TE
(1) L'étude théorique des mouvements, en fluide incomPressible, n'a été rendu possible et efficace que grâce à la célèbre hypothèse de Joukowski qui indfque le choix à faire parmi les singulari tés possibles pour le mouvement. Dans l'étude des questions traitées 101, il y a in-: certitude dans l'état de nos connaissances actuelles sur les conditions auxquelles doit satiéfaire la solution: théorique pour représenter au mieux les phénomènes réels.
Par contre, il y à moyen d'obtenir des solutions différentes de celles obte: nues au cours de cette étude, en tolérant, comme point sihgulier possible, le Dante
Nous ferons d'abord la remarque générale suivante: : prenons le cas d'un’ cône où une des génératrites limites a pour image le point Z = O dans le: plan: Z; dans ce cas, la pression reste fihie au voisinage. de la' génératrice limite correspontiante. Ceci: résulte des formules (III.28)'et (III.24), dans le cas d'un cône entierement intérieur à ([')' (numéro 8.1.2.) et les formules (III.58) et (Ii1I.60), dans le cas d'un cône partiellement extérieur et partiellement ihtérieu: à ([l')}, (numéro 3.2.3.). Nous allons montrer que, en utilisant des repré-: sentations conformes, conservant le cercle (CS il sera possible même dans le cas où OX, n'est pas une génératrice limite, de définir une solution du probleme portant, telle que la: pression reste finie, le long d'une génératrice limite intérieure à ([), à condition d'admettre le point Z = O, comme point sihgulier.
Reprenons en effet l'étude du numéro 3.2.3.39. où a Æ0, on peut en'effet se ramener au cas où @4 = O, par les transformations déjà utilisées 2-0 2
QD » + z OC e 1-a7
La fonction U (s) qu'il s'agit de déterminer est alors définie, à l'intérieur du demi cercle et elle satisfait exactement aux mêmes conditions que la fonctiôn: U (SJ, étudiée au numéro 9.2.3.2. On' aura donc
(II1.78) User rer | .
B T SAAOE (S+€ = A ul
?. étant défini à partir de LE par. I'épalité (TI 65) rÉScLenonsMoonQu tee valeur du coefficient de pression: :
PA 0 3 2 (4=x, À (i-cos Pr
€ =— …-——… — Ar eos | — ?
p B T sin 0: : 1-X%x, = (x-x ): cos P.
väleur déjà donnée par BESCHKINE et qui se déduit dela: formule: (III.68)'par suppressiôn': du terme en:logarithme. Ce coeffibient de pressidn reste fini, le
long de la génératribte limite intéribure à (TT) : x = Xe
Mais, Si'on'calcule les fonctions W-(%)vet V [%); correspondant à la fonce tion: U définie par (III.73),; on: trouve:les résultats suivants
® | ou th s2 =HFPNSE cos —k (7) | S-1? a (02 Hs Sos | AS CRE NET ROME IE Le] T : ps
ER PURE cosŸi T 2 (s#1 \/a )(1 Aa : S a-1, a+1 cn a lof | ——— sa a 1 :
; ; (o) 1. w SLT Tr SUR EUR ER Tee JL GES DHL TE pRR EEE RC ER Re T À 2 mi Se FO CITRON
iv, pl 1 si Ve) Lee ren Ve T “A EX AC (s.+1 (s+i Va) Ye ne
STE) Ces formules appellent les remarques suivantes (voir f19.#4). Supposons a>0
1)' Sur la réfion'de l'obstacle comprise entre O D et 0 A, (| Aré Se ROLE
(= NT) o
V w coté QE
résultat qui'est bien:conforme aux formules (III. 44): et (TITI. 46):
2) Sur la région:de l'obstacle comprise entre O D et
O À, Srésv réel [ics< 0 » pour lar face: x O|, onivoit que = w. sur chaque face, tandis Que v
cos 1 LRRer \fa
3) Surelarrégiontdu-plan OXN%, comprise entre OÀ, et OX, (s est imagihaire pur et varie sur le segment O6) v garde: des valeurs oppo-!
SOS + W —{- , tandis que w augmente indéfihiment, en:
prend les valeurs opposées + w ue [e)
sées constantes et égales
ne
= valeur absolue, \
4)'Sur la région du plan comprise entre 0x, et O D':(s, imagihaire pur, décrit LéSCEMENLLO PB}, vest' nul: wiinhfini sur 0x, SÉANATMeNSUAOMIDAE
n'arrière de la génératrice O0 À, que l'on peut considérer, comme le bord de fuite de l'aile À étudiée, cette solution foumit donc une zone de discontinuité: dé vitesse (la discontinuité étant dirigée suivant Ox,), occupant la ré: gion 0 A,,0x.. De plus: l'axe Ox ; est une droite singulière Pour l'écoulement. Cnereéncontre ainsi un Schéma assez séduisant. à première vue, et qui: rappelie l'étade de: l'aile:en mouvement subsonique; derrière l'aile apparaît une zone de discontinuité de vitesse, produite par des tourbillons dirigés suivant 0x,; et la singularité, rencontrée le long de l'axe 0x. ; rappelilente "tourbillon: marginal" de la théorie de l'aile. Comme en subsonique, ce schéma d'écoulement appa-: rat comme 116 à lumeondition d'avoir une pression: finie le TLlongs-dù bord'de fie te.
Les formules (III1.74) nous montrent éfalement que l'écoulement trouvé ne répDondipas aux conditions aux limités, »51, a est négatif, c'est 2 dire: si d'ohstaz CHENE SENDASASIICUE d'un même côté du ‘plan: Ox x . En effet, dans ce cas w admet: brarvisuriiobstactéesune discontinuité aux environs de l'axe OX; or Ceci est incompatible avec les données aux limites PES
Hétnêne, 54: on veut appliquer un» procédé semblable, dans le:cas" d'unrécou lement symétrique, on s'aperçoit immédiatement que le résultat est incompatible avec les données aux limites, puisque l'on obtient une disScontihnuité pour w.
Envisageons maintenant le cas d'un écoulement autour d'un cône entièrement intérieur au cône de Mach, les génératrices limites étant d'un même côté que Ox, (fig. 55)'et la pression restant finie sur le bord de fuite O À. La fonction U (Z)'est alors de la forme :
(1)' Cette solution, proposée par BESCHKINS est donc certainement à rejeter dans le cas où a est négatif; la figure 6 donnéé par BESCHKINE (ref.II) semble montrer que cet auteur n'a Das vu cette restriction fondamentale. Il faut alors certaiñement adopter la solution N° 3.2.3.3.
