Définition: de la fonction:F (Z

Nous ferons l'étude dans le plan Z. Soit A'A ( -'a, + a) la coupure image de la surface (d) (1). (C,), comme à l'ordinaire, le cercle de rayon 1 (fig. 31):

a — — ——. "NN; (1) On suppose, pour commencér, que le problème admet le plan 0x N comme Dlan de symétrie.

Nous allons, naturellement, travailler sur la fonctiôn W (Z): Une des conditions à réaliser, que nous retrouverons partout dans la suite, est que: dW/dZ soit divisil:

ble par (Rec jee sihnon'les relatiôns de compatibilité montrent que U. (Z) admet-:

trait, comme poihts sihpulièrs, les points 2 =)+ l, ce qui'est'inadmssaible.

Aihsi nous ihtroduisons la fonction

e 2 eee a A D RUE et nous allons chercher à détermiher

F(Z) pour le problème symétrique, comme pour le problème portant.

.F (3) est une fonctibn' holomorphe à l'ihtérieur du domaîihe (D), limité par la coupure et le cercle (C,)3 les seuls poibhts sihfuliers que cette fonction peut présenter, sur la frontière de: (D), sont A et A': d'autre: part, F (2): doit être divisible par 22, sSihon U, V, W auraient des sihpularités à l'orifihe. Sur. les deux bords de la coupure F (%) doit avoir une pärtib réelle nulle. Sur le cércle Cech:

ñ ï 1 PRNPR EN SRE TT Z dW .g dW __CW Re el Ent dZ dz d@

par conséquent F (Z)'a: également une partie réelle nnlle sur (C, ). Her) ANneEpDOUE vant pas être identiquement nul, et sa partie réelle étant nulle sur 1 frontière de (D), doit admettre A et A' comme points singuliers. Nous allons étudier la na-' ture de ces sihgularités,