donc inexacte ou du moins incomplète.
Le phénomène de la dispersion de la lumière semble indiquer l'existence de petites masses qui se déplacent en même temps que l'électricité, et introduisent dans l’expression de l’énergie cinétique un terme proportionnel à (u? + v? + w?), mais il faut admettre que ces masses ne sont pas assez grandes pour se faire sentir dans les expériences sur les courants qu’on peut observer comme tels.
Courants variables.
$ 40. Dans l'explication des phénomènes électrostatiques et de la distribution des courants permanents il n’y a pas lieu de faire intervenir les mouvements électromagnétiques. Dans le premier cas ces mouvements font défaut, dans le second cas ils ont une intensité invariable et sont par cela même incapables de réagir sur l'électricité. C'est dans les courants variables que se manifeste l'influence des mouvements électromagnétiques.
Ce n'est pas ici le lieu de nous étendre sur les phénomènes qui peuvent être expliqués au moyen des formules générales, d’autres physiciens en ayant amplement démontré l’applicabilité. On me permettra cependant de citer un seul exemple.
Figurons-nous qu’un condensateur aux armatures À et B ait été chargé; la première armature ayant reçu une charge positive. Il y a alors déplacement diélectrique suivant toutes les lignes de force électriques, mais principalement dans l’isolateur qui sépare les deux armatures. Ce déplacement est dirigé de À vers B:; il donne lieu à une élasticité diélectrique dirigée en sens inverse, et l'équilibre exige que la pression à l’intérieur de À surpasse celle qui existe à l’armature B. C’est là la différence de potentiel. Que se passera-t-il maintenant si on relie par un fil conducteur les deux armatures? La différence de pression fait naître dans ce fil un courant qui décharge le condensateur, l'électricité qui se trouve dans la couche non-conductrice revenant vers sa position d'équilibre à mesure que la pression diminue dans l’armature 4. Cependant, le courant engendré dans le fil métallique donne lieu à un mouvement électromagnétique dans le milieu ambiant et dans le fil lui-même. Si ce dernier n’avait aucune résistance, le mouvement serait accéléré tant qu'il y a une différence de pression qui pousse de À vers B le fluide contenu dans le fil, et au moment où cette différence se trouve épuisée, c’est-à-dire où le condensateur est sans charge, le mouvement électromagnétique aurait pris sa plus grande intensité. Cela étant, on comprend faci-
lement qu’en vertu des liaisons entre la matière N et l’électricité du fil cette dernière doit continuer de se mouvoir. Le condensateur reçoit ainsi une charge opposée à celle qu’il avait au commencement et en définitive on aura le phénomène bien connu de la décharge oscillatoire. Il est clair que la force qui ralentit le mouvement — le courant électrique et les mouvements électromagnétiques qui en dépendent — et finit par le renverser n’est autre chose que l’élasticité diélectrique excitée dans la couche isolante, et que le mouvement peut continuer d'autant plus longtemps dans une même direction qu'une plus grande masse est en jeu. La masse dont il s’agit doit être cherchée dans la matière N et non pas dans le fluide électrique.
& 41. On pourrait comparer ce dernier à une tige dentée qui se déplace en sens longitudinal, et la matière N à une roue dentée s’angrenant avec cette tige; en effet, une résistance quelconque, qui s'oppose à un mouvement donné de ces organes, ne les amènera pas instantanément au repos ; il faudra pour cela un temps d’autant plus long que la masse de la roue est plus considérable,
Lorsque, dans la mécanique ordinaire, ôn applique le principe de d’Alembert à un tel système — supposé libre de tout frottement — on emploie des formules dans lesquelles ne figure pas la pression existant entre les dents qui se trouvent en contact. D'une manière analogue, nous avons développé la théorie générale des mouvements électriques et nous pourrions établir la théorie spéciale de la décharge oscillante sans nous préoccuper de la réaction que l'électricité éprouve de la part de la matière N.
On ne saurait nier, toutefois, que cette méthode a quelque chose d'artificiel. Si l’on veut comprendre complètement le mouvement de la tige et de la roue dentées, on désirera se rendre compte non seulement du mouvement du système entier, mais aussi de celui de chaque organe considéré séparément. On ne sera satisfait qu'après avoir saisi la relation
entre la rotation de la roue et la force avec laquelle elle agit sur la tige. Relation bien simple, du reste, si la roue n’est soumise à aucune force extérieure et n’est liée à aucun autre organe; elle tendra alors à faire avancer la tige si son propre mouvement est ralenti, et elle s’opposera au déplacement de la tige dans le cas contraire.
Ces considérations nous conduisent à étudier séparément le mouvement du fluide électrique et à introduire les forces qui servent à maintenir les liaisons. On arrive ainsi à une méthode dans laquelle les forces qui seules accomplissaient un travail ÜA sont reléguées au second plan.
Force électrique.
$ 42. Considérons une quantité infiniment petite e du fluide électrique, située à l’intérieur d’un corps pondérable ou de l’éther. La force qu’elle éprouve de la part de la matière M a pour composantes :
— Xe, — Ye, —Ze, et j'écrirai: | X'e, l'e, Ze pour les composantes de la force qui est due au fluide ambiant et X'e, Ye, Ze pour celles de la force qui est exercée par la matière N.
Comme nous négligeons la masse du fluide, toutes ces forces
doivent se tenir en équilibre, c’est-à-dire qu’on aura: X'+X'=X, YV+Y'= y LZ'+Z—=Z.
On voit donc que le vecteur (4, YŸ, Z) représente la force qui agit sur l’unité d'électricité en vertu des liaisons du système. Cette force fait équilibre avec celle qui est due à la matière M, c’est-à-dire avec l’élasticité diélectrique ou le frottement, et on dit souvent qu'elle sert à vaincre ces dernières forces et
qu’elle produit ainsi un déplacement diélectrique ou un courant. Suivant cet ordre d'idées, on regarde dans les équations (25), (26) et (30) comme la cause ce qui auparavant était considéré comme l'effet, et inversement. Jusqu'ici — X, — Y, —Z étaient les forces avec lesquelles la matière M agit sur l’électricité dès qu’il y a un déplacement diélectrique ou un courant; ces forces déterminaient les accélérations que contienrent les seconds membres des formules (30). On peut dire tout aussi bien que ces dernières formules déterminent la force (X, Y, Z) qui est exercée sur l'unité du fluide par le fluide ambiant et par la matière N, et que cette force fait naître un déplacement diélectrique ou un courant suivant les lois qui sont exprimées par les équations (25) et (26).
Cette force (4, Ÿ, Z\ ou R ($ 26) est appelée la foræélectrique. Elle se compose de deux parties, dont la première, aux composantes :
d y À y À y 1 __ TT — __ |? — — + X' = 53? Y = PL Z'= 3, - 5) peut être appelée force électrostatique et la seconde (47, Y”, 7”) Jorce inductrice. Ces deux forces, que les anciennes théories attribuaient à des actions à distance, sont causées, l’une par la pression du fluide, l’autre par la réaction de la matière N. Des formules (35) on tire:
