LE POINT ET LA LIGNE INSÉCABLE

plement utile pour expliquer la construction des figures. D'autre part, la réalité transcendante qui fonde l’objet mathé. matique auquel nous donnons conventionnellement le nom de

expressément la doctrine de Démocr. sur les corps indivisibles et celle de Xénocr. sur les lignes indivisibles (cf. Zezcer 1°, 858, 1). — Parmi les arguments que ce dernier mettait en avant pour la défendre, et dont nous trouvons l’exposition dans le περὶ ἀτόμων γραμμῶν", un seul se fonde sur des raisons mathématiques pour affirmer lindivisibilité de la ligne géométrique. Cet argument (968 ὁ, 4-25 — 142, 17-143, 11 Apelt) consiste à dire que deux lignes commensurables, ayant pour mesure une seuie et même longueur, cette longueur doit être indivisible ; car, si elle était divisible, en deux par exemple, les deux lignes formées par cette division auraient également

leur unité de mesure {qui doit être l'unité de mesure com-

mune), car les parties sont commensurables avec le tout. Il en résulterait que la moitié d’une partie serait en même temps son double (puisque l'unité de mesure de plusieurs grandeurs commensurables est nécessairement la même et que cette même unité de mesure serait, dans l’hypothèse de la divisibilité, à la fois 1/2 et 1). L'unité de mesure pour les surfaces est de même indivisible. Mais nous ne pouvons entrer dans le détail de l'argument, sur lequel on consultera avec fruit les Prolegom. de Apzzr à son édition, p. IX-XI, cf. XIV sq. Des cor-

5. Sur ce traité, voir ZeLLer Il, 2%, de son auteur, Il est probable que ce

90, 1 (cf. LE, 5 1017, 2); O. ApPezr Beilr.

269 sq. (ce dernier ouvrage renferme une traduction allemande du x. ἀτ.

yo, Ρ. 211-286, dans laquelle l’auteur a apporté quelques améliorations [cf.

270] au texte publié par lui dans la collection Teubner en 1888 : Ar. quae feruntur de plantis etc.); R. Heinze op. cit. 61. — Ο. APELT ἃ prouvé par de bonnes raisons que l’ouvrage ne peut être d’Ar., comme le prétendent SimpL. (Phys. 492, 3 D.), Puior. (Phys.

465, 5 sqq. Vitelli) et Procémée dans son catalogue, 10, mais bien certainement d'un contemporain de Xénocr.

ou d’un écrivain très peu postérieur, ce qui explique qu'il mentionne et discute la théorie sans citer le nom

contemporain est THÉOPHR. (opinion rapportée par Simpz. De Coelo, 566, 25 sq. Heïb. et par Prior. De Gen. el corr. 34, 3 Vit.), ou bien STRATON. Ce qui justifie cette hypothèse, c’est que la doctrine de la χίνησις τῆς διανοίας n’est repoussée par le critique (comp.

968 a, 25 et 969 ὁ, 1) que relativement à la manière dont se ferait ce mouvement. Or cette doctrine, qui n'est nullement aristotélicienne, a été professée par TuéoPar, (cf ZeLcer Il, 25, 846) et par ὅτβατον (ibid. 916). Cependaut le fait que, dans Dioc. V, 42, on trouve, au nombre des ouvrages de THÉOPHR., UN π. ἀτ. yo. en un livre donne une probabilité de plus en faveur de ce dernier.

point, ce serait la ligne insécable. Aussi X£Nocrare, qui confondait le domaine mathématique et le domaine idéal, fit-il de cette ligne insécable le principe de la ligne, laquelle est, à ses” yeux, idéale et mathématique à la fois. Mais, en premier lieu, le point de vue mathématique est le seul qui nous occupe actuellement; nous n’avons donc pas maintenant à considérer en elle-même la théorie des lignes insécables. En outre, comme le remarque d’ailleurs ARISTOTE, il n’était pas nécessaire de recourir à ces lignes indivisibles, dont l'invention ne change rien au fond même de la doctrine. Car celui qui, comme PLarow, prétend composer le solide avec des surfaces, se trouve conduit, en vertu des mêmes nécessités logiques, à composer la surface avec des lignes, et la ligne, enfin, avec des points. Il constitue donc le divisible avec des indivisibles. Là est l'essentiel de cette conception, et on ne l’améliore nullement en substituant à l'emploi du mot « point » celui de l'expression « ligne insécable ». Et, de fait, dans le passage auquel nous faisons allusion, la critique d’Artsrors, dirigée manifestement contre PLaron, suppose que l’élément générateur de la ligne et, par suite, de toutes les grandeurs mathématiques, est bien, en effet, le point**.

rections très importantes sont apportées par lui aux deux dernières phrases du morceau, dont le texte, assez obscur en lui-même, était en outre gravement altéré, Voir aussi sa traduction, p. 272 sq. et ἢ. Heinze op. cit. 64. Il faut mentionner aussi un autre argument (le quatrième, 968 a, 18-b, 4 — 142, 0-17 Ap.) : S'il est impossible que la pensée, dans son mouvement, nombre dans un temps fini un nombre infini de parties d'une ligne, 1] faut admettre des lignes indivisibles.

[233] De Coelo TT, 1, 299 à, 6-11. Ar. vient de dire (298 ὁ, 33-299 à, 1) que certains philosophes considèrent le solide comme générable et lui donnent pour éléments, desquels il se forme et en lesquels 1] se résout, les surfaces. Or cette doctrine (cf. ἐδ᾽ά 299 ὁ, 31-300 a, 1; 7, 305 ὁ, 30 sq.; IL, 4, 286 b, 30; IV,2, 308 ὁ, 35 sqq.; De Gen. et Corr. 1, 2, 3156, 80-82: 1011, 329 a, 21-24 et al.) a des conséquences qui sont en contradic-

tion avec les mathématiques. Il poursuit : ἔπειτα δῆλον ὅτι τοῦ