III. 4): P (Z)'= -F

Cette: équatidn montre que la connaissance du développement de F (Z) autour de Z = a, entrafhe immédiatement celle de F (Z) autour de Z = =: 4. 311.3 = Erude du cas où F (4) est uni fo rme | ÿ (Z)' = o | Considérons la fonction: :

CLETAS A (2Z)'= TR RES j [re rss

p entier et hp = 1.

Elle satisfait à toutes les conditidns imposées à F (%)

En‘effet, ellé satiBfait à (LII.4): à l'ihtérieur de (€ jsrelletntadmet d'au tres sihngularités que: a et -: a, qui sont des pôles d'ordre pj, Sa partie réelle. est nulle sur la coupure, aïhsi'que sur (C,), comme on le voit en' écrivant

SX NIQUE Y NI RER LEE ESS CE F MARS Re) EN Cia Te |?

Ph PS 0: ! e Tete :: © # Enfin, l'origine est bien zéro double (au moins).

Soit F (Z), la solution générale du problème posé, nous allons démontrer le théorème suivant

THEOREME : s1 PF (2) est uniforme on a :

rire) NET EE TR A P IL 7

n etant un entier, les X des coefficients réels. p

En'effet, soit F(Z%) une solution: du problème ayant un pôle d'ordré,:.a, on peut détermiher un nombre À tel que n