s’agit des nombres premiers

Mais le Ps. ALex a tort de dire (169, 22-24 Hd 748, 3-5 Bz) que c’est à cette sorte de nombre, particulièrement, que correspond celui qu’Ar. désigne

comme se formant τοῦ ἑνὸς εἰς τόν

ἄρτιον πίπτοντος, Car le procédé de génération mentionné par Ar. donne le 9, quin’est pas un nombre premier.

8. Comme; par ex., 9, 45, 21, 25, 27 etc., c.-à-d. les nombres qui sont le produit de deux facteurs impairs et qui, par conséquent, ne sont pas, comme les nombres premiers, divisibles seulement par eux-mêmes ou par l'unité.

9. Par ex. 9 et 25, c.-à-d. les nombres dont le rapport est irréductible, mais qui, séparément, sont divisibles par d’autres qu’eux-mêmes ou que l'unité. Sur ces différentes espèces de nombres, dont les Pyrxacoric. avaient peut-être fait mention, mais en faisant de l’aptromépiococ, non une espèce du pair, mais une espèce et du pair et de l’impair, — voir Nicom. Inst. math., p.9sq.; Taéon de Smyrne Arilhm. VI (23, 6 sqq. Hiller), VILI-X (25, 5 sqq.

Auler); ct: Zezteh PA ἀπ ΣΤ 397; 1,2; 350, 2 [tr. fr. 1, 381, 1, 2; 339,1]; Tannery. L’éd. plalon. [2° art.] R. ph.

première puissance de la Dyade primordiale ou, en d’autres termes, le premier produit déterminé de la propriété mulliplicative indéterminée de la Dyade, une fois qu’elle a subi l'action déterminante de l’Un. La Tétrade ou le Quatre idéal résulte ensuite de la multiplication de la dyade première ou du Deux idéal par la Dyade primordiale ; elle est, en d’autres termes, la seconde puissance de cette Dyade. Toute la génération des Nombres idéaux pairs s'explique donc par cette puissance duplicative de la Dyade-principe?%. — Reste la

quement, comme l’a remarqué le commentateur lui-même (768, 31; 169, 6,8 sq. Hd 747, 13, 19, 21; 748, 19 Bz), des Nombres idéaux; or ces nombres ne vont que jusqu'à la Décade; par conséquent, le περισσάρτιος ne l’intéressait pas, puisque 12 est le premier nombre de cette espèce, et d'autre part la subdivision des Nombres impairs en trois classes, dont deux donnaient à la décade le 9, et le 9 seulement, était sans utilité. La classification suivie par Ar. était la mieux adaptée à son objet, qui était d'exposer la génération des nombres contenus dans [ἃ Décade. Aussi ne vois-je aucune raison de supposer, avec R. Heinz (Xenokr, 12, 2 [13]), que notre passage ne reproduit pas la doctrine de l’Académie. Il est à remarquer d'ailleurs que cette exposition cadre parfaitement avec les critiques contenues dans les deux autres passages que nous avons cités (N, 6 début, 1091 a, 23-25; A6: 9870; 89 5}; catelle nous fait voir une génération facile des nombres pairs, plus difficile des nombres impairs; ceux-ci en effet ne sont pas engendrés immédiatement, mais seulement après que les nombres pairs l'ont été, et, en outre, la nature de l’Un, qui entre nécessairement dans leur composition, est mal définie (voir plus loin p. 285 et n. 266).

[265] Voir au commencement de la note précédente les textes relatifs à la nature δυοποιός de la Dyade (M, 7, 1082 a, 14 sq.) et à sa fonction de διπλασιασμός (M, 8, 1084 a, 6; N, ὃ, 1091 a, 11 sq.; les conditions dans lesquelles cette fonction s'exerce seront déterminées infra ὃ 495, début). La distinction du Deux idéal et de la Dyade principe est assez bien marquée M, 1, 1081 a, 21-23 : Ar. vient de dire (ἃ partir de 1081 a, 17)

que l’inadditionnabilité des unités, en ce sens que chacune soit

question de la génération des nombres impairs. Nous avons déjà vu qu’ils sont engendrés par l'application de l'Un aux nombres pairs. Il en résulte qu'ils ne dérivent pas directement, suivant un mode de génération immédiat et naturel, de la Dyade primordiale, tandis que celle-ci est, pour les nombres pairs, le facteur essentiel de leur génération. En outre, d’après ARISTOTE, les PLATONICIENS n'auraient pas expliqué la génération du premier nombre impair, c’est-à-dire de l’Un. Il s’agit d'en déterminer la nature, il ne sont guère plus précis; car ils auraient fait de ce premier Un, soit l'Idée même de l’Impair, soit tout au moins quelque chose d'intermédiaire dans l’Impair*%. — Telles sont, d’après l'exposition

inadditionnable à l’égard de toutes les autres (opinion qui, de l’avea même d’Arisr., n’a jamais été soutenue, cf. M, 6, 1080 ὁ, 4-9 ; 7, 1081 a, 35-37; voir supra n. 258, 1 fin), rend impossible l'existence et du nombre mathématique et du Nombre idéal lui-même. Puis il ajoute, parlant évidemment des Nombres idéaux ; οὐ γὰρ ἔσται: ἡ δυὰς πρώτη ἐχ τοῦ ἑνὸς χαὶ τῆς ἀορίστου δυάδος,

2 ? € f LA r ἔπειτα οἱ ἑξῆς ἀριθμοὶ ὡς λέγεται, ἰδυάς, τ τριάς; πα ἢ’ CE δια ΠΤ sq. ἀλλ᾿ Ex τῆς δυᾶὸος τῆς πρώτης χαὶ the ἀορίστου

S Do GT à € , , Q )7ὰ 2 DA 1 ων δυάδος ἐγίγνετο ἣ τετρᾶς; δύο δυάδες map αὐτὴν τὴν δυάδα" PU peu

plus bas, b, 25 sq. Ar. oppose - τὸ ἕτερον στὸ ιχεῖον δυάδχ ἀόριστον à la ᾿ Ἢ YAQ AIPITTOS δυάς, ὥς ui ω AWÉOÏTX τὴν ί(ησεν. 8, 1084 ὁ, 37 sq. : οὔ φασι δέ] προτέραν εἶναι τῆς δυάδος] " γεννῶσι γοῦν ἢ δυχὸχ πρῶτον. Sur la génération de la Tétrade, voir les textes cités plus haut, M,7, 10802 2Psq et 1082 ὦ, 12-15. ΟἿ Arex. 51, 4-11 Hd 42, 21-43,3 Bz; Ps. Azex. 100, 18-28; 753, 11-16 Hd 734, 4-14 130, 26-30 ΒΖ [200] Vorr la note à la fin du volume.

1. Il faut sans doute placer ces mots entre crochets. Il ne semble pas que le Ps. Azex. les ait lus, mais qu'il les ajoute pour expliquer οἱ ἐξῆς ἀριθμοί.

(149, 18, 23 eq. Hd 126, 19, 23 sq. ΒΖ) Canisr dit avecraison qu'ils sont « interpolationis suspecta ». Le mot δυάς

tout au moins n'a ici aucune raison

d’être puisque Arisr. ἃ déjà parlé de la dyade.

2. Voir Ps. ALex. 753, 9-16 Hd 730, 24-30 Bz : ἀλλ᾽ ἐχεῖνοι x τῆς αὐτοδυάδος (ταύτην γὰρ, χαλεῖ πρώτην δυάδα) χαὶ τῆς ἀρχιχῆς δυάδος, ἣν ἀόριστον χαλεῖ δυάδα, ἀπετέλουν τὴν τετράδα...

d'ArisToTEe, les doctrines de PLaron et des PLAToNIcrENs sur la génération des Nombres idéaux.

IT — La théorie des Grandeurs idéales.

δ 196. — Parallèlement à cette théorie des Nombres idéaux, ils développaient une théorie analogue sur les Grandeurs idéales. À vrai dire, la seconde théorie est subordonnée à la première, s’il est vrai que la ligne, la surface et le solide sont des genres postérieurs au nombre ?; en effet leur principe matériel, comme nous allons le voir, est constitué par les diverses espèces de celui du nombre, c’est-à-dire du Grand et Petit; quant à leur principe formel, il se définit par celui du nombre, l'Un, et par conséquent le suppose. Malgré quelques réserves formulées par Aristote, l’atiribulion de l'existence idéale aux grandeurs géométriques élémentaires ne peut faire doute : il y a des Lignes, des Surfaces, des Solides idéaux au-dessus des lignes, des surfaces et des solides mathématiques, lesquels sont des réalités intermédiaires et se distinguent, à leur tour, des lignes, des surfaces et des solides sensibles, et nous rencontrons, à propos de ces Grandeurs idéales, la même diversité d'opinions qu'à propos des Nom-

(267! Metaph. M, 9, 1085 a, 1-9 : ὁμοίως δὲ καὶ περὶ τῶν ὕστερον γενῶν τοῦ ἀριθμοῦ cumbaive τὰ δυσχέρη, Ὑραμμίῆς TE χαὶ ἐπιπέδου χαὶ σώματος. ΒΖ Metaph. 562 sq. dit : « Genet. ἀριθμοῦ suspensus est ab ὕστερον. Posteriores esse res geometricas rebus arithmeticis. CF. ad À, 2, 982 a, 26. » Cf. A, 9, 9925, πο ΠΣ τοὺς ἀριθμούς, μήχη χαὶ ἐπίπεδα καὶ στερέα, et les textes de B, 5, 1002 a, 4-12 et Δ, 2, 1028 ὁ, 16-18, où 1] est dit que l'unité est plus substance que le point et, d'une façon générale, le simple plus substance que le complexe (cf. π. 250 et n. 235). Le Ps. Arex. 711, 9 sq. Hd 756, 8-10 Bz commet une erreur certaine quand il comprend que les ὕστερα γένη dont 1] est ici question sont μαχρὸν χαὶ βραχύ, πλατὺ χαὶ στενόν; βαθὺ nat ταπεινόν. Ce sont là, comme nous le verrons plus tard (cf. ὃ 437 et

n. 271), des espèces du Grand et du Petit.

de. d nine. dt dés dd D «. μον à id

bres idéaux*%. Ajoutons, ce qui est propre à la doctrine platonicienne et la différencie des théories pythagoriciennes, que les grandeurs sont pour elle de véritables grandeurs,

[268; Après avoir exposé les diverses hypothèses en présence au sujet des nombres, et particulièrement au sujet des nombres envisagés comme réalités indépendantes (οἵ. supra

n. 258), Arisr. ajoute Metaph. M, 6, 1080 ὁ, 23-30 : ὁμοίως δὲ

\ \ / e τ ς ὃχ χαὶ περὶ τὰ στερεά. οἱ μὲν γὰρ ἕτερα ns = =

χαὶ περὶ τὰ MAN χαὶ περὶ τὰ ἐπίπεδα τ τὰ μαθηματικὰ χαὶ τὰ μετὰ τὰς ἰδέας τ = Ξσ \ or > τὰ pabnuatixa καὶ μιαθηυ, ατιχῶς λέγουσιν 4, ὅσοι μὴ ποιοῦσι τὰς ἰδέας ἀρι υοὺς ΠΣ εἶναί τς es οἱ δὲ τὰ in ἢ οὐ ΤΌΣ τς ee * OÙ Ne

εἶναι. Ce texte suffit ἃ faire voir qu'il "re ἘΠ ως ΠΝ Grandeurs idéales, contrairement à l'opinion de Τ πεν. De id. et num. 10 sq. (opinion suivie par H. νὸν ὅτειν Gesch. d. Platon. 112) : « ... Quam quidem rationem {la possibilité de considérer chaque nombre en lui-même et ainsi d'en faire une Idée] spalii quanta non patiuntur. In his enim, quae est spatii conditio, etiamsi ea a rebus avocaveris et una eademque animo conceperis, fieri potest, ut, quae finxeris, omnibus notis sese inter se aequent et tamen plura sint judicanda, utpote spatio diversa, loco dissita. Unde sequitur, spatii quanta, etsi aeterna et eadem, tamen multiplicia esse. Quae causa videtur, eur ab ideis remota in solum mathematicorum numerum sint rejecta. » — Dans tous les passages où 1] met en doute l’existence idéale des grandeurs, Ar. parle en polémiste plutôt qu'en historien. Metaph. À, 9, 992 b,13-18 : On ne peut non plus donner aucune

explication sur* les choses qui viennent après les Nombres

1. PLATON — Cf. Ps. ALEx. 746, 20-22 Hd 723, 19-22 ΒΖ : oi μὲν [γὰρ] αὐτῶν ἕτερα λέγουσι τὰ μαθηματιχὰ ἐπίπεδα χαὶ τὰ στερεὰ χαὶ ἕτερα τὰ εἰδητιχά " ἄλλο γὰρ ἔλεγον εἶναι τὸ μαθηματιχὸν ἐπίπεδον, περὶ ὃ ὃ γεωμέτρης πραγματεύεται, χαὶ ἄλλο τὸ αὐτοεπίπεδον.

2, Ps. ALEx. ibid, 28-30 Hd 27 sq. ΒΖ:

οὗτοι τὰ μιαθηματιχὰ στερεά τε χαὶ ἐπίπεδα χαὶ μαθηματιχῶς λέγουσι, τουτέστι πᾶν μέγεθος εἰς μεγέθη λέγουσιν εἶναι διαιρετόν.... Il s'agit ici de SPEUSIPPE comme la suite le prouve.