L'EXPOSITION DE LA DOCTRINE
Ι. — La théorie des Nombres idéaux. Nature des Nombres idéaux. La Décade.
$ 180, — PLATON, au témoignage d'ARISTOTE, avait admis, en outre du nombre mathématique, un nombre d’une autre espèce, le Nombre idéal. Tous deux sont séparés du Sensible ; mais, tandis que les nombres de la première espèce constituent, comme nous venons de le voir, une sphère d'existence intermédiaire entre le monde sensible et le monde des Idées, les seconds appartiennent à ce monde même : ce sont, à vrai dire, des Idées 254,
[254] Metaph. M, 9, 1086 a, 11-13 : ὁ δὲ πρῶτος θέμενος τὰ εἴδη εἶναι χαὶ ἀριθμοὺς τὰ εἴδη nat τὰ μαθηματιχὰ εἶναι εὐλόγως ἐχώ-
pisevt, N, 3, 1090 ὁ, 32 sq. : οἱ δὲ
NE NU de ἀριθμοὺς ποι πρῶτοι οὐυὐο τοὺς ἀριύμους ποιὴ-
1. Il ἃ eu raison (par opposition à celui — XÉNOCRATE — qui confond en un seul, les Nombres que sont les Idées, et les choses mathématiques [ef. supra 1086 a, 5-11]) de séparer les uns des autres.
2. Soit les premiers représentants de ces doctrines relatives aux Idées et aux Nombres; soit les premiers qui
aient soutenu l'existence des Idées. Dans le passage qui précède (1090 ὁ, 20-32) il est question d’abord des partisans des Idées en général (b, 20), puis spécialement (b, 28-32) de ceux qui, dans leur ardeur à rapprocher les choses mathématiques des Idées, en arrivent à bouleverser toutes les mathématiques, c.-à-d. de XÉNOCRATE.
$ 431. — Les Nombres, dans cette théorie, se réduisaientils aux Idées ou, au contraire, les Idées aux Nombres? Anis-
δῶν᾽ χαὶ τὸν μιαθηματιχὸν ἄλλον... Ibid. 2, 1090 a, 4-6 : ee μὲν γὰρ ἰδέας τιθεμένῳ... ἕχαστός τῶν ἀριθμῶν ἰδέχ τις... (pour la citation complète du passage, voir plus bas n. 273, 1). Ibid., début du ch. 1090 a, 16 : οἱ μὲν οὖν τιθέμενοι τὰς ἰδέας εἶναι . M, 6, 10806, 11-14 : οἱ μὲν οὖν auooté-
= εἾ, [0] «ἢ re:
ι ᾽ LA! ἀριθμοὺς αὐτὰς εἶναι. :
ἰδέας", τὸν ὃ Ἐπ τιχὸν παρὰ τὰς ἰδέας AA τὰ αἰσθητά, χαὶ χωριστοὺ ἀμφοτέρους τῶν αἰσθητῶν. Ibid. 1080, 21 sq. : ἄλλος δέ τις τὸν
γὰρ λέγουσι τὰς ιέγοντες ἰ À, 8 fin, 990 a, 29-32 (passage peu net en ἘΠΕ même, sur Her nous drone plus bas n. 273, I, et dans lequel Prices est expressément désigné) : Les nombres qui sont causes, c.-à-d. sans doute les Nombres idéaux, y sont appelés νοητοί, ceux qui sont effets, αἰσθητοί, expression peu exacte et qui ne peut guère convenir qu'aux réalisations concrètes des nombres dans les choses, mais non aux nombres mathématiques. /bid. 9, 991 ὁ, 9; 27-29; 6, 987 b, 2
(passage sur lequel nous reviendrons un peu plus tard ». 2015, n. 273, 1 et dans lequel, d'après le contexte [cf. 987b, 12], PLa-
ΤΟΝ est encore explicitement désigné; une sorte d'équivalence
y est établie entre les ἘΠ et les Nombres).
[082 ὁ, 25; fr. 11, 1475 ὃ, 28 sq.
φιλοσοφίας, cité par SyYRIAN. 159,
6, 9876, 27, 29 sq.: M, T,
le (passage du er IT du περὶ
Voir en outre À,
35 544. Καὶ. 922 à, 10 sq. Us. Cf. 2.539 ἘΠ δ πὰ. 2157.
3. Même expression M, 7, 1081 a, 21; 8, 1083 b, 3; 9, 1086 a, 4: N, 3, 1090 b, 33; — εἰδητιχὸς ἀριθμός N, 2, 1088 ὁ, 34; 3, 1090 ὁ, 85; — of ἐν τοῖς εἴδεσιν ἀριθμοί N,6, 1093 ὁ, 21.
4. τὸν εἰδι,ιτιχὸν ἀριθμόν Ps. ALEx, (145, 25 Hd 722, 23 Bz) ΒΖ 544 : « τὰς ἰδέας — appositionis loco additum est, quasi dicat : λέγω δὲ τὸν εἰδητιχὸν PACA »
5. Il est superflu de s'arrêter longuement à la remarque de A. Becx- MANN Num Pl. artefactorum ideas staluerit, 30. Les textes cités plus haut et dans lesquels nous trouvons l’expression où πρῶτοι τὰς ἰδέας λέγοντες Suf-
fisent à prouver qu'il n’y a pas lieu d’opposer un texte tel que celui de A, 6, 987 ὃ, 14-18, où la théorie des uaxbnματιχὰ μεταξύ est attribuée à PLATON (cf. ὃ, 12), à d’autres textes où il est question des Nombres idéaux et qui seraient relatifs à l’école de PLATON (comme par ex. À, 8, 1073 a, 18-20).
Au reste le passage de 987 b, 22, dont nous venous de parler, fait précisément partie du développement dans lequel B. croit trouver un fondement à l'opposition qu’il signale. Cf.n. 175, p. 176-178.
PAPER τ τ... --- À τ e = δ
ΤΟΤΕ ne nous fournit à cette question aucune réponse précise : il se borne à dire que les Idées sont Nombres. Mais, 51] faut . prendre à la rigueur une assertion de TaéoparastTe, les Idées seraient en réalité subordonnées aux Nombres. A vrai dire, cette subordination ne pourrait signifier que les Idées sont moins réelles que les Nombres, ni qu'elles sont engendrées à partir des Nombres : aucun témoignage n’auloriserait une pareille interprétation. Il faut, sans doute, entendre par là ceci seulement que la nature ou l'essence des Idées est définie par celle des Nombres, que le nombre est une expression plus simple, plus précise et mieux déterminée de l’Idée 255, $ 432. — Quoi quil en soit de cette question, sur laquelle nous reviendrons plus tard **, 1] est du moins certain que, d'après Aristote, ces nombres sont de véritables substances, des individualités déterminées, spécifiquement distinctes. Comme les Idées, ce sont des essences unes, existantes à part de la multiplicité ; comme elles, ils ne sont pas dans le lieu et existent à part de l'étendue. Chacun de ces or par conséquent, loin d'être un composé d'unités qu’on peut former de plusieurs manières et autant de fois qu’on le veut, est seul de son espèce : il y ἃ une Unité première, une Dyade première,une Décade première, mais il n’y en a point une seconde, une troisième etc. 257, Entre les diverses hypothèses que l’on
[255] Tueorxr, Metaph. 313, 1- Πλάτων μὲν οὖν ἐν τῷ ἀνάγει» [τὰ ὄντα] τᾷ ἶ τῶν ἄλλων. εἰς τὰς ἰδέας ἀνάπτων, ταύτας δ᾽ εἰς τοὺς ἀριθμιούς, ἐκ δὲ τούτων εἰς τὰς ἀρχάς. Il est possible que les expressions de Turorur. soient inexactes, mais non, comme le pense ZeLrer Plat, St, 263, 1, en ce sens que, par les Nombres, il faudrait entendre l'Un et la Dualité : outre que l'inexactitude dépasserait toute mesure, on ne voit pas quel pourrait être alors le sens du dernier membre de phrase. Cf. ΒΖ Metaph. 540 et Zerrer Ph, d, Gr. Il, 1°, 680, 5.
1256! C£. $ D te:
[251] Metaph. K, 2, 1060 ὁ, θ-12 : ἔτι δὲ τοῖς τὴν πρώτην ἀρχὴν
O2 [D < or —
VAR AT me 0 > < ὃς HA τῆς ὕλης τὸν ἀριθμὸν
peut former relativement à la constitution des nombres, celle qui exprime la nature des Nombres idéaux est la suivante :
πρὼ = 5 5 τ τ -“- “-“ € ᾽ - PO γόμενον ἀληθὲς εἶναι; τὴν γὰρ δυάδα nat τῶν λοιπῶν ἕχαστον ἀριθμῶν τῶν
SN
συνθέτων" πῶς ἕν δεῖ νοῆσαι; κ. τ. À. Toutefois, ce passage ne concernant peut-être pas exclusivement PLaron, mais aussi SPru- S1PPE (Voir la note à πρῶτον), 1] est bon de compléter par d’autres
le témoignace τὰ il nous fournit. Metaph. M, 7, 1081 b, 8-10 :
οἱ δὲ ποιο + μογάδ δα μὲν χαὶ ἕν πρῶτον, δεύτερον δὲ χαὶ τρίτον οὐχέτι, χαὶ pee TP Sen, δευτέραν δὲ nat τρίτην οὐχέτι. lbid. 1, 1082 a,
10 sq. : où γάρ ἐστιν ἑτέρα
σιν οἱ διαφόρους τὰς | γὰρ τὸ εἶδος". Ν, 6, 1093 Fa 91-24
δεχὰς ἐν τῇ δεχάδι παρ αὐτήν". lbid. 7,
ART Ἐν εἰ ᾽ ι ἰ πρῶτός τίς ἐστιν ἀριθμὸς χαὶ
r , \ 4 SRIaAt Ὁ) = , ἰδέαι ἀρ Le . τοῦτο μὲν "ἘΞ αὑτὸ ὀρθῶς λέγου- 6 ἼΣ
: pe None idéaux, οἱ ἐν τοῖς εἴδεσιν ἀριθμοί, ne peuvent être causes des harmonies, ni de quoi
que ce soit, qui serait formé, comme elles, d'unités identi-
ques : διαφέρουσι γὰρ ἐχεῖν
NON TT "7 2, οι ἀλλήλων οἱ ἴσοι εἴδει "
(22 sq.) Si en effet les unités constituantes de chaque nombre
1: Ps.:ALEx. (640,1, 19. ἘΔ ΘΊ sq. 613, 6 ΒΖ) entend : γεννῶσι τοὺς ἀρ.
πρῶτον, πρῶτον TOUS ἀριθμοὺς ἐποίουν, ce qui donnerait à penser qu'il s’agit ici de SPeusiPre. Cf. M, 8, 1083 a, 20- 25 :..«εἰσὶ δ᾽ οὗτοι ὅσοι ... τοὺς ἀριθμοὺς (οἴοντα! εἶναι) πρώτους τῶν ὄντων...
N, 5, 1092 a, 22 : τοὺς λέγοντας ...-.. τὰ πρῶτα τοὺς ἀριθμούς... (Voir π. 317, 5. fin.). Peut-être cependant, malgré l'absence de l’article devant πρῶτον
pourrait-on comprendre « nombre premier » au sens de « nombre idéal ». Cf. M, 6, 1080 b, 22; 7, 1081 a,
4 sq.; 8, 1083 a, 34. C’est en ce sens que TREND. De id. et num. 15, comprend le πρῶτον de notre passage.
2. Ou bien les nombres composés avec la dyade, — ou bien, d’une facon absolue, mais au sens vulgaire du mot, les nombres composés, c.-à-d.
tous les nombres hors l’unité, et y compris la dyade.
3. Ps. ALEX. 156, 10 sq. Hd 133, 29 sq. ΒΖ: ἀλλὰ μὴν οὐδὲ βούλονται ἄλλην δεχάδα εἶναι πλὴν αὐτὴν τὴν αὐτοδεχάδα.
Ibid. 14 Hd 33 sq. ΒΖ : οὐχ ἔσται μία h εἰδητικὴ δεκάς, ὡς αὐτοί φασιν... Cf.
n. 290, fin.
4. que dans la Triade en soi, il y ait un nombre égal à la Dyade en soi; ce qui serait cependantnécessaire pour éviter cette merveille que la Triade en soi ne serait pas supérieure d’une unité à la Dyade en soi, 1082 b, 19 5644. Cf. 8 154 et n. 294.
5. si, dans la Triade en soi, il y a une Dyade en soi, plus une unité.
6. C.-à-d. les unités qui, du point de vue ordinaire, qui est aussi celui d’ARISTOTE, Composent chaque nombre; cette diversité des unités rend, du même coup, les nombres spécifiquement différents. Cf. plus bas b, 26- 30 et Ps. ALEx. 161, 19-24 Hd 739, 16- 21 Bz.
