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résultat que l'on pouvait prévoir immédiatement.
On'obtient facilement la valeur de C » le long de l'axe OX, 11 suffit d'éerpire larformule- (TITI. 40)
2 & 1 cos 8: -x PU PTS (PTR,°58) C = ne CR — loé !
P T B Si neo! TLkTeoS D 10 ART 1 L EX lappelonsaquenTe- : 1+X2
; TL AR Cas particulier : Supposons que ds — ya = 0, dans ces conciLiôns 2)
SUR CPAS ; CRE , L p B CARS SON 2 & ON CCRMRTE 3 sure nSesnent ss A CNE APCUNCOS ME RNA rchetniEr)e Fr O Br 2
Rappelons que, dans toutes ces formules x = B — EST 7%, AONMÉLANteleSCOoZ
ordonnées semiipolaires d'un'poiht de l'aile À, dans le système d'exes (0x ,x,x, et que cos 0: HI DRLE uw.
3.2.93-2.-' Problème portant élémentaire, dans. le cas. où & = 0.
La transformatiôns.= VZ transforme letcercliem(C Menton demi scerclendans le plan de la variäble complexe s. Dans ce plan, À et A':ont pour homologues M. et M''(voir figure 50). La fonction W (s) a'une partiè réelle nulle sur l'arc 0 M et égale & we. Sur 1ES &meSs AM; BM''et sur le segment À: B.
Nous allons chercher directement la foncetibn U(Z) ou plutôt la fonctidn'U.(s). En'effet, U.(s) a sa-partibrréetle nutie-sursM M''et, d'après les rela-: tidns de compatibilité, l'on'sait que, comme dans les numéros précédents
we SE ns UE ——— sur AM DA UE HAOSRNE 15?
1 = Wo L
FES ASUUD BM':e
B sin 0
De: plus, la: partie: imagihaire de U (S)'est constante sur l'axe réel et, par PERS peut être posée égale à O0. On:'peut donc prolonger analytiquement la: fonce: TioOnUU (Fs)r2travers l'are réel, U. (s)'se détérmihe alors comme solution d'un: problème de Dirithlet, à l'intérieur du cercle de rayon'unité.
On’ a i uw see SAUT US) = 0 0 lo ———" , B TRS 0. PILES se” t0v2,.
1e logarithme valant 1.7 pour s. = 1.
Il est alors facile de calculer u sur l'axe réel, c'est-à-dire sur le segment OA du plan original Z,. Posons
2 2 PS 1+72 des?
La quantité sous le sine logarithmique s'écrit
RER À s2 1-0. 1 s sin —
SRE ES hs da
son'argument est égal à celui de
s : 2 Ce M US R ee 0 DER
Or la partiè réelle:et le module: de. cette expressidn sont égaux respective-' ment à
PS1) 4 s2 sihés LL = st,4.2.0 52 [5 cos Cr et Q:
(s224)2 + 4 s2 sin 1 = st,4 10 s2 cos QE !
DÉC w 5x (ascos 20:
Ur nee ATC COS RSA ES , BTrsin 0, L 1-* cos 0° 2 & 2x (t-cos 0:) (TS .60) neo 1 one Di hoc cs B 7 sihitos) 1-x cos 0, “ “ TL Cas.particulier : Supposons que “LS PAS 2 & Cas ATeRCOS AC EP XI)
3+2-9.3.-' Problème élémentaire portant dans le càs.où a £ ©.
L'élégante démonstration qui vient d'être faite pour à = O0 et dont le prit crperse trouve dans lé: mémoire origihal de Busemann, cache une difficulté et a conduit M BESCHKINE (ref.lIl)' à donner une formule dans le cas où 4 #0 qui, au
moins dans certaihs cas, conduit à des difficultés. En opérant directement eur la: fonction U, on risque d'oublier les conditions supplémentaires que, du fait des relations de compatibilité, il faut faire intervenir si on°ne veut pas. avoir des singularités pour Les. fonctions. U, V, W, en d'autres points que les extrémités de La coupure.
En‘effet, si'U.(Z}' est régulière à l'intérieur du cercle (C°);, V (2)ret 07) auront une singularité logarithmique au point Z = 0. Nous allons étudier le cas où àa £ O, en'étudiant directement la fonction W, et en nous astreignant à ne pas avoir de sihgularités, en dehors des génératrices limites du cône. Nous reviendrons d'âilleurs sur cette question importante au N° 3.8.
I1 s'agit donc d'étudièr le cas où # = w , sur l'arc À À. et sur les bords supérieurs et inférieurs de la coupure CA (voir fig,49) et sur l'arc A A'; la transformation: Faq
(QE DTA
qui conserve le cercle de rayon unité, nous ramène au cas où la: coupure est disposée suivant un rayon. Enfih la transformation: :
