ORIGINALITÉ DU MODE DE GÉNÉRATION DES NOMBRES

bien intermédiaire, puisqu'elle s’exerce entre deux Substances distinctes et détermine le degré par lequel nous passons de l’une à l’autre. On s’expliquerait ainsi également, en raison du rôle spécial assigné à l'Un-principe, que la génération des Nombres impairs ait pu paraître difficile à ArisrotE, par comparaison avec celle des Nombres pairs proprement dits,

$ 198. — Ainsi, en résumé, si notre tentative de reconstitution n’est pas illusoire, nous pouvons dire que la manière dont Pzaron engendre les Nombres idéaux est vraiment originale et ne ressemble en rien au procédé mathématique par lequel se constituent des composés consécutifs d'unités homogènes”. Nous avons reconnu les moments divers de cette sénération : dans le premier sont engendrées les Formes 2, 4, 8; un second nous donne la Forme du 3; le troisième nous

[358] Metaph. À, Ὁ, 987 ὁ; 33 sq. Cf. n. 266, 1].

[359] Νάτοπρ ᾿ί. Ideenl, 419 sq. interprète la doctrine des Nombres idéaux, comme nous l'avons remarqué /ntrod., n. 4, à la lumière des idées de Lr18xiz et des logiciens contemporains sur la constitution d'une logique algébrique et d’une mathématique de la Qualité, — On pourrait représenter les diverses étapes de la génération des Nombres idéaux au moyen du tableau suivant :

I (pairs)

Nimes 4

ΠῚ (impair)

ΠῚ (pair-impair)

IV (impair)

V (impair)

4 FLN VI (pair impair)

VIT (impair) e

fournit Le 6; le quatrième, le 5; le cinquième, le 7; le sixième, le 10 et le septième, le 9, Les différents termes de la hiérar-

chie dont la Décade est le couronnement ont été découverts.

dans un ordre différent de celui de leur consécution mathématique, et situés, d’après leur nature intrinsèque, telle qu’elle résulte elle-même de l'opération spéciale qui les a engendrés. Il y a bien là une série d’Unités formelles, et les rapports d’antériorité et de postériorité suivant lesquels s'organise celte série de contigus sont fondés sur les caractères qu’ils possèdent en eux-mêmes, relativement aux principes desquels ils dérivent. |

ἃ 199. — Mais 1] est une autre question, plus fondamentale encore que celle de la génération des Nombres idéaux, c’est la question de leur existence même : pourquoi PLaron a-t-il admis des Nombres idéaux? Or ni les expositions, ni les critiques d’'ArisToTE ne nous apportent de réponse directe à cette question. Il y a cependant dans le passage bien connu de l'Eth. Nic. 1, Δ. une indication de laquelle cette réponse semble pouvoir être induite. Dans ce passage, ARISTOTE nous apprend que les partisans des Idées n’admettaient pas qu'il y eût d'Idées pour les choses dans lesquelles il y ἃ de l’Antérieur et du Postérieur et que, pour cette raison, ils n'admettaient pas une Idée des Nombres. On ἃ beaucoup discuté sur le point de savoir si cette assertion devait être rapportée aux nombres mathématiques ou bien aux Nombres idéaux, et j’ai essayé de prouver ailleurs qu’elle s’applique à la fois aux uns et aux autres; car, en réalité, les deux sortes de nombres comportent au même titre la relation d'Avant et d'Après°®, Mais, sur ce point précisément, nous saisissons la raison pour laquelle Praron ἃ admis des Nombres idéaux. Si, en effet, il n'y a pas une Idée des Nombres, soit mathématiques, soit idéaux, c’est qu'il n’y ἃ pas de genre commun capable d’envelopper en lui la diversité spécifiée et hiérarchisée des nombres. Aussi estil nécessaire, si l’on veut rendre compte des nombres mathé-

[300] Voy. Eth. Nic. I, 4, 1096 a, 17-19. CÉ x. 152, en entier, principalement la fin de la note, 1Χ- ΧΠ].

"| LE “τ. διαὶ dé Léna ων d'A |

POURQUOI PLATON ἃ ADMIS DES NOMBRES IDÉAUX 451

matiques et sensibles d’après les principes de la doctrine, de donner à chacun de ces nombres un modèle séparé duquel:il emprunte ses caractères et son existence même. Bref, c’est parce qu'il n'y a pas d'Idée qui embrasse dans la communauté d’une seule notion le 2, le 3, le 4 etc. qu’il faut bien qu’il y ait un Deux qui soit l’Idée de tous les « deux», un Trois sur lequel se modèlent tous Les « trois » etc., et ce modèle est un modèle idéal parce qu’il est l’unité d’une multiplicité et que, à ce titre, il se sépare de cette multiplicité. On expliquera de la même manière pourquoi la série des Nombres idéaux ne va pas au delà de la Décade. Il n’y ἃ pas besoin en effet, pour rendre compte de tous les nombres sans exception, d’autres modèles que de ceux qui composent la série décadique. N'oublions pas cependant que l’Un est en dehors de cette série; mais, en sa qualité de principe premier des Idées et des Nombres, il est, à vrai dire, un modèle entièrement universel.

Au reste, si ces Nombres peuvent être ainsi les modèles d'une

pluralité indéfinie de combinaisons, n’y a-t-il pas là une raison de plus de les substantialiser et de leur attribuer une existence séparée? Les mêmes réflexions s’appliqueront à la séparation des Figures idéales δ᾽ : comme il y a entre les figures géométriques des relations d’Antérieur à Postérieur, il ne peut y avoir une Idés de /a Figure, mais il y aura une Idée de chaque figure, ou, plus exactement, une Idée de chacune des figures simples, et cette Idée servira de modèle aux figures mathématiques et sensibles, soit simples, soit complexes.

ἃ 200. — En construisant cette doctrine des Nombres et des Figures, Patron n'a pas voulu, les témoignages aristotéticiens en fournissent la preuve, renoncer à la théorie des Idées ; mais il s’est proposé de la compléter et de la corriger. — La théorie des Idées est un produit de l'influence de l’école d'Héracure et des enseignements de Socrare. Au-dessus de la

[3614] Voir Metaph. B, 3, 999 «, 6-13 (cité n. 152, 111) et De An. 11 3, 414 ὃ, 19-33 (traduit même note, /V}, et la discussion relative à ces deux textes, même note V//I et ZX.

mobilité des apparences sensibles, il faut qu'il y ait quelque chose qui serve de fondement à ces apparences : c’est le concept, la notion, l'essence. Mais l'essence ne peut, comme le voulait Socrate, être engagée dans le Sensible. Pcaron abandonne cet intellectualisme intempérant pour qui l’Intelligible un, identique, immuable serait immanent au Sensible mulüple, divers, changeant : il les sépare l’un de l’autre et met l'Idée à part des apparences, comme un modèle dont elles sont la copie. — Il subsistait cependant dans cette doctrine diverses insuffisances. D'une part elle ne permettait pas de définir l'Intelligible en termes qui fussent eux-mêmes entièrement intelligibles, car la définition de l’essence ou de l’Idée ne pouvait se fonder en somme que sur la considération de l'expérience. Par suite non seulement les aspirations du système n'étaient pas entièrement satisfaites, mais il y avait même en lui, sur ce point, un élément de contradiction sur lequel Arisrore ne devait pas manquer d’insister #*?, D’autre part, on ne fournissait aucune explication, aucune justfication, ni relativement à la génération des Idées, ni relativement à l’ordre de cette génération ou, en d’autres termes, relativement aux rapports de subordination entre les Idées. Pourquoi y a-t-il une pluralité d’Idées distinctes les unes des autres? Pourquoi celles-ci sont-elles supérieures à celles-là ? Il fallait que la réponse à ces questions, pour être salisfaisante, füt déduite de raisons purement intelligibles et ne résultät pas, en quelque sorte, d’une simple transfiguration de l'expérience. De plus le rapport des choses phénoménales aux Idées restait mal déterminé : l’hypothèse de la Participation contient des obseurités sur lesquelles l'attention de Pcaron avait pu être attirée soit par les objections de ses adversaires, soit par ses propres réflexions. Enfin, si la théorie des Idées pouvait prétendre expliquer l'existence avec ses déterminations qualitatives, en revanche elle ne rendait pas compte des déterminations quantitatives. Aussi, hien que l’étude de ces déterminations par l’arithmétique et la géométrie constituât une