AS

5 À SE ; Vs L'ensemble de ces opérations Se ramène toujours aux problèmes numériques suivants

a)' Etant donnée une fonction, calculer sa fonction conjuguée (inté-' grale de Poisson).

b) Etant donnée une fonction, calculer la dérivée de la fonction: conjuguée,

Cc) Etant donnée une fonction, calculer sa dérivée ta.

Nous allons justifier ce résultat au numéro suivant en montrant que l'opéra tion 1) peut s'effectuer en appliquant les calculs a), b), ce). Nous indiquerons ensuite une méthode générale, relativement simple et précise, permettant de ré! soudre ces problèmes, Nous terminerons ce chapitre en donnant une application.

R+ 32e REPRESENTATION CONFORME CANONIQUE D'UN CONTOUR (C) SUR UN CERCLE (Y)

Le problème numérique de la détermination: de la représentation conforme ca-: nonique d'un contour (C) sur un cercle (Y) a été résolu, pour la première fois, par Théodorsen (2), Nous allons rappeler rapidement le principé dé cétte methode

en simplifiant toutefois l'exposé initial de cét auteur.

Supposons, tout dlabord;rqaue le contour IC} soit voiSinudiunt cercle de rayon a, centré à l'origine (f1g.

20); d'une façon plus précise si on DOSEMSUE (IC)

(II. 49) CU net

ÿi étant une fonction de 8, WE OS

nous supposerons que VW: (0) et ZW sont d ©

des fonctions prenant des valeurs pe

tites. Nous dirons alors que (C) est

“quasi. cireulairen. Soit palliabscissé

angulaire du point de (YŸ) correspon-:

dant au point de (C) dont l'angle polaire est 0; posons

(II. 50) CRM eo qe 702 eo) ee

£& (0) et E (®) représentant la même fonction, mai 5 exprimée en fonction de 0'ou. en fonction de ®; on posera de même

WotpjD= "ur (0) .

EE gg por gr 0 8 Es RENE UNE ES CE A PE RE RE SEE DER en ER RER A ER EN (i) Naturellement si l'on connaît la représentatiôn conforme, de l'extérièur de (C) sur l'extérieur de CY); sous forme explicite, 1 suffira d'appliquer l'opération a).

(2): Voir ref.N°15 et 16. On peut aussi effectuer cette représentatiôn conforme par l'élégant procédé des analogies électriques (ref.N° 17), le temps demandé par la méthode expérimentale et les méthodes purement numémäues exposées 1ci et la précisfôn de ces procédés sont du mêne

ordre de grandeur.

La tranformation conforme cherchée peut s'écrire

REA. k (2)

h: (3) étant une fonction holomorphe à l'extérieur de (Y), régulière Etonullent? l'infini. L'égalité [TT1.50), 81 on l'écritrebriEe cercle (Y) devient

a eMtprsrfpæipile , 19020)

CMOS PF: 215 a GLS) Tr + 1 € (@),+ los

‘‘rouver la représentation conforme de (C) sur (%®) revient à calculer les fonctions W: (®@) et E (®P)., Or, tout d'abord on sait que [équation de (c)]

(TE, 59) U (D) = y [P+e (p)] OMATTÉEMPAPL A AUADReSMELT,:6 10% E (@) est la fonction conjuguée de y (@) et par conséquent : >T

je p' an cp W (@') coté (

ol