LA DÉCADE EST LE NOMBRE PARFAIT

Telle est la nature des Nombres idéaux, tels sont leurs caractères et les limites de la série qu'ils constituent.

ἀριθμῶν Loi λέγοντες ἰδέας] ὁτὲ μὲν ὡς περὶ ἀπείρων λέγουσιν, ὁτὲ δ᾽ ὡς μέχρι τῆς δεχάδος ὡρισμένων. PLATON, dit- il ailleurs (Phys. NI, 6),

admet un double infini; nombres;

mais il n’en fait pas usage Fe les car Mobnie de division n'appartient pas aux

nombres, puisque l'unité est ce qu’il y a de plus petit, ni

(suivant lui) l'infinité d'accroissement : μέχρ!

Πλάτων, cf. supra 206, 27]

\ 3 TOY ee

(206 ὁ, 32 sq.) C

Metaph. N,1,1088 b,10 54. — La Décade est le nombre Es

M, 8, 1084 a, 31 sq. : πειρῶνται δ᾽ ὡς τοῦ μέχρι Dex

= LA "" δος τελείου ὄντος

ΠῚ On reconnaît aisément ici la doctrine pythagoricienne de

la perfection de la décade.

Chaignet, ap. Sros. Ecl. I, 8, p.16, 21 Wachsm.;

PuiLoraüs {πε

Drezs

Vorsokr. 32 B, 11 {p. 253]; R.-Pr. 65 [p. 51]) s'exprime à son

sujet en ces termes χαττὰν δύναμιν ἅτις

ἐστὶν ἐν τὰ δεχά παντοεργὸς χαὶ θείω χαὶ οὐρανίω βίω χαὶ εἰδύναμις ἃ τᾶς δεχάδος. Le fond de cette opinion

δι "μεγάλα γὰρ χαὶ παντέλης KG!

LA

se retrouve Metaph À, 5, 986 a, 8-11, dans un morceau où les PyrnaGoric. sont expressément désignés. Il est donc possible que, lorsqu'Ar. parle de cette doctrine, 1] pense à la fois aux Pyrnacor. et à PLaron, et 1] est certain, d’après le témoignage explicite de la Phys. cité plus haut, que Prarox l'avait en effet soutenue. Quant aux raisons premières de cette conception, elles doivent sans doute être cherchées dans cette remarque que, en additionnant 1, 2,3, 4°, on obtient le nombre 10. C’est la fameuse tetractys qui, dans le serment pythagoricien, est appelée la source de l’inépuisable Nature (cf. R.-Pr. ed. VII, 65 a [p. 52]°) D'autre part, les éléments géométriques représentés par ces nombres, le point par 1, la ligne par 2, letriangle,

2. μέχρι τῆν δεχάδος πειρῶνται τὴν γένεσιν τοῖς ἀριθμοῖς; ποιεῖν, ὡς ὑστάτης τελειότητος οὔσης τῆς δεχάδος. Ps. ALEX.

111, 20 sq. 750, 4-6 ΒΖ

ὃ. USENER : χάνων ἐοῦσα πάντων à.

4, En ce qui concerne les Nombres idéaux, il est cependant nécessaire, puisqu'ils sont inadditionnables, de

comprendre autrement la formation de la Décade. Cf. n. 270 et n. 405 et TREND. De id. el num. 83, 89.

5. Aux textes cités à cet endroit, ajouter THEON Mus. XXXVI, 93, 19 sq.

Hiller : τὴν μὲν γὰρ τετραχτὺν συνέστησεν ἡ δεχάς. Cf. XXXVIIL début et fin, 93, 25 sqq.; 99, 8 sqq. Hiller

»ω». LA ALT 1e ἧς N cé 5 ? LA 5 É re, AN æ 3 7-5 É «. LIT

ὃ 433. — Il nous faut maintenant examiner quels sont, d'après l’exposition d'ARISTOTE, les principes générateurs des Nombres idéaux. Il est malheureusement très difficile, peutêtre même impossible, de démêler dans cette théorie ce qui appartient en propre à Pcarton de ce qui doit être attribué à des philosophes postérieurs, soit à SPeusipre, soit à XÉvo- CRATE, soit à d’autres encore. ll est donc prudent de s’appuyer seulement sur les données les plus incontestables et au sujet desquelles aucune difficulté ne peut être soulevée. D’après PLarow, dirons-nous, les Nombres idéaux résultent de deux principes ou éléments, l’un, formel, l’autre, matériel. Le premier, c’est l’Un, envisagé non pas comme étant le premier des nombres, mais comme le principe de leur génération. Il

qui est la plus simple des surfaces, par 3, le solide par 4, sont les principes des choses corporelles. Voir Ps. Azex. 772, 22- 28 Hd 751, 10-15 ΒΖ: Zezcer Ph. d. Gr. IL 4°,4005,5; LP, 397 tr. fr. 1, 382]; Rrrr.-Pr. loc. cit. ; Ravaun Probl. du Devenir p: 203 sq: ; cf. Ὡς 270447:

III) Je crois inutile d’insister sur une singulière assertion de PmLopox (De An. [ad 404 ὁ, 18] 76, 2 sq. Hayd.), empruntée soi-disant d’Ar. lui-même : les PLaronicrexs, ayant érigé les Idées en Nombres et considéré ces nombres comme δεχαδιχοί, en auraient donné Ja raison, ἕχαστον γὰρ τῶ» εἰδῶν δεχάδα ἔλεγον. Βμανριβ (De perd. Ar. libris etc. p. 58) avait pris au sérieux ce témoignage, dont TrenpeL. (De id, et num. 89) suspectait au contraire à bon droit la légitimité”, Comme il est presque certain que PniLop, n’a pas eu sous les yeux les écrits d’Ar. auxquels 1] se réfère (le x. φιλοσοφίας qu'il confond avec le 7x. τἀγαθοῦ), 1l faut croire qu'il y a là simplement une induction du commentateur : si la Décade, pense-t-1l, est le nombre parfait, les Idées, qui sont des réalités parfaites, doivent être des

décades (cf. Pricor. bid, 16, 8-10 Hayd).

6. D'accord avec lui, voir la labo- pour rapporter ces mots à « quelque rieuse et peu probante interprétation subtilité de Xénocr. ». Cf. ZeLLre II, de W.RosEnKkANTz die Plalon. Idcenl. M '3412)

29, cf. 28. Brannis ἃ du reste,-par la 1. L'interprétation qu’il en donne suite (Gr. rüm. Fhilos. 11 a, 318 11, est d’ailleurs peu vraisemblable. 1844), renoncé à sa première opinion,

détermine en effet une matière indéterminée, simple puissance d'accroissement ou de décroissement. À ce couple, à cette « dyade »2%0 de termes opposés, l’un dans le sens du plus, l’autre dans celui du moins, PLATON paraît avoir donné le nom de Dyade du Grand et Petit, ou Dyade de l’Inégal. L’Un aurait pour fonction de définir en quelque sorte ce double infini, de synthétiser les termes inégaux qui le constituent. Cette matière malléable et, pour ainsi dire, fluide, recevrait, en un mot, de l'Un, lorsqu'elle participe de lui, la Forme qui, individualise et fait être. À ce point de vue, l’Un serait la même chose que l’Égal. — Relativement au principe matériel, ARISTOTE mentionne plusieurs autres dénominations. Il nous apprend qu'on l’a appelé aussi la Dyade indéfinie, le Multiple, le Différent, l'Autre, l'Excès et le Défaut. De ces dénominations la première paraît avoir été employée à la fois par PLA- TON, par SPEusIPPE et par XÉNOCRATE. La seconde semble avoir appartenu au second et peut-être au dernier. ΠῚ nous est impossible, je crois, de rien dire de précis relativement aux dernières déterminalions. Quant à l’opposition du Beaucoup et du Peu, elle a peut-être été considérée par PLarox lui-même comme la forme que prend la Dyade du Grand et Petit, lorsqu'il s’agit de la génération des Nombres par opposition à celle des Grandeurs *‘!.

$ 434. — Une nouvelle question se pose maintenantàä nous, celle de savoir comment ces nombres sont engendrés à partir des principes dont nous venons de parler. Par malheur, sur ce point, la difficulté de reconnaitre ce qui appartient en

[200] D'après Tercumuezzer Gesch. d. Begr. 327 sq., Ar. se serait approprié cette doctrine sans y introduire rien de plus que quelques distinctions. La Dyade indéfinie ne serait pas autre chose que ]᾿ ἐνδεχόμενόν χαὶ ἄλλως Eye d'Ar.. L'égale possibilité des deux contraires, c’est encore la Dyade ἘΠΕ 5: En tant que le genre est la matière du concept, c’est encore une dyade indéfinie, pour qui admet, comme le fait PLaron, la division dichotomique du genre ; cf. 473-475.

[261] Voir la note à la fin du volume.

propre à Pcaron dans les théories exposées par ARISTOTE s'accroît démesurément. Nous ne pourrons donc ici faire autrement que de prendre en bloc les divers éléments de l'exposition d’ARISTOTE, sans nous poser, autrement que d’une façon accessoire, l’insoluble problème de discerner dans ces éléments divers la part de chaque philosophe.

8 435. — Puisque les Nombres idéaux sont des formes spécifiquement déterminées, il est clair, bien qu Arisrorte nous parle quelquefois de la génération de leurs unités constituantes, qu’ils ne peuvent être engendrés par addition, soit de l'unité à elle-même, soit de l’unité à un autre nombre formé lui-même d’unités*?, Ce serait mème précisément la possibilité de compter, non seulement par addition de l'unité à l’unité, c’est-à-dire par voie de composition graduelle des nombres, mais aussi en nommant chaque nombre à part et comme ayant

[262] Sur cette question, voir ce qui a déjà été dit plus haut ὃ 132 et les notes. Aux textes déjà cités, principalement dans les notes 257 et 258, on peut joindre les suivants Metaph. M, 7, 1082 ὁ, 28 sq. : διὸ xx τὸ ἀριθμεῖσθαι οὕτως, ἕν δύο, un Toochaubavomévou πρὸς τῷ ὑπάρχοντι ἀναγχαῖΐον αὐτοῖς λέγειν (cf. infra 35 sq.). Ce qu'il dit un peu plus bas prouve bien qu’il ne s'agit pas là d'une conséquence, nécessaire seulement à ses yeux, mais d'une assertion réellement émise et qui dépend nécessairement des principes θυ ie les philosophes qu'il combat, 1bid 1082 b, 32 sq. : διὸ πρὸς μὲν τὴν ὑπόθεσιν ὀρθῶς λέγουσιν.... Quand Ar. nous ne des recherches des PLaronrciexs relativement à l'existence d'une pluralité d'unités en dehors de l'Un en soi (Metaph N, 2, 1089 ὃ, 9 sq, : νῦν δὲ πῶς μὲν πολλαὶ μονάδες παρὰ τὸ πρῶτον ἕν ζητεῖται [sc. τόϊς περὶ Πλάτωνα, Ps. Azex. 809, 13 Hd 788, 14 Bz]), Ἷ faut ou bien comprendre qu’il s’agit des unités, inadditionnables à l'égard de celles d’un autre nombre, qui constituent chaque nombre (hypothèse 1°B, cf. πα. 258, 1), ou bien admettre que, dans cette phrase, la pensée polémique prend une des formes qui lui est le plus ordinaire (confusion du Nombre idéal avec le nombre mathé-

matique), et l'emporte sur l'exactitude historique de l’exposition. Οἱ, ὃ 487-190.

sa nature propre, qui aurait suggéré aux Pzaronrcrens cette opinion que les nombres peuvent être envisagés comme des réalités existant immédiatement en elles-mêmes?f%, Quoi qu’il

[263] 1) Metaph. M, 7, 1082 ὁ, 33-37, fin du ch. : πολλὰ γὰρ ἀναιροῦσιν, ἐπεὶ τοῦτό γ᾽ αὐτὸ ἔχειν τινὰ φήσουσιν ἀπόρίαν, πότε ρον, ὅταν ἀριθμῶμεν χαὶ εἴπωμεν ἕν δύο τρία, προσλαμιάνοντες ἀριθμοῦμεν ἢ χατὰ μερίδας. ποιοῦμεν dE ἀμφοτέρως " διὸ γελοῖον ταύτην εἰς τηλικαύτην τῇ οὐσίας ἀνάγειν διαφοράν.

ΠῚ Ce passage est très embarrassant. Ps. ΑΕΧ., par χατὰ | ροίδας ἀριθμεῖν, Dent χατὰ διαίρεσιν .... λαμόάνειν καὶ ne γειν ὅτι τ μὲν τὸ μέρος αὐτῆς ἐστὶ δύο, τόδε δὲ τρία, καὶ οὕτως ἐπὶ τῶν ἄλλων. (162, 20-22 Hd 740, 20-22 Bz) Mais, ajoute le commentateur, les philosophes que combat Arisr. n’admettent n1la formation des nombres par addition (2—1 - 1), ni leur formation par division de la Décade {2— 10/5); car, si les nombres se formaient par addition, les unités seraient indistinctes et additionnables, et, s'ils se formaient par division, la Décade serait un total formé de la Dyade en soi, de la Triade en soi etc.; mais ces propriétés ne conviennent qu'au nombre mathématique; il faut donc admettre des Nombres idéaux dont chacun est une individualité (ἐχεῖνοι μὲν οὕτως). (ibid. 22-28 Hd ΒΖ) En somme, pour prouver l'existence des Nombres idéaux, les PLATONICIENS auraient montré que les deux façons dont un nombre peut se former conviennent seulement au nombre mathématique. — Ce raisonnement ressemblerait fort à une pétition de principe. Mais il y a plus : il ne rend pas du tout la pensée d’Ar.. Car celui-ci semble vouloir dire tout au contraire que, l'un des procédés ne convenant pas, suivant eux, au nombre mathématique, ils ont vu dans cette circonstance une raison de distinguer une autre espèce de nombre. Le Ps, ALEx. poursuit : ἡμεῖς δὲ, φησίν, ἀμφοτέρως ποόιοῦμιεν * ὡρισμένου γὰρ ὄντος τοῦ ἀρ ιϑμοῦ, οἷον "ὀχτὼ ἢ τοῦ ἕξ ἢ ἄλλου οὑτινοσοῦν, διαιροῦμεν αὐτοὺς εἰς τὰ οἰχεῖα μέρη ἀορίσ στου δὲ προστίθεμεν ταὶς μονάσι μονάδας, ἕως ἂν χχταντήσωμεν εἰ

WE = ὃς οξε

τὸν ἀριθμὸν, ὅν ὁρίσαι χαὶ περατῶσαι βουλόμεθα. ἀλλὰ πῶς ἀόριστον εἶπ τὸν ἀριθμόν ; (162, 28-33 Hd 740, 28-741, 3 Bz) — Ces derniers mots du commentateur font supposer à ΒΖ (Metaph. 552; cf. Hay». : « apud Aristotelem nihil tale legimus, ») qu'il a eu sous les yeux, à la suite des mots ποιοῦμεν δὲ ἀμφοτέρως, un texte plus complet que le nôtre, ἃ notre point de vue présent, la

en soit de cette question, les Nombres idéaux engendrés à partir des principes peuvent être de deux espèces, ou impairs ou pairs. Le premier nombre pair résulte immédiatement de l’éga-

question offre, il est vrai, peu d’intérêt, puisque les mots perdus auraient pour objet, non d’éclaireir la pensée des PLaroniciens, mais de développer une remarque personnelle d’Ar. — Quoi qu'il en soit, après avoir répondu à la question attribuée à Ar., que, si nous voulons former le nombre vingt, deux, trois etc, sont en quelque sorte une matière indéterminée par rapport à la forme vers laquelle ils tendent (162,33 35 Hd 741, 3-5 Bz), le Ps. Αμεχ. revient au texte tel que nous le possédons, mais il ne nous donne de la dernière phrase qu’une explication bien insuffisante, de laquelle il résulte que le fondement ridicule donné, suivant Ar., à la doctrine des Nombres idéaux ce serait précisément l'absurde raisonnement que leur prête le commentateur (762, 35-763, 3 Hd 741, 5-8 Bz). L’explication de Syrian. est en grande partie identique et 1] paraît, lui aussi, avoir lu quelques mots qui ne sont plus dans notre texte et dans lesquels Ar. aurait rapporté chacun des deux modes de formation du nombre, le premier, au cas où le nombre est ἀόριστος, le second au cas où il est déjà ὡρισμένος. Mais à cette explication il ajoute quelques observations de son cru, dans lesquelles, sans donner entièrement tort à Ar., 1] cherche à défendre les PLaronicrens. Les nombres en acte sont, dit-il, spécifiquement ce qu'ils sont; comment, par ex., la forme du trois pourrait-elle, par addition d'une unité, se changer en la forme du quatre? Mais il semble croire, lui aussi, que les divisions dont parle Ar. pourraient être des divisions des nombres; car il objecte un peu plus bas, dans sa conclusion, que les multiplications et les divisions ne portent que sur la matière et la quantité des nombres, non sur leur forme spécifique. (138, 24- 139,12 Kr. 910 b,7-31 Us.) — Sans doute, la Forme est indivisible. C’est justement pourquoi les PLaronicrens ne peuvent avoir dit que les Nombres idéaux sont ceux que l’on obtient par une division de la quantité ou de la matière des nombres : on n'obtient pas une forme par une division de la matière. — O. Arecr (Beitr. 250 sq.) propose une explication très simple et tout à fait vraisemblable. μερίς, dit-il, signifie la portion et principalement la portion de nourriture; cf. PLur. Quaest. conviv. I,

! M, eo “4 4 "Ὁ

lisation des termes inégaux, Grand et Petit, le nombre impair, de l'application de l’Unité au nombre pair, D'autre part il ya

2, 644 C[IV, 93, 1 Bernard.]: τὰ δεῖπνα πρὸς μερίδα γίγνεσθαι, ce qui veut dire : « être servi séparément à la portion, de telle façon que chaque convive ait son plat séparé. » (voir Passow Lex. 5. v. μερίς) Le sens du passage serait alors : « Ils ont cherché une difficulté dans la question de savoir si, quand nous comptons un, deux, trois, nous procédons par addition, ou si nous comptons par portions séparées. Or nous faisons de l’une et l’autre manière. Aussi est-il ridicule de grandir une différence aussi insignifiante dans la facon de compter, jusqu’à une différence aussi considérable de la nature même des nombres. » ΠΠῚ L’analogie de l’expression πολλὰ ἀναιροῦσιν (1082 ὁ, 33) avec une expression employée dans un passage où 1] est question de ceux qui fondent en un seul le nombre mathématique et le Nombre idéal', c.-a-d. de XÉNocRATE, pourrait faire supposer que, dans le texte en discussion, Ar. a voulu faire allusion à ce philosophe. Ce n’est pas impossible. Car un grand nombre des objections dirigées contre la théorie des Idées-Nombres peuvent s'appliquer également à la doctrine dans laquelle les Idées ne font qu’un avec les nombres mathématiques (cf. $ 4198 et 7. 391). Cependant nous avons deux raisons très fortes de penser qu il est ici question de PLaron. 1° A la suite de la discussion à laquelle est emprunté le présent morceau, Ar. aborde la critique de la théorie de Speus. (1083 ἃ, 20 sqq.) et la déclare inférieure à celle de PLaron (a, 32 sq.) : ἀνάγχη μᾶλλον, ὥσπερ Πλάτων ἔλεγεν, ἔχειν τὰ περὶ τοὺς ἀριθμούς. Mais, ajoute-t-il, 51 pourtant ou en revenait à cette dernière, on retomberait aussitôt dans les impossibilités nombreuses qui ont été exposées déjà (a, 35 sq.) : εἴρηται ὅτι ἀδύνατα πολλὰ συμιθαίνει. 2° La discussion qui vient ensuite est consacrée à Χάνοοσκ., ce qui serait

bien étrange si le premier morceau se rapportaït exclusive= ment à ce philosophe.

1: M, 9, 1086 a, 9-11 : .., ἔργῳ y ἀριθμὸν. ἐνδέχεται τοῦτον εἶναι τὸν τρόἀνήρηται ὁ μαθηματιχός [80. ἀοιθμός]" πον, ἀλλ᾽ ἰδίας ὑποθέσεις ὑποθέμενον ἰδίας γὰρ χαὶ οὐ μαθηματιχὰς joe ἀνάγχη μιηχύνειν... N, 3, 1090 ὁ, 28-32 : λέγουσιν. Of. M, 6, 1080 ὁ, 28 : οἱ δὲ τ χινεῖν τὰ μαθηματιχὰ χαὶ ποιεῖν ἰδίας

deux sortes de nombres pairs : ceux qui sont les produits d'une duplication progressive à partir de l'Unité ou, en d’autres termes, les trois premières puissances de 2, et ceux qui résultent de la duplication des nombres impairs engendrés comme il a été dit plus haut. De ces deux derniers groupes, le premier nous donne les nombres 2, 4, 8. En appliquant l'Unité à ces nombres, on ἃ les nombres impairs 3, ὃ, 9. Ea multipliant par 2 les deux premiers, on obtient 6 et 10. Enfin, en appliquant l'unité à 6, on a le nombre 7, et la Décade est complète##t, Ainsi la Dyade primordiale est essentiellement

[2641 I) Metaph. M, 8, 1084 à, 3-T : 5 δὲ γένεσις τῶν ἀριθυἱῶν ἢ περιττοῦ ἀριθμοῦ : ἀρτίου ἀιεί ἐστιν, ὡδὶ μὲν τοῦ ἑνὸς εἰς τὸν ἄρτιον ( τῆς μὲν δυάδος ἐμπιπτούσης ὁ ἀφ᾿ ἑνὸς διπλας) ὡδὶ δὲ τῶν περιττῶν ὃ ἄλλος ἄρτιος. Εἴ. N, 3, 1091 a, 10- 12 : : où δύναται γὰρ οὐδαμῶς [56. τὰ στοιχεῖα τὸ μέγα χαὶ τὸ Fes γεννῆσαι τὸν ἀριθμὸν ἀλλ᾽ ἢ τὸν ἀφ᾽ ἑνὸς He δ Μ., 1082, 14 56 : τοῦ γὰρ ληφθέ “Ἢ ἰἰδρθιν 1 ἦν δυοποιός [ἡ FRERES bac]. N, 3, #4, 1091 a, 21-25 : ὥστε nat τῶν ἀρ OU τῶν τοιούτων ἐπισχεπτέον τὴν γένεσιν. τοῦ μὲν οὖν περιττοῦ γένεσιν οὔ φασιν; de δῆλον ὅτι τοῦ αἰτίου οὔσης γενέσεως ᾿ τὸν δ᾽ ἄρτιον πρῶτον ἐξ ἀνίσων τινὲς χατασχευάζουσι τοῦ μεγάλου καὶ ΠΝ ἰσασθέντων. (cf. M, 7, 1081 a, 25 sq. ; 8, 1083 ὁ, 23 sq. ) À,:6, 981 ὁ,, τ δα τὸ ii δυάδα ποιῆσχι τὴν ἑτέραν φύσιν διὰ τὸ τοὺς Fes ξω τῶν πρώτων" εὐφυῶς ἐξ αὐτῆς γεννᾶσθαι, ὥσπερ ἔχ τινος ἐχμαγείου".

11) À propos du premier de ces textes, nous trouvons chez le Ps. ALex., un commentaire très développé dans lequel sont

(Ps. ALEx. 819 24 Hd 798, 26 ΒΖ) Dans ce qui précède, en effet, ARIST. a renvoyé à ses études sur la Nature l’examen des doctrines des PYrHAGOoR. sur la génération du monde, et a déclaré que ses recherches portaient présentement sur la seule question des principes ἐν τοῖς ἀχινήτοις9. OU, Comme il l’a dit précédemment, sur la prétendue γένεσις τῶν ἀϊδίων. (1091 a, 13-21)