CURE

1) Je me permets d’avertir le lecteur que les Trais derniers chapitres de ce mémoire sont entièrement indépendants de celui-ci et du troisième.

en contact ne doivent pas glisser l’un sur l’autre et que, par exemple, un corps pondérable sphérique, placé dans un espace d'ou l’air a été éloigné, communique un certain mouvement à l’éther environnant, non seulement lorsque le centre se déplace, mais aussi lorsque le corps tourne autour de ce point.

$ 51. La position de la matière pourra être déterminée par un certain nombre de coordonnées générales, que je nommerai Pis Po ...pa, et il est clair que, s’il n’y avait aucun phénomène électrique, les composantes de la vitesse d’un point inatériel quelconque P seraient données par des expressions de la forme

Q,P1 + @Pa +... + QE Dé, Q'ipi+ d'opa + .... + Q' pe, Q",pi+ Q”, Pat... + Q'xpe,

les coefficients Q changeant avec la configuration du système. Si, en revanche, la matière se trouvait en repos, mais qu'elle fût le siège de courants électriques, aux composantes u, v et w, on aurait pour les vitesses de ce même point P, comme au paragraphe 13, Z(Au+Bv+C w), Z (Au + B'v + C' w), Z (Au + B'v + C'w).

Or, je supposerai que, dans le cas où les courants électriques u, %, w existent dans la matière qui est en mouvement, les composantes de la vitesse d’un point matériel ont les valeurs:

Q, D, +... + @% pe + Z (A u+B v+C w), Q,p, +... + Qz pk + Z(A' u + B' v + C' w), Q", Pi +... + Q'ape + S(A"u + B'v+ Cu).

$ 52. En partant de ces expressions, on trouve pour l’énergie cinétique une valeur de la forme : | T=T +T, +T,.

Le terme 7, est ici indépendant des courants électriques,

tandis que T, ne contient aucune des vitesses p, . . . pde la matière. Dans le second terme se trouvent les premières

puissances de ces vitesses multipliées par les mêmes puissances de u, v et w. |

Dans les questions dont je m'’occuperai, le terme 71”, ne joue aucun rôle et j’admettrai, comme le fit Maxwell dans sa théorie des circuits linéaires, que le terme T, s’annule. Je n’aurai donc à parler que de l’énergie T,, que je représenterai dorénavant par T et qui est évidemment l’énergie que posséderait le système si la matière était mise en repos sans que les courants en fussent changés.

Cette énergie peut donc être calculée de la manière que j'ai exposée aux paragraphes 7—10. Il importe toutefois de remarquer que, si on effectuait ce calcul pour des époques successives, on obtiendrait pour T des valeurs différentes, non seulement parce que la distribution des courants ne restera pas la même, mais encore parce que, en vertu du mouvement de la matière, les coefficients # changent d’un instant à l’autre dans un même point de l’espace.

Quantité d'électricité qui traverse une surface.

$ 53. Dans les considérations du chapitre précédent, les composantes du courant déterminaient les quantités d’électricité qui se déplacent à travers des surfaces ayant une position fixe dans l’espace. Dans le cas qui nous occupe actuellement, elles nous donnent d’une manière analogue la quantité d’électricité qui traverse une surface qui est liée fivement à la matière et se déplace avec elle, et dont, par conséquent, la forme et les dimensions changent continuellement !).

1) Je crois pouvoir présumer que tous les physiciens sont d’accord sur ce point. Si deux conducteurs sont reliés l'un à l’autre par un fil métallique dans lequel il y a un courant de l'intensité 1, la charge de l’un subira par unité de temps une augmentation 1, et celle de l'autre une diminution égale; il en sera ainsi quelle que soit la vitesse d’un mouvement qu’on imprime au système tout entier. On dira donc qu’une surface séparant les deux conducteurs est traversée dans l'unité de temps par une

Si un élément d’une telle surface coïncide à l'instant { avec un élément do dont la normale a pour cosinus directeurs p, q, r, cet élément mobile sera traversé entre les moments fet lt + dt par la quantité d'électricité

(pu +qu+ruw)dodt.

Selon la théorie de Maxwell, la distribution du courant électrique doit toujours être solénoïdale, ce qui s'exprime par les équations (4) et (5). Dans le chapitre précédent, cette condition impliquait l'égalité des quantités d'électricité qui entrent et qui sortent par une surface fermée, immobile dans l’espace ; maintenant, la condition exige la même chose pour une surface fermée qui se déplace avec la matière.

$ 54. Comment concilier les idées que je viens d’exposer avec l'hypothèse d'un. seul fluide électrique imprégnant toute la matière? Il faudra, en premier lieu, admettre qu’un courant électrique consiste, non pas dans le mouvement absolu d’un tel fluide, mais dans son mouvement relatif par rapport à la matière. En second lieu, il faudra renoncer à l’hypothèse de l’incompressibilité et lui substituer une autre plus générale. En effet, la matière peut se mouvoir sans qu'il y ait des courants électriques, et elle peut subir pendant ce mouvement un changement de densité. Dans ce dernier cas, le volume limité par une surface fermée qui passe toujours par les mêmes particules de la matière n’est pas invariable, et cependant aucune quantité d'électricité ne franchit cette surface. Au lieu de dire que le fluide électrique est incompressible, il faudra donc admettre qu’une partie déterminée de la matière en contient toujours la même quantité,

quantité d'électricité i; pour cette surface on peut prendre une section du fil qui passe continuellement par les mêmes particules métalliques. Mais, évidemment, la même chose ne sera pas, en général, vraie pour une surface immobile.

Application du principe de d’ Alembert.

$ 565. C’est de nouveau l'équation générale (3) qui va nous fournir les équations du mouvement.

Comme ïl ne s’agit pas de trouver les lois qui régissent le mouvement de la matière, je me borneraï à des déplacements virtuels auxquels elle ne prend point part. Ce n’est que l'électricité et les particules animées des mouvements électromagnétiques qui en seront affectées, et les changements de position seront déterminés au moyen des quantités 6z, 6y, €s, absolument de la même manière que dans le chapitre précédent. I} est facile de s’assurer que la variation d T'est toujours donnée par la formule |

ÿ T=f(Fe: + Ge,+ He.)dr,...... (39) les fonctions F, G et H étant déterminées, comme auparavant, par les formules (14).

$ 56. Cependant, dans le calcul de la dérivée

do’ T “dt ?

je ne supposerai plus qu’à l'instant { + dé les quantités e., ‘y, ©: aient les mêmes valeurs qu’à l'instant t. Il est vrai que, tant que la distribution du vecteur e demeure solénoïdale, on est entièrement libre dans le choix des composantes et qu’elles pourraient par conséquent être prises indépendantes du temps, mais le calcul du terme à T dans la formule (3) en deviendrait assez difficile.

Il est plus commode de donner aux composantes relatives au temps {+ dt de telles valeurs e’:,6’,,e, qu’un élément de surface quelconque, qui se déplace avec la matière, soit traversé par la même quantité d'électricité en vertu du déplacement (e-,67,e:) à l'instant { et en vertu du déplacement (e’z,e’7,e") à l’instant { + dt.

On reconnaîtra immédiatement, d’abord, que le vecteur (er, 7.6) se trouve ainsi complètement déterminé dès que le vecteur (@z, 67,6) a été choisi, le mouvement de la matière

pendant le temps dé étant connu, et, en second lieu, que la distribution de l’un des deux vecteurs est solénoïdale si l’autre jouit de cette propriété.

$ 57. Grâce au choix que je viens de faire, le terme à T dans l'équation fondamentale s’annule, si du moins on adopte l'hypothèse suivante, qui n’est autre chose qu’une généralisntion de celle de Marwell ($ 2):

Si, après des mouvements quelconques, la matière est ramenée à sa configuration primitive, et si, dans le cours de ces mouvements, chaque élément de surface qui est fixement lié à la matière a été traversé par des quantités égales d'électricité en directions opposées, tous les points du système se retrouveront dans leurs positions primitives.

$ 58. Pour démontrer que cette hypothèse donne effectivement

Ô T=O, je donne aux signes W,, W,, W',, W, les mêmes significations qu’au paragraphe 19 et je me représente de nouveau la succession des déplacements WW, WW, WW, ;..... (40) le mouvement varié sera alors celui qui ramène le système à la configuration W, dans un temps dt.

Or, on voit immédiatement que le mouvement varié de la matière ne diffère pas du mouvement réel. |

D'un autre côté, un élément de surface quelconque, qui se déplace avec la matière, est traversé par des quantités égales d'électricité pendant les déplacements W, — W', et W, — W.. Si donc, après avoir donné au système les déplacements (40), on fait en sorte qu’un tel élément soit traversé par la même quantité d'électricité que dans le déplacement W, — W,, la somme algébrique des quantitées d'électricité qui ont successivement traversé l'élément sera 0 et, en vertu de notre hypothèse, la position W’, se sera rétablie. Il en résulte que les composantes du courant ont dans le mouvement varié les mêmes valeurs que dans le mouvement réel et que,par conséquent,

do T=0.

$ 59. Soit de nouveau

— [Xe + Ye, + Zes)dr

le travail des forces pendant le déplacement virtuel (e., e,, e-); alors l'équation (3) devient :

— [(xe. + Te, + Zedar= [tres + Ge, + He,)dr(41).

Supposons que le vecteur e soit distribué de la façon particulière indiquée au paragraphe 25. Si l’on fait se mouvoir avec la matière le tube annulaire dont il fut question dans ce paragraphe, l’axe coïncidera après le temps df avec une nouvelle ligne fermée et, au lieu de w, le tube aura une section droite w'. D’après ce qui a été dit sur e’.,e6',,e”., il # faudra que le vecteur e’, dont ces quantités sont les composantes, soit borné au nouveau tube, qu'il ait la direction du nouvel axe 3° et que le produit e’w’ soit partout égal au produit ew dans le tube non déplacé.

Or l'intégrale

ÎiFee + Gey + He.)dr prend ($ 25) à l'instant t? la valeur: :

ew | (Fp+ Gy+ Hr)ds,

et à l’instant £ + dt elle devient e a [Fp + Gq+ Hr)ds,

l’intégrale étant étendue à la ligne primitive dans la première expression et à la ligne déplacée dans la seconde, et les valeurs de F, G et H se rapportant respectivement aux moments &é et é + di.

Il s’ensuit qu’au lieu de

DÜFe+Ge+Hedr

il est permis d’écrire

co [(Fp + Gg+Hr)ds,

où le signe d indique l’accroissement total de l'intégrale causé par la variation de F, Get Het par le déplacement de la ligne s. Le premier membre de l'équation (41) se transforme en

—eu| (Xp + Ya+Zr)ds, et la formule devient:

d — | Xp + Fq+Znds= 5 [(Fr+Gq+Hnds.

Elle se simplifie encore si l’on conçoit une surface 5 limitée par la ligne s et se déplaçant également avec la matière. En vertu des relations (14), on a

[Ep + Gg+Hr)ds=[B,d5,

ce qui donne:

d — fXp+ Ya+Znds= 7, [Bd Lee. (42)

Ici encore, le signe d indique le changement total de l’intégrale. Pour le calculer, il faudra tenir compte, d’une part, du changement de l'induction magnétique, et, d’autre part, du déplacement de la surface 6.

$& 60. De la formule (42) aux équations définitives du mouvement il n'y a qu'un pas. On peut d’abord admettre qu’à l'instant { la surface 5 coïncide avec un rectangle infiniment petit dont les côtés sont parallèles à deux axes des coordonnées et qui n’est pas coupé par une surface de discontinuité. En regardant toutes les quantités variables comme des fonctions de t et des coordonnées x, y, z d’un point immobile, on trouve ainsi (voir $ 61)

OY 0Z Da p

+ mn ro

Ôz 5 dy Te OUR 0Z OX 0b 0 TT RO LE += D) OX OY Dec à y De HT CC to à