Problème symétrique général

Le problème symétrique général ne présente aucune difficulté, câr on peut opérer par superpositibn, soit

la valeur donnée de la composante de la vitesse suivant Ox , le long de l'obsta-: cle (O2 0 < 9). Les de donnant le C, s'écrivent ifmédiatement

c, = a Le au point de l'obstacle, de paramètre 8; sih: SL (s) 2 24 a VPEL.67) Fee - , derrière l'obstacle et en dehors du cône (l'), B sin 0 8-0 8° +0 2 cos 0:#t dCE CEE APC. COS = ___— à l'intérieur du p T 1=4-cos 06 tathr0); Cône de, Mach.

Les intégrales des formules précédentes doivent être prises au sens de Stieljes, ceci étant fondamental pour le cas où & (0) présente des discontinui: tés. Il y aura,en partitulier, à tenir compte des deux disScontinuités, la dis continuité + & (0:);, pour 0:= CES et la discontihuité -'@ (8,) pour J'HÔL.S Crest

pour ne pas oublier ces discontihuités que nous avons écrit certaines limites des ihtégrales CES DE » 8; A à 5

3+ 2.4.3. Problème élémentaire portant.

La: solution obténue [formule (111.66)|, pour le problème symétrique est valable, car dW/GZ s'annule nécessairement aux poihts Z% = + 1, ou encore dU/dZ s'anz annule au point Z = O, ainsi'les relations de compatibilité n'entraînent aucune autre singularité que les poihts he et À, Pour le problème portant, nous allons voir qu'il faut prendre quelques précautidns, si on'veut encore satisfaire à cette condition!

Supposons d'abord que les points Ass À A5 Dr + A4 aw

75 Mo rl ds Des Onbpeutaalonsécrirerlesvaleurseden Av, 1, sureTescercie d CZ (a,

(CE) énmubitisant les relations (III1.45) et-{IITI.46), -aïnsi que les conditions aux limites. Celles-ci:nous font connaître que w prend la: valeur w, sur LG arcs A,A,, AA? (f1g.#R1). D'autre part, la composante w contihue nécessairement én dehors du cône (puisque représente la pression à une constante près) et, impaire en'x., doit s'annuler dans le plan Ox x, en dehors de l'aile À donnée. Par Suites =D sur: le cérole (Co); en dehors des arcs AA,» AA: On: en déduit, comme précédemment, que, sur AA,

; et A; de soient des pôles simples

(04 Jù VE URCOTES 0: : Va — ; 2 B STAReT

mais sur l'arc A LE sin: 6:-sih:6: cos 0: -cos 0 NET DAT er EEE ES DAS Rex LE AT FE | Pere in 9 sin' 0:

remarquons alors que, surillarc. A 'zAf,; #rprénd les mêmes: valeurs que-sur l'ere

A À , alors que v prend des valeurs opposées. On: en déduit que la région: du plan Ox,X,, comprise entre Le bord de fuite N. et le cône de Mach: (voir ft1g.52) est alors.une région: de discontinuité: pour la vitesse.

UV. dw On: voit aînsi que l'hypothèse faite (pôles simples pour —, —., GE AGE

compatible avéc le fait que U, V, W, n'admettent pas d'autres sihgularités que les points A,» FPT: VE” A, On' peut d'ailleurs s'en rendre compte autrement pour satisfaire le plus simplement possible aux conditions aux limites, imposées à MA rlpSnurrit décrire: Ux(%) sous la, forme

res ten

1 Œ Te \7rcos FRET D CZ) = ———————————— 1 0 ———— il LE £ 2 B æ sin 0: 1-2 2 cos) 0 +2 car cette: fonction: U (Z)'satisfait bien aux conditions aux limites requises

pour: lavfonctron: U (3)4 sur la circonférence (C ): Mais du BAL Z-cos 0! Z-cos 0:

Draps 1 e - Ne Er sin 0, 1 ro 2 IL ALCOS Dre £

SUD RERO

U Lo,»

7 1). E mt ner.

1Z z=0 Br sin 6,

(cos op cos b,)'.

Si done on veut que les fonctions U. (Z), V (Z), W.(Z)'n'admettent pas de sih=:

Sularités à l'ihtérieur de (C, }, la solutiôn: U: (7)ene-peut'étrenretenne telle quelle, paisque:lés fonctions. V,n(z)een D (Z) correspondantes auraiëènt un poiñt critique: logarithmique à l'oriëihe ll),

Nous sommes done conduits à modifier la solution U. (8), en introduisant une singularité, en l'un'des poihts A ou A (et, par symétrie en'A'‘'ou A): Physique ment, en vértu de la règle des siffnaux ihterdits, il: faut placer cette sihgulari-:

té au couple de points A À"; car la génératrite limite À (#f1g.#2) qui tient lieu,

de bord d'attaque (ayant pour image le couple de points À, ,A'!' dans le plan 2) est indépendante {voir N° 1.2.4.) du bord de fuite (couple de poiñts AA; dans le: plan:Z): On'voit alors qu'en posant

z cos 0: +72 At iCt (cos 0: -cos CP:

PSS) Te (Ame ce nm PNR “ 1

— EE ; ’ T p sin 0 27% e0s 0,+2 ñ B sin LES 1-2 Z cos 0° +2

où’ a, pour U (%), une fonction satisfaisant aux conditions aux limites sur (C \), holomorphe à l'ihtérieur de (C,), dont la dérivée s'annule au poists4r = 0, pan suite conduisant à des fonctions W (Z) et V (Z), ne présentant pas de singulari-: tés à l'intérieur de (C,). D'ailleurs cette solution est unique, sion tient

compte «du prihcipe des sihgularités mihimum.

On’ peut alors calculer les fonctions V (Z%j'et W (Z). On! trouve ainsi, pour We)

me 30 ei02 7 TN CE (1-cos CE cos 8): ei01z Î Rage Pos EU LE Te) = A CE CN ENS sé log 10: + nr re Penn p, sin 0, 1-%e Va (RSS 0!) RSS 9 -cos by SEL ñ sih 2: 1+22 9 7% cos og et: :

i & Lez) (Z e-102). ic :e PI FO) AOS) = Te ects 0, log ee + < en mes T tgeidi) (9e) TH siht0, Meme

On’ trouve'alors que, sur l'aile (are AAC la composante v vaut

Yi = 00 coùSs LES :

Dans la résion- cu plan Ox.x,, extérieure: à l'aile, la composante. v est tou jours nulle, alors que w prend une: valeur constante, sur la partie comprise entre le bord de fuite et le cône (ll)

1ECOsN0, cos u0 19 OT QE Re D cl

sin: Py:sih.04: sin\0esinr 04