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TE
(1) L'adjectif "“nfinttésimaux" rappelle que les écoulements ont été "“linéarisés'"; nous omettrons désormais ce qualificatif, car dans ce travail 11 ne peut ÿ avoir de confusion:
(voir renvoi (2) page suivante...
En M D GER pe-rgs-grys Je trcaf dx? dr? 002? dr
Le second membre de (1.12)'n’est autre chose, en effet, que le Laplacien de f (x 4 a) dans le plan x , x (X. étant considéré comme paramètre ); naturellement, (x, r, 0) est périodiqée en 0, 1a période étant égale à 2 T.
Pour mettre en évidence 1e caractère conique de l'écoulement posons
HIS 181 x, = B PT 0 ,
X est une nouvelle variable: K << 1 caractérise l'extérieur du cône de Mach de sommet ©, X=— 1 caractérise l'intérieur de ce cône. Dans ces conditions, les composantes de la vitesse de perturbation ne sont fonctions que de YX et 6.
f étant fonction de Y et 0 seulement (
d?f = DEF Gw2 sRdÉS. dyd8 NO 607 + Of 424 + ÙdP 429. dx 2 dxd0" d07 0x d6
mais :
dx ÉTiU 2-0xar);
u à d? pa = BY dr —0 drdx; + 28 art) r
DR OT Off. D sont les coefficients respectifs de dx?, dr?, d0?, d?r, dans
l'expression de d?f en fonction des variables 1
I1 S'en suit que l'équation (I.12) devient, dans ces conditions 2 2 p
or É PRE f + x df = 0)
0x1 007 dx
ÉL:14) + PE à
On’ peut chercher à simplifier encore cette équation en remplaçant la variable YX par la variable À X-ef E étant liées par une PeTaCIORELE ES (É), et enfaisant un choix judicieux pour la fonction Y (61. La première opération donne :
2 PRET eee (X2 1) D Le
dE 2 d0
l'accentuatiôon désifnant des dérivées par rapport à €. Pour simplifier cette équation, on peut faire disparaître le terme en Ÿf, Ceci sera réalisé en posant: JEU SET | dE
11229) = CHE on obtient pour f l'équation de Laplace
SH
(1.16) ù d?f dE 2 582
