Cas. du problème symétrique

Soit donc à résoudre le problème correspondant aux conditions aux limites 1 = f(x), sur le bord supérieur de la coupure, ” = -:f (x) sur le bord ‘inférieur.

La formule (III.32) nous conduit à représenter W (z) comme le potentiel d'une répartition de tourbillons portés par le segment À LU, par suite

1 Fou):

W (2) = 2 | ———— di TL u 2

En'un point - du bord supérieur de la coupure, on a en effet

1 M Tee au WP) Te Te + POLX)Oe D hiL toi

l'intégrale étant prise en valeur prihcibale, Posons sur la coupure

À +u dt —: À À + H — À RS eee à ee COS 0 Qi à U = — +—— cos 8, a 2 8 F2

tue Ris

supposons, pour commencer, que

HONTE) NO, et que F (0) soit développable en série de Fourier

[ee] MoutO ler A sth #0: CRT:

alors : HT % AA (AH sin Qlsin0 us cos 0 - cos

Admettons en outre, que l'on puisse ihtervertir les signes 2 a D'après un: résultat connu (ref.13 p.270)

do =

cos 0 -'cos y

1 Îsihr 6sin 849 1 [cos (#21) 8 cos (n+1) 0] 5 ñ / cos Ô - cos ST

Le}

[sih (n21) y -'sin (n+1) w]

2 sin: y

et par suite

1m (DIE—

À, cos n @® … On voit aihsi que w/. (0) est la: fonction conjuguée de F (0), ce qui‘ pouvait s'établir facilement par d'autres voies.

Mais d'après la: relation de compatibilité B Qu x D % PL

PEN ER LEE TAN Ce

et :

(III. 34) G(p)=-ŸnA sihn®.,

G (G) est. la:dérivée de la fonction conjuguée de F (4%). On a donc

La connaissance de.F (®) entrafhe celle de G (®@) par un calcul d'opérateur trisonomébtriqge: (numéro 2.3.9.-L'et."par-suite, celte de +. Pourrétabliriarior

mule (III.35), nous avons fait un certaih' nombre d'hypothèses. Ces hypothèses se ront satisfaites si la dérivée de F par rapport à ® satisfait à une condition de Cauchy Lipschitz.

Pour calculer la: pression, en chaque point du cône, il faut intégrer la formule. (III.35), mais pour cela, il. faut connaftre la constante d'ihtégration.

La détermihation précise de la fonction u sera facile à obtenir, lorsque nous aurons approfondi’ la nature de la fonction U (Z). Nous supposons d'abord