THEOREME MONDAMENTAL
L'équation (I.14), qui représente l'équation fondamentale de notre problème, est une équation du type mixte, elle est elliptique ou hyperbolique suivant que X est supérieur ou inférieur à 1. Pour étudier plus simplement cette équation, nous avons été conduits à séparer le domaine des variables en deux parties et à en faire la représentation sur deux plans différents. Comment se fera alors le raccord des solutions obtenues pour f dans l'un et l'autre plan, c'est la question qu'élucidera complètement le théorème suivant, qui sera fondamental dans la suite de notre étude:
TREOREUE : il y.a "raccord" sur Y = 1 pour toutes les dérivées de f, (définies dans l'une ou l'autre région (A) ou (A'), pourvu qu'il y ait "raccord" pour La fonction elle-même.
HAE En effet, soie 1 £ ; 7 £ 4 nt deux fonctions J 1 (0, (es J (8, nYs la première S'ADSr ad
sant à l'équation (TS 16) dans la région OA la Seconde à l'équation (Rte 18) dans
la D Re prenant toutes les deux les mêmes valeurs (o) (0) sur les sep ments respectifs (Ë = 0, - rn<0< 7) (NE 0 TEL O ET). Soit-0: l'abécigse [o] Ne : . dn$ k DES d'o un' point de AA'. Si —Jù tO, O) existe, k (92; on nes par suite ë à On à 0" 40" 5" f re (O ; O) existe et :
SL Ces DES P4 (e) = er APNE OP É Passons maintenant à l'étude des dérivées d'ordre n' de la form ———— : UYO0ON—
l'équation (I.14) montre d'abord que :
ce qui prouve que toutes les dérivées partièlles d'ordre 1 par rapport à Y, ont la même valeur sur (['), qu'elles soient calculées à Darnrimece ne ou à partir de f,. Le raisonnement se poursuit sans difficulté par récurrenñce. fn dérivant (I.14)
nwroisrpar rapport à X et en faïsant Y =-1, on obtient
ue > x d020% " © ‘ Fe DT PER Ne me ce qui montre fihalement que les valeurs de => = peuvent s'exprimer unique- 0P dy”
ment en fonction des dérivées de ® (0) par rapport à 9 et que, par conséquent, edes onvila mémemvaleur quand'on les cäileule 2 partiride Fe OÙUSS NPA eRde Fe
On peut dire, en résumé, que pour établir le "raccord" entre: deux solutions définies dans (A) et (A! il suffit que ces solutions prennent la même valeur ; P sur le segment AA',.
