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de B?t620 - 1 Dx

S'il n'y a qu'un nombre fini de points de discontinuité sur les lignes de Mach avant de P, et si P est un point d'une ligne subsonique de disconti-

nuité, les dérivées premières de @ deviennent infinies comme log E£ , quand on tend vers P,

—4- S'il y à une discontinuité de Vo /2x, sur tout un segment d'une es lignes de Mach avant de P, les dérivées premières de ® y deviennent infinies

comme e-1/2,

B. En dehors du plan Ox,X, on a les résultats suivants

— 1- Si la frontière de h n'est en aucun point tangente à une ligne de discontinuité de 7@/2x,, ni ne contient aucune partie finie d'une telle ligne, les dérivées premières de ® sont continues et d'ordre €,

—-2- Si la frontière de h est tangente en certains points à une ligne de discontinuité de Vp/0x,, Sans contenir aucune partie finie d'une telle 1ligne, P est situé sur la surface caractéristique qui a pour directrice cette ligne de discontinuité et les dérivées premières de ® admettent des discontinuités de première espèce en P à la traversée de cette surface.

—3- Si exceptionnellement la frontière de À contient une partie d'une ligne de discontinuité de Dp/2x,, les dérivées premières de ® deviennent infinies

comme e-v2, un tel point est d'ailleurs nécessairement isolé.

L'ensemble de ces résultats montrent que les conditions de régularité se trouvent satisfaites, ce qui prouve l'existence de la solution ainsi trouvée,

H, Le théorème d'existence pour le problème portant.

Nous insisterons moins sur le calcul de la solution que l'on pourra trouver dans les mémoires publiés déjà cités, en particulier réf.4, que sur l'étude de ses singularités. Pour faire toutefois cette étude il nous faut brièvement indiquer comment se fait ce calcul, nous le feront dans le cas le plus simple, celui où les bords de l'aile sont indépendants!

(voir Pigsele

La formule fondamentale permet le calcul du potentiel quand on connaît 29 /9x, sur toutile plemOx,x..

Or i1 est clair que cette quantité est nulle en amont de la ligne AM, , MM, étant la caractéristique tangente au bord d'attaque de l'aile.

Pour calculer cette quantité dans les régions où elle reste previsoiîirement inconnue, il est indiqué de faire le changement de variable

La Bx; ARE RE | APR TRS Had SITE Or HRIBES = ES

PTE LE MAUAIT TOUT ARTE HA) sont les équations des ares AM et MNQ, on a en un point ,À , M» de la région M,MNN, (puisque dans cette région ® est nul)

l'équation

Ho Le ) d dÀ 2 du »

ME Je PROUeR ee a Et nn ae = D UD o?"o fu EE 0x, M, = H M

À, B, (A) équation qui entraîne l'égalité He, H, (À) . =— KX, EUX) :

qui détermine ue LT) par l'inversion d'une équation d'Abel. On trouve (réf,4)

H (À, ) AE 1 EST CACMETTS du” 7x, au, -k, (À, ) Cure

On connaît ainsi 2p/2x, dans la région M, MNN,

En un point où PA, | n'est pas nul (par exemple sur le sillage), on 3: a 2 nBp(X,,H,) DORA EN 0 ce qui, après une double inversion d'Abel, donne : D H2 (A) ne k D 0 dk KOX,,Hdn 25 7 do 7 pdx, on: n ?u, [rer fu mA) PE 2) PR LA) JR) RUSSE

Cette équation contient deux fonctions inconnues, et en Sénéral il sera impossi-

ble de les déterminer toutes deux si l'on n'introduit pas une hypothèse supplémentaire. Mais si on suppose que

es est continue dans xx, à la traversée du bord de fuite subsonique,

nous allons voir qu'il est d'abord facile de calculer P Sur le sillage, et par suite 2p/0x, dans OX ,X, L'équation précédente s'écrit

He M, (À, ) Fes : Er 1 dk K(A2,U)du 0x, RER -k, ( (À, ses (À, ) )-h F7 ITA CU -H) )3/2

Hs (À, ) u, (À, ) He (À, € 2 (À, )-€ 5 x KU,,Hidu 28 1 px DAUEANS » Me CA À, |] ne Nos : Ce URI PR ° À N H À, 28 RUES PA (ho ‘ 4 -E, 2u PR au kB, (À, ) À

Si an fait tendre NL, vers (À d'après l'hypothèse précédente, Jp / 2x, (ES 70

pothèse provisoire que le dernier terme tend vers zéro (hypothèse qu'il faudra vérifier par la suite), il vient

) , € étant une quantité petite, on voit que le deuxième terme du second membre tend vers , tandis que le troisième tend vers zéro. Faisons de plus l'hy-

Be, (À ) À, — Es p” D ee 1] ter À

Mais comme dans le sillage, ® garde une valeur constante sur les parallèles à Ox,, il suffit par exemple de connaître les valeurs du potentiel sur la droite QI (fié.2}), pour les connaître partout. En vertu de cette remarque :

HELAR RE) 5 1 KÜAS 54) fans dd, = - — | RL ; à] NX, a | Ho > : }-u

À, M (Ag) Ù ‘ x, Ho (Age)

\ 1 d'A KIA prb D Dose À; HAS)

sion définit. À, par:

Remarquons que la circulation le long du bord de fuite subsonique se trouve ain-

si calculée,

Il reste à vérifier le bien ‘fondé de l'hypothèse provisoire faite au cours du calcul, ce qui peut se faire sans difficultés. On voit ainsi comment peut se déterminer la solution du problème portant,

Pour établir que la solution calculée répond complètement au problème, c'est-à-dire le théorème d'existence, on procède comme dans le cas symétrique; tout revient donc en définitive à l'étude des singularités de cette solution, étude qui permet une vérification à posteriori des conditions de régularité. Pour faire cette étude, il est indiqué d'étudier au préalable le comportement de 99 /0x, dans le plan Ox,x,. Comme plus haut nous indiquerons les résultats sans

démonstration.

a) Etude de 2@/2x, dans Ox,x, .

On voit d'abord immédiatement que 29/2x, augmente indéfiniment comme g-1/2 lorsqu'on tend vers le bord d'attaque subsonique MN en restant extérieur à (S). D'autre part, par hypothèse, cette quantité est continue, sur le bord de fuite subsonique NQ,. Précisons maintenant son comportement le long de la caractéristique NN, ; un calcul assez simple que nous ne pouvons reproduire ici pour ne pas allonger la rédaction permet de montrer que

Le Long de La Ligne K= Nes H=—hM,, 29 /0x, subit une discontinuité de pre-

mière espèce égale à

T ITPETAYE TALNEN MPtN A

La manière dont 7p/2x, est calculé montre alors facilement que 2@/2x, ne possède pas d'autres discontinuités dans le plan Ox ,x en dehors de (S) natu-

rellement,

b) Ætude de La solution dans Ox,x, « Ce qui a été dit pour le problème symétrique reste valable moyennant les modifications suivantes

Tout d'abord le long du bord d'attaque subsonique, Jo /0x, et 7 2x devien-— nent infinis comme e-d/2, D'autre part, fait très important, les Res

Je /Dx, et 2 / 2x, subissent des discontinuités de première espèce Le Long des caractéristiques issues des points frontières entre bord d'attaque subsonique et bord de fuite subsonique. [Pour Jp / 8x, une telle discontinuité ne peut avoir lieu toutefois que sur (S)] À

c) Etude dans L'espace,

L - £ k k ss e Me. LL vraiment nouveau à signaler est que, à travers les cônes de

Mach postérieurs des points frontières entre bord d'attaque et bord de fuite sub

soniques, les dérivées premières subissent une discontinuité de première eésvèce.