Singularités d'etre

Physiquement, il est clair que À et A'ne peuvent pas être des poihts sihguliers essentiels. Supposons donc que, aux environs de Z = a, on'ait

F(Z3}w.K ,-(Z-u)00 , [e) me étant quelconque, KE. HO:

- 25 i® posons : LEE CEE ETIC NE,

@ étant égal à +: sur le. bord supérièur de la coupure, à -'n sur le bord infé-: rieur; pour des valeurs suffisamment petites de r : K ro eimol et K ro e-imoŒ mo Life) doivent être imagihaires purs; il en Sera donc de même de :

K cos m TT. ; et de 1 Fees sin mo ; Enr SE 2 K29 = K2. cos? m TT -'(1 K sinmn) m Le) C Oo

est done réel. D'autre part

doit être réel, ce qui entrafÿne

sih'2m, T1 = (DEAR

Il y a donc deux possibilités; désifnons par k un entier arbitraife, où, bien’ 11 RANGERS EE est imagihaire pur, o m où bien: :

m' RL ÉRNT est réel, [e] 2 m

Considérons maihtenant

aux environs de:Z = aq

m HMS Ut Peer TA UT l M

et le même raisonnement montre que 2 m. doit étre entier. Finalement, on peut énoncer le théorème suivant

THEOREME : A l'intérieur de (C,), la fonction F (Z) peut se mettre sous. La forme :

ELTT,3): Pet EN CARRE 7) ee 2 97,2

d (Zl'et y (Z)'n'admettant pas d'autres singularités que des pôles en À et A'.

L'analyse que nous allons faire va être sihplifiée, par suite de certaiñnes conditidbns de symétrie auxquelles satisfait F (Z), Posons

WRI ENT UE

H) (X,Y)'est évidemment pair en: X (lorsque Y est constant),

Par conséquent, F (Z)'a une partie réelle nulle sur OY. En'appliquant le priheïbe de:Schwartz, on: peut écrite: :