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Dre; LA SCIENCE PURE. 239

βλέπω, ἐφ᾽ ᾧ τε ἐστι χαὶ ὃ ἀπεργάζεται) ". Cela qui, mul-

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lié par soi-même, ἃ la propriété de produire le

- nombre deux, est donc aussi intelligible que le nombre deux: c'est un nombre aussi, que l'on exprimera, ᾿ > dans la langue du symbolisme géométrique, comme 4 la diagonale du carré dont le côté est égal à l'unité, ou le côté du carré double. De même le nombre qui, multiplié par lui-même, produit le nombre trois, s'exprime comme le grand côté de l'angle droit dans le demi-triangle équilatéral dont le petit t … côté est égal à un *. V2, V3 sont des quantités, des κ᾿. degrés sur l'échelle indéfinie du grand et du petit, F

des propriétés intelligibles. Il en est d’ailleurs des x racines cubiques comme des racines carrées; mais, +

ici encore, il convient de regretter que la géométrie dans l’espace, entendue comme une science pure de . Ja figure, comme une méthode symbolique pour la connaissance des relations numériques, soit en retard sur la géométrie plane. La duplication du carré,

déjà résolu * ; la duplication du cube, un problème à la solution duquel Platon a lui-même travaillé #,

mées sous la forme du symbolisme géométrique,

> 1. République, V, 477 d.

2. Timée, 54 b, 54 d. | 8. Ménon, 82 ὃ. À 4. Théon de Smyrne, Connaissances mathématiques uliles pour la lecture de Platon, éd. Dupuy, p. 4.

« selon la loi des figures planes » et solides, la théorie platonicienne du nombre est achevée. Par là, de plus, la notion vulgaire de nombre est singulièrement précisée et étendue. Car la quantité irrationnélle est bien un nombre, puisqu'elle n'est connue que par des propriétés arithmétiques, comme puissance de produire un nombre. Mais c'est un nombre qui, selon la démonstration pythagoricienne de lincommensurabilité de la diagonale du carré, n’est ni pair ni impair. L’arithmétique vulgaire, qui conçoit le nombre comme une collection d'unités discrètes, distingue entre les nombres qui sont et les nombres qui ne sont pas des carrés parfaits; la théorie des quantités irrationnelles « assimile les nombres dissemblables » : tout nombre, à ce point de vue nouveau, est un carré parfait, le produit d’une racine par elle-même, Dès lors est définitivement éliminée cette conception que l'on peut appeler la conception additive du nombre. Pour qui se bornait à la considération des nombres entiers, il y avait encore lieu à contestation sur le point de savoir si chaque nombre doit être conçu comme une idée, ou forme, indivisible, et non comme un total et un composé; mais la quantité

1. Et inversement tout nombre est une puissance, c’est-à-dire, au sens grec du mot, a la propriété de produire un nombre lorsqu'il est multiplié par lui-même (Tümée, 54 ὃ; République, IX, 587 d; le Politique, 266 ὃ : χατὰ δύναμιν).

“irrationnelle est un nombre qui ne peut pas être “concu comme une collection de parties discrètes. Aussi semble-t-il que Platon, dans la critique de la relation du tout aux parties qui se trouve à la fin du Théétète !, ait eu présente à la pensée la notion de quantité irrationnelle, quoiqu'il emprunte ses exemples à la grammaire. Le problème est de savoir - si l'intelligible, c'est le composé, l'inintelligible, le simple; si la partie, prise en soi, doit être considérée ; comme irrationnelle (ἄλογος), la somme seule comme rationnelle (2-4). Mais la théorie ne vaut pas; car, ou bien le composé est identique à toutes les parties additionnées entre elles: alors si les parties sont inintelligibles et irrationnelles, le tout doit l'être aussi, puisqu'il n’y a en lui rien de nouveau par rapport aux parties; — ou bien le composé est une forme irréductible, provenant de la réunion des . parties; mais alors si les parties sont irrationnelles, qu'elles sont indécomposables en parties, le

comme le composé au simple. Ce qui est rationnel, c'est la loi de composition, irréductible aux ingré-

1. Théétète, 201 d, sqq. — Au mème endroit ne fant-il pas voir une illusion à la relation de la figure au nombre, dans ces lignes (204 d) : ὁ τοῦ πλέθρου ἀριθμὸς καὶ τὸ πλέθρον ταὐτόν. ἦ γαρ; — Nail. — Καὶ ὁ τοῦ σταδίου δὴ ὡσαύτως; — Ναί.