NOMBRES MATHÉMATIQUES ET NOMBRES IDÉAUX

Toutefois cette série de termes hiérarchisés n’est pas, comme la série consécutive des nombres mathématiques, indéfinie. Tandis qu'il esttoujours possible, en effet, par l'addition d’une

μὲν πρῶτον τὶ αὐτοῦ τὸ δ᾽ ἐχόμενον, ἕτερον ὃν τῷ εἴδει ἕχαστον. χαὶ τοῦτο ἢ ἐπὶ τῶν μονάδων εὐθὺς ὑπάρχει χαὶ ἔστιν ἀσύμόλητος ὁποιαοῦν μοvas ὁποιαοῦν μονάδι : [29: ἢ εὐθὺς ἐφεξῆς πᾶσαι καὶ συμιόληταὶ ὁποιαιοῦν ὁποιαισοῦν, οἷον λέγουσιν εἶναι τὸν μαθηματικὸν ie * ἐν ee τῷ μαθηματικῷ οὐδὲν διαφέρει οὐδεμία μονὰς ἑτέρα ἑτέρας. [1° Β] ἢ τὰς μὲν συμὀλητὰς τὰς δὲ un, οἷον εἰ ἔστι μετὰ τὸ ἕν τς ἣ δυάς, ἔπειτα ἢ τριὸ χαὶ οὕτω δὴ ὁ ἄλλος ue εἰσὶ 3 va

En Le ΓΕ ἕξη

αἱ ἐπὶ τῶν ἄλλων TO

, ἘΞ Set 2.

ἃς ἐν τῇ τριάδι αὐτῇ ao!

2 4 S\ DO ANTCOL. OUOLWS OZ €

ρὸς τῷ io ἑνὶ ἄλλο ἕν, χαὶ τὰ τρία πρὸς τοὶς δύσι τούτοις

ἄλλος ἀριθμός". [Résumé] ἢ τὸν μὲν εἶναι τῶν ἀριθμῶν, οἷος ὁ πρῶτος ἐλέχθη, τὸ" δ᾽ οἷον οἱ μαθηματιχοὶ λέγουσι, τρίτον δὲ τὸν ῥηθέντα τελευταῖον. (1080 a, 15-37) Or, poursuit Ar., ces différentes manières de concevoir le mode d'existence des nombres, envisagés à part de toute application concrète, sont non-seulement les seules possibles en droit, mais encore, en fait, ce sont, à peu de chose près (σχεδόν), celles qui ont été mises en avant par les philosophes qui soutiennent que l'Un est le principe, la substance et l'élément de toutes les choses, et que de l’Un et de quelque autre chose se forment les nombres ; — à peu de chose près, a dit Ar., et en effet ἕχαστος τούτων τινὰ τῶν τρόπων εἴρηχε, πλὴν τοῦ πάσας τὰς μονάδας εἶναι ἀσυμιόλήτους. (1080 ὁ, 4-9.) Cette dernière assertion se retrouve cbid. 7,1 [081 a; 35-b, Ἵ: δι γέ ἢ.

ΠῚ Ainsi donc la première thèse [1° A] n'a pas de ΠΣ ΤΗΝ historique : elle n’est là que pour la symétrie, L'opinion sui-

2. τὰ δύο Ps. ALex 744, 10 Hd 721, 4. Cette proposition ne me paraît 71 ΒΖ pas s'appliquer spécialement aux 3. Bien entendu, il ne s’agit pas nombres dont les unités ne sont inadd'une indépendance absolue, puisque ditionnables que d’un nombre à launous sommes en présence de termes tre, mais, d’une facon générale, à tous hiérarchiquement subordonnés et dé- les nombres non arithmétiques, par

pendant des mêmes principes. Cf. conséquent tout aussi bien à ceux de W. RosenxraAnrz die Plalon. Ideent. 28 la première espèce.

unité à un nombre mathématique quelconque, d'obtenir un nombre nouveau, au contraire, les Nombres idéaux étant des individualités déterminées, il y ἃ lieu de dire combien il existe de telles individualités numériques. Il y en a dix : c’est à la Décade que s’arrête la série des Nombres idéaux et, quand on est arrivé à la Décade, on a obtenu le nombre parfait ?.

vant laquelle le Nombre-substance serait un nombre mathématique [2°] est celle de ὅρευβιρρε (1080 ὁ, 14-16) : elle se distingue de l'opinion analogue des PyrHAGorictENs, en ce que ceux-ci ne font pas le nombre séparé, et en outre lui attribuent une grandeur (ibid. 16-21, 32 sq.). Reste donc la troisième opinion [1° B]; Ακ. y revient en ces termes : ἄλλος ὃξ tie τὸν πρῶτον ἀριθμὸν τὸν τῶν εἰδῶν ἕνα εἶναι, ἔνιοι δὲ χαὶ τὸν μαθηματικὸν τὸν αὐτὸν τοῦτον εἶναι. (1080 ὁ, 21-23\ La doctrine de XÉNoGRATE se reconnaît aisément dans le second membre de la phrase (cf. Z, 2, 1028 b, 25 sq.; À, 1, 1069 a, 34 sq.; M; 1, 10762, 20q . ; 8, 1083 ὁ, 2 sq. ; 9, 1086 a, 5, 8). Quant au premier, si nous le rapprochons des textes cités plus haut (voir principalement [π΄ 257, 5. fin et ἢ. 254], M 8,4083 791-9334 080ta, 11 13 et al.), et dans lesquels PLraron se trouve explicitement nommé ou très clairement désigné, il semble bien être relatif à l'opinion de PLrarox. Elle se trouve précisée dans le passage déja cité 1080 ὁ, 11-14 (7. 254), où 1] est dit que le Nombre idéal est celui qui ἃ τὸ πρότερον χαὶ ὕστερον, et qu'il faut rapprocher de 7, 1082 b, 22 sq. (n. 257, s. med.). Sur l’Antérieur et le Postérieur, voir n. 152, principalement à partir de V.

(2591 1) Les philosophes, dit Ar., qui attribuent au nombre une existence indépendante sont forcés de le considérer ou comme infini — en acte — ou comme fini (M. 8, 1083 ὁ, 36- 1084 a, 1). Or il est impossible que le nombre soit infini(1084a, 2-10). et δὲ πεπερασμένος, μέχρι πόσου; ... ἀλλὰ μὴν εἰ μέχρι τῆς δεχάδος ὁ ἀριθμός, ὥσπερ τινές φασιν, alors les Idées, que les Nombres représentent, ne tarderont pas à faire défaut aux choses : αὐτὸ γὰρ ἕχαστος ἀριθμὸς μέχρι δεχάδος. 1] est nécessaire en effet que ces Nombres correspondent à des choses déterminées, οὐσίαι γὰρ καὶ ἰδέαι οὗτοι... (1084 a, 10-17[7. 295 et ὃ 156]; cf. infra a, 25 sq., 29 sq., 34) À, 8, 1073 a, 19 sq. : περὶ δὲ τῶν