Philèbe, 25 a
2, C'est ce que permet d’inférer la génération du nombre trois. Par suite les nombres premiers ne seraient pas « engendrés par la dualité». Faut-il expliquer ainsi le texte d’Aristote, Métaphysique, À. 6, 987 ὃ 33: τὸ δὲ δυάδα ποιῆσαι τὴν ἑτέραν φύσιν διὰ τὸ τοὺς ἀριθμοὺς ἔξω τῶν πρώτων εὐφνῶς ἐξ αὐτῆς γεννᾶσθαι, ὥσπερ ἔχ τινος ἐχμαγείου, — Ou, si les
its: le nombre quatre (ἡ +é2x:)', c'est le bre deux doublé par la présence de l'idée du ; le nombre huit, le nombre quatre? doublé ur la présence de l'idée du deux ; le nombre dix, le nombre cinq* doublé par la présence de l’idée du deux‘. Ainsi est justifiée philosophiquement la distinction des nombres composés et incomposés, distinetion fondamentale en arithmétique, mais qui apparaît comme une sorte de mystère lorsque le nombre est construit non par voie de multiplication,
- mais par l'addition répétée de l'unité à elle-même, Ἵ
Ζ ποτ. τ πὸ με > C'est la multiplication qui exprime la composition =
vraie des nombres, et la participation idéale des :*%
nombres entre eux. Si la présence de l’idée du deux οὐ double, et si la présence de l’idée du trois triple, 2
c’est que l'idée du deux ou du trois est identique à l'idée de la multiplication par deux ou par trois. Dans l’addition d'un nombre à un autre, l’un n’est { pas présent à l’autre, il est seulement juxtaposé à
mots : ἔζω τῶν πρώτων sont, selon l'hypothèse très vraisemblable de Zeller, une glose, ne peut-on voir là tout au moins une explication de la glose ?
1. Aristote, Métaphysique, M, 7, 1081 δ, 2): ἀλλ’ ἐκ τῆς δυάδος τῆς πρώτης καὶ τῆς ἀορίστου δυάδος ἐγίγνετο n τετράς. — M, 7, 10824, 11: ἀλλὰ μὴν χάι ἀνάγχη γε μὴ ἐκ τῶν τυχουσῶν δυάδων τὴν δα συγκεῖσθαι" n γὰρ ἀόριστος δυὰς, ὥς pat, γαδοῦσα τὴν ὡρισμένην δυάξα δύο δυάδας ἐποίησεν. "+2 … 2. Aristote, Mélaphysique, M, 7, 1082 a, 29.
3. Aristote, Métaphysique, M, 7, 1082 a, 2, 3: πεντάδων — op Ada: ñ πεμπτάς. — République, VII, 546 c : πεμπάδι. 4. Aristote, Métaphysique, M, 7, 1082 a, 1 544.
l’autre dans l’espace, et cette relation de juxtaposi- 1
tion spatiale n’est pas une relation intelligible. Au
contraire, dans la multiplication d’un nombre par un autre, la nature du multiplicateur devient partie intégrante de la nature du produit, avec toutes ses propriétés ; il y a véritablement présence idéale de l’un à l’autre. D'ailleurs l'addition n’explique pas comment chaque nombre constitue une nature originale et irréductible. Le nombre 5, au point de vue de l’addition, est une somme de parties dont l'idée est contenue tout entière dans l'énumération des parties; indifférente à l’ordre dans lequel ces parties sont énumérées, et à la manière dont ces parties sont groupées. ὃ, c’est indifféremment 444 ou 1+4, 3+1+1, ou 141-413, et ainsi de suite. Mais la relation TE qui est la véritable nature du nombre 5, est une relation indivisible qui, à proprement parler, n’a pas de parties (ἀμέριστος) ΄. Elle est le fondement (πυθμήν) ? de tous les rapports
1. Timée, 35 a: τῆς ἀμερίστου χαὶ ἀεὶ χατὰ ταὐτὰ ἐχούσης οὐσίας.
2. Le mot signifie, chez Platon, ce qui est irréductible et fondamental, 11 désigne {Timée, 83 6) les triangles qui sont à la base de la constitution de la matière, et ailleurs (République, VII, 546 c) une fraction irréductible (ἐπίτριτος πυθμήν). Ce sens ne se retrouve pas ailleurs que chez Platon. Il est déjà altéré chez Speusippe, où un fondement est un nombre qui est le premier, à partir de l'unité, à présenter une certaine propriété (V. Tannery, Pour l'histoire de la science Hellène, p.387) ; chez Apollonius, un fondement, c’est le chiffre qui sert à exprimer un nombre de dizaines, centaines, milliers. 5 est fondement de 50, 500...
A UP , qui ne supposent qu'en appa-
rence un nombre plus ou moins grand d'unités ; car, en réalité, ils sont tous identiques, en tant que tous expriment la relation irréductible et non sim-
. plifiable du quintuple : Τ' Si le nombre est repré-
senté par une fraction, alors seulement le caractère indivisible du nombre en tant qu'idée est saisi: le . nombre est une unité idéale, ἀριθμὸς μοναδιχός !, selon l'expression, d’origine sans doute platonicienne, qu’Aristote emploie à deux reprises. Si l'opération philosophiquement fondamentale est la multiplication, alors seulement se comprennent le caractère idéal des nombres dans leurs relations réciproques, la parti- cipation des nombres entre eux, et la présence des uns aux autres.
« Platon, dit Aristote, a établi l’existence de deux infinis, parce que le nombre semble dépasser tout nombre donné et tendre vers l'infini par excès (ἐπὶ τὴν αὔξη») et par défaut (ἐπὶ τὴν καθαίρεσιν). Mais après avoir constitué deux infinis il ne les emploie pas ; car dans les nombres tels qu'il les définit, il n'y a pas d'infiniment petit : l'unité est le nombre muinimum, ni d'infinimént grand : il n’engendre le nombre que jusqu’à la dizaine ?. » A ces deux objections, la
Î. Aristote, Métaphysique, M, 6, 1080 b, 19; 1082 ὃ, 6; N, 5, 1092 ὃ, 24. — Cf. Philèbe, 15 a b: ἐνάδων, μονάδας. 2. Aristote, Physique, Γ, 6, 206 b, 27.
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philosophie mathématique de Platon contient deux réponses.
Le nombre est une relation. Pour qui considère les relations numériques dans le sensible, il y a. confusion entre les deux termes de la relation : les « choses grandes apparaissent en même temps comme 3 petites, les choses doubles apparaissent en même temps comme demies !. Dans l’intelligible, il y ἃ réci- τ procilé, en même temps que distinction, des deux Ε termes : le plus grand est par rapport au plus petit, . .Fs
le plus petit par rapport au plus grand, — le double M par rapport au demi, le demi par rapport au double ?. En d’autres termes, tout nombre implique son inverse, et l’unité qui n’a pas d’inverse devient le centre d’une double série infinie de nombres entiers, toutes » les relations, d’une part, dans lesquelles l’unité joue le rôle du dénominateur, et qui sont des relade République, V, 419 ὃ: τί δέ ; τὰ πολλὰ διπλάσια ἧττόν τι ἡμίσεα ἢ διπλάσια φαίνεται ; 2. Charmide, 168 C1: οὗ γάρ ἐστί που ἄλλου διπλάσιον (τὸ διπλάσιον)
ἢ ἡμίσεος. — République, IV, 438 c: χαὶ τὰ πλείω δὴ πρὸς τὰ ἐλάττω καὶ τὰ διπλάσια πρὸς τὰ ἡμίσεα χαὶ πάντα τὰ τοιαῦτα. — Dans la Répu= blique (IX, 587 6. sqq.), essayant d'appliquer des notions arithmétiques M à la comparaison de l’âme royale et de l’âme tyrannique, Platon définit M la distance de l’une à l’autre non comme un rapport arithmétique, mais comme un rapport géométrique, et ajoute: οὐχοῦν ἐάν τις … ÉÉrDEE εἴας ἀληθείᾳ ἡδονῆς τον βασιλέα τοῦ τυράννου ἀφεστηκότα λέγῃ ὅσον ἀφέ τῆχεν Evvegr te toaLatEn πε τ δ LE CRLE ἥδιον αὐτὸν ζῶντα | εὑρήσε ϊ ie ὠθείσῃ τῇ πολλαπλασιώσει, τὸν δὲ τύραννον ἀνιαρότερον τῇ αὐτῇ ταύτῃ ἀποστάσει. — La musique vérifie cette conception a l'intervalle ; l'intervalle des valeurs musicales de deux sons est
exprimé par le nombre qui multipliant la plus petite des deux valeurs reproduit la plus graride. τ
TT PNA 5 τ} ;
π΄ LA SCIENCE PURE. 22
s du plus grand au plus petit, — toutes celles, € l'autre part, dans lesquelles l’unité joue le rôle de imérateur, et qui sont des relations du plus petit au plus grand. Il ne s’agit pas de la double série infinie des nombres négatifs et positifs, qui ont toutes deux pour point de départ le zéro. Car la mathématique grecque, au point de vue arithmétique où elle se place, ne peut attribuer de sens au zéro: le zéro n'est pas une relation arithmélique, c'est une ὦ, position géométrique, un point de l'espace, tandis
-que l'unité diffère du point en ce qu'elle est sans x P osilion, elle est la relation intelligible d'égalité. Et, 13 pour la même raison, parce que la nature du nombre
n'est pas spatiale, les fractions qui ont pour numéateur l'unité ne sont pas, au point de vue arithmé-
tique pur, obtenues par des fragmentations inintelligibles de l'unité, qui est une relation indivisible. : Une fraction, ce n’est qu’une certaine relation, intelligible par soi, irréductible à toute autre. Une fraction s un nombre, un nombre est une fraction : fractions et nombres entiers ne sont que des relations arithmétiques intelligibles. 4 D'ailleurs il convient de donner à l’idée de frac
fondement d'une série énie de relations toutes gales entre elles, si, d'autre part, tout nombre 2 écrit comme une relation de nombres, il est néces- à ire que tout nombre apparaisse comme une rela-
tion de relations, et l’unité, ou relation d'égalité, comme une égalité entre deux relations, ou pro=. portion. Le nombre est pure relation, ou pure. liaison (δεσμός), « le plus beau des liens est celui 1 qui fait l'unité de lui-même et des termes liés »;, et, des trois proportions fondamentales, arithmé- | tique, géométrique, harmonique, la plus parfaite Ξ est la proportion géométrique, car en elle les positions de tous les termes sont échangeables. « Si, étant donnés trois nombres..…., le moyen terme est au second extrême ce que le premier extrême est à lui,
et si, réciproquement, ce que le second extrême
est au moyen, le moyen l’est au premier extrême, alors si le moyen terme est pris successivement
cul ss. Li 54
pour premier et pour second extrème, et d'autre part le premier et le second extrêmes pour moyens termes, il est nécessaire que toutes choses demeurent identiques, et, si elles deviennent iden-
ΔΝ, ne ἀχνὰ
tiques entre elles, toutes seront une *.» L'unité
est égalité de relations, ou proportion ; le nombre est relation d’inégalité entre des relations, ou entre des nombres qui ne sont plus assujettis à la condilion que l’un soit égal à l'unité, le nombre est fraction proprement dite. Le nombre étant relation, toute relation entre des nombres doit être considérée elle-même comme un nombre : 1] n’est
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