MOUVEMENT STATIONNAIRE

Théorème de M. Clausius. — Théorie des gaz de BernouIIi. « Viriel

intérieur. — Travail intérieur.

Lorsque Ton considère la chaleur comme un mouvement périodique d^un système de points matériels, Tétat d^un corps est défini par la température et par la durée de la révolution du mouvement périodique. Lorsque Tétat d'un corps est stationnaire, le mouvement qui constitue la chaleur est désigné par M. Clausius sous le nom de mouvement stationnaire,

M. Clausius a donné une expression générale de la force vive moyenne du système en fonction des actions mutuelles qui s'exercent entre les points matériels, de la pression extérieure et du volume occupé par le corps (*).

Supposons deux points placés à une certaine distance et

(*) Comptes rendus des séances de r Académie des Sciences, L L\\, p. i3i4; 1870.

soumis à des actions mutuelles, s^exerçant entre ces deux points. Si Ton fait le produit de la force qui agit entre les deux points par la distance de ces points, la demi-somme des produits analogues, obtenus en prenant successivement les points du système deux à deux, est appelée par M. Clausius le viriel intérieur,

M. Clausius appelle viriel extérieur les \ du produit obtenu en multipliant le volume du corps par la pression.

Le théorème établi par M. Clausius dans le cas du mouvement stationnaire est le suivant :

La demi-force vive moyenne du système est égale au viriel.

Si Ton applique ce théorème à la chaleur, la demi-force vive moyenne du système est égale au produit de la chaleur réellement existante par Téquivalent mécanique de la chaleur. La chaleur réellement existante est le produit de trois facteurs : le poids du corps, sa chaleur spécifique absolue el la température absolue.

Le théorème de M. Clausius établit une liaison entre la température absolue, la pression, le volume, la chaleur spécifique absolue el le viriel intérieur. La température, la pression et le volume sont les variables directement accessibles â l'observation ; ces variables sont les seules que Ton ait à considérer dans la première Partie de la Thermodynamique. La chaleur spécifique absolue s^ntroduit dans la seconde Partie de la Thermodynamique; elle est d'ailleurs indépendante de l'état du corps ; c'est une quantité constante propre à chaque corps.

Le viriel intérieur introduit des actions mutuelles entre les divers points matériels et les distances de ces points : l'ensemble de ces actions mutuelles peut être considéré comme un mode de représentation de l'état du corps.

Un corps solide, à une température et sous une pression

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déterminées, a une figure invariable ; pour séparer le corps en fragments, il faut dépenser une force plus ou moins considérable. On exprime ces propriétés, dans le langage ordinaire, en disant que le corps solide possède une certaine cohésion, sans qu^il paraisse nécessaire de donner une définition nette de la cohésion. Lorsque Ton appelle cohésion la force qui unit les parties d*un corps solide, cette définition vague exprime une idée générale ; il n^est pas question de faire entrer la cohésion dans le calcul ou dans une formule.

Les actions mutuelles qui s^ exercent entre les diverses parties d^un corps sont liées étroitement à la cohésion. Ces actions mutuelles sont déterminées pour chaque état du corps par la valeur correspondante du viriel intérieur. On peut suivre, au moyen, du théorème de M. Clausius, les variations qu'éprouve le viriel intérieur dans les diverses transformations qu'un corps peut subir ; mais, jusqu'à présent, nous ne connaissons aucune liaison entre les variations du viriel intérieur et le travail intérieur.

Lorsqu'un corps éprouve une transformation, une partie de la chaleur est consommée en travail intérieur; en même temps le viriel intérieur varie. Peut-on espérer qu'une étude attentive et patiente des variations simultanées du travail intérieur et du viriel intérieur puisse conduire un jour à une relation générale entre le travail intérieur et le viriel inté-

rieur ?

Cette relation nous échappe entièrement : ce défaut de liaison entre le viriel intérieur et le travail intérieur limite les applications du théorème de M. Clausius. C'est particulièrement dans la théorie des gaz et dans la théorie des corps solides, sous les deux formes extrêmes où les corps se présentent, que le théorème du mouvement stationnaire a pu, jusqu'à présent, donner lieu à des applications.

On considère aujourd'hui les gaz comme un assemblage de molécules animées de mouvements de translation : ces molécules rencontrent d'autres molécules et échangent leurs vitesses ; ces molécules rencontrent également les parois des vases qui renferment le gaz. Dans cette manière de voir, la pression exercée par le gaz sur une paroi est produite par le choc sur la paroi d'une grêle de molécules animées d'un mouvement de translation.

Cette hypothèse sur la constitution des gaz est fort ancienne: elle est formulée, pour la première fois, d'une manière précise, dans V Hydrodynamique de Daniel BernouUi. Elle a été reproduite ensuite par Lesage, par Pierre Prévost, Hérapath ; les Mémoires de Joule et de Krônig ont appelé de nouveau l'attention sur ce sujet.

Krônig admettait, pour plus de simplicité, que les molécules du gaz peuvent se partager en trois groupes égaux animés de vitesses égales dans trois directions rectangulaires, dont Tune est perpendiculaire à la paroi.

Considérons un cube dont le côté soit égal à l'unité de longueur ; une face du cube sera par conséquent l'unité de surface ; le volume du cube est l'unité de volume. Supposons ce cube rempli d'un gaz; désignons par p la masse des molécules du gaz renfermé dans le cube ou la masse des molécules sous l'unité de volume du gaz. Imaginons trois groupes égaux de molécules animées de vitesses dirigées suivant les trois arêtes du cube ; désignons par u la vitesse commune aux différentes molécules.

MOrVEMEHT STÂTIOXNAIRE. 4^

Une face du cube peut être considérée comme soumise au choc d^une veine fluide de densité égale à|p,qui frapperait cette face avec la vitesse u, La pression p supportée par une face du cube, égale à l'unité de surface, est égale, diaprés un théorème connu d'Hydrodynamique, a Ipu*. La pression e\.ercée par le gaz sur Tunité de surface est donc égale au tiers de la force vive des molécules renfermées dans Punité de volume du gaz.

La quantité p est la masse des molécules du gaz contenues dans Tunité de volume. Cette quantité est le quotient obtenu en divisant la masse des molécules du gaz par le volume du gaz. En remplaçant la quantité p par cette valeur, on arrive immédiatement à Ténoncé suivant :

Le tiers de la force vive de la masse gazeuse est égale au produit du volume du gaz par la pression qu^exerce le gaz sur Tunité de surface.

On a considéré ici uniquement le cas très simple où le gaz est renfermé dans un vase de forme cubique; on a supposé que les mouvements des molécules s'etrecluenl suivant les directions des arêtes du cube.

M. Clausius a traité la question dans toute sa généralité (*) ; le vase qui renferme le gaz a une forme quelconque, les molécules du gaz sont animées de vitesses dirigées d'une manière quelconque. Le résultat est le même : la force vive d'un gaz est égale à trois fois le produit du volume du gaz par la pression rapportée à Tunité de surface.

La demi-force vive du gaz est le produit de la chaleur réellement existante à Tinlérieur du gaz par l'équivalent méca-

(') Théorie mécanique de la chaleur, t. II, p. 2v\.

nique de la chaleur. La chaleur réellement existante est le produit de trois facteurs : le poids du gaz, sa chaleur spécifique absolue et la température absolue. Lorsque le gaz est dépourvu de travail intérieur, la chaleur spécifique absolue se confond avec la chaleur spécifique du gaz sous volume constant.

On a donc tous les éléméhts de vérification nécessaires pour contrôler la théorie de la constitution des gaz, dont on vient d^indiquer seulement le principe.

La vérification n^est pas satisfaisante (^). M. Clausius a montré que la force vive du mouvement de translation des molécules n'est qu'une fraction, environ o,6i5, delà force vive du gaz.

La force vive de translation est le viriel extérieur qui figure dans le théorème de M. Clausius sur le mouvement stationnaire. Le viriel intérieur est précisément le terme qu'il fautajouter àlaforce vive de translation pour exprimer d'une manière exacte la force vive du gaz.

Lorsque l'on se borne à considérer uniquement le mouvement de translation des molécules gazeuses, plusieurs propriétés des gaz peuvent s'interpréter facilement. En particulier, si l'on admet que la force vive d'un gaz soit proportionnelle à la température absolue, on a immédiatement cette propriété des gaz : pour une masse constante de gaz, le produit du volume par la pression est proportionnel à la température absolue; lorsque la température est constante, le gaz suit la loi de Mariotte.

Cette interprétation des propriétés des gaz ne peut être considérée aujourd'hui comme suffisante : la force vive de translation n'est qu'une fraction de la force vive du gaz.

La théorie des gaz, fondée sur le mouvement de translation (•) Voir la Note E.

MOUVEMENT ST ATIONNAIRE. ^Ql

des molécules ou la théorie de BernouUi, a pris rapidement faveur. Celte théorie des gaz et la notion de l'équivalent mécanique de la chaleur, par leur extrême simplicité, semblent devoir représenter, pour beaucoup de personnes, les deux points les plus importants de la Thermodynamique.

La première Partie de la Thermodynamique, la plus féconde jusquUci en applications, ne suppose aucune hypothèse sur la constitution des corps et sur la constitution des gaz en particulier. Les recherches sur la constitution même des gaz sont en dehors de la première Partie de la Thermodynamique.

Le théorème de M. Clausius sur le mouvement stationnaire complète d'une manière nécessaire la théorie de BernouUi. Ce théorème donne lieu, dans le cas des gaz, à une remarque relative à la loi de Mariotte.

/ une même température, la loi de Mariotte exige que le produit de la pression par le volume d'une même masse de f az ait une valeur constante ou, en d'autres termes, que le ' viriel extérieur conserve une valeur constante.

A une même température, la force vive du gaz demeure invariable; pour que le viriel extérieur conserve une valeur invariable, il faut nécessairement que le viriel intérieur conserve également une valeur invariable. Cette dernière condition exige que les actions mutuelles exercées entre les molécules du gaz soient inversement proportionnelles aux distances mutuelles des molécules. On admettait autrefois que les propriétés des gaz étaient dues à l'action des forces répulsives mutuelles exercées entre les molécules, et l'on expliquait la loi de Mariotte en admettant que les forces répulsives sont inversement proportionnelles aux distances mutuelles des molécules.

L'existence des perturbations apportées à la loi de Mariotte est facile à concevoir d'après l'expression du viriel intérieur. Il suffît d'admettre, en effet, que les forces intérieures ces-

senl d'élre inversement proportionnelles aux distances pour que la loi de Mariotte cesse d^exister.

Le théorème de M. Clausius sur le mouvement stationnaîre a Tavantage de s^appliquer non seulement aux gaz, mais encore à tout état de la matière. Ce théorème convient non seulement aux gaz dépourvus de travail intérieur, mais encore aux liquides et aux solides, à toute espèce de gaz ou de vapeurs.

Lorsqu^l s'agit des corps solides ou liquides, le viriel extérieur est alors une fraction très petite du viriel intérieur. Le viriel intérieur est alors sensiblement égal au produit de la chaleur réellement existante à l'extérieur du corps par l'équivalent mécanique de la chaleur.

Lorsqu'un corps solide ou liquide s'échauffe sous pression constante, Taccroissement de la chaleur réellement existante est égal au produit de l'accroissement du viriel intérieur par l'équivalent calorique du travail.

La chaleur absorbée par un corps solide ou liquide, maintenu sous une pression constante, se compose de deux parties, si l'on néglige le travail externe comme ayant une faible importance : l'accroissement de la chaleur réellement existante à l'intérieur du corps et la chaleur consommée en travail interne.

La chaleur consommée en travail intérieur, pour une élévation de température d'un degré, est égale à l'excès de la chaleur spécifîque sous pression constante sur la chaleur spécifique absolue.

MOUVEMENT STATIONNÀIRE. 493

La quaulité de chaleur équivalente à raccroissement du viriel intérieur, pour une élévation de température dei degré, est égale à la chaleur spécifique absolue.

Le rapport des variations du travail intérieur et du viriel intérieur dépend, en général, du rapport de la chaleur spécifique sous pression constante à la chaleur spécifique absolue.

Dans le cas particulier, où la chaleur spécifique sous pression constante est égale au triple de la chaleur spécifique absolue, la variation du travail intérieur est égale au double de la variation du viriel (^) ; c^est le cas d'un certain nombre de corps solides.

Lorsque deux points sont soumis à des actions mutuelles, qui dépendent de la distance de ces points, une variation de distance entraine un travail de la force agissant entre ces deux points : on démontre, en Mécanique, que le travail élémentaire de la force est égal au produit de cette force par la variation de la distance des deux points.

On a été conduit, d'après cela, comme on Ta dit précédemment, à considérer le travail intérieur comme étant égal à la somme des travaux des actions mutuelles qui s'exercent entre les divers points. Si Ton accepte cette expression du travail intérieur dans le cas où le travail intérieur effectué sous pression constante est égal au double de la variation du viriel intérieur, on arrive à cette conséquence: les actions mutuelles conservent une valeur constante, lorsque la température varie sous pression constante.

Le cas où la chaleur spécifique sous pression constante est égale au triple de la chaleur spécifique absolue est un cas limite, qui parait convenir à un grand nombre de corps solides, pris à des températures suffisamment basses. On a vu déjà que, dans ce cas limite, les forces qui produisent le

(•) Voù' la Note T.

494 CHAPITRK XXII.

mouvement vibratoire calorifique conservent une valeur constante ; il en serait de même pour les actions mutuelles qui s^exercent entre les diverses particules, si Ton exprime le travail intérieur par les formules de la Mécanique générale.

Dans la Mécanique générale, on considère des forces constantes ou variables avec les distances : le travail élémentaire est le produit de la force par la variation de la distance. Le théorème du travail et des forces vives ne peut laisser aucun doute.

Il n^en est plus de même lorsque Ton fait intervenir la notion de température. La distance de deux points peut demeurer invariable ; la force qui agit entre ces points, maintenus à une même distance, dépend en général de la température. Lorsqu^un corps est chauffé sous volume constant, les distances des particules conservent les mêmes valeurs. D'après le théorème du viriel, les forces intérieures varient avec la température. Lorsque la chaleur spécifique sous volume constant est différente de la chaleur spécifique absolue, ce qui est le cas le plus ordinaire, une partie de la chaleur absorbée par le corps qui s^échauffe sous volume constant est consommée en travail intérieur. Ce travail intérieur ne peut être représenté, d^une manière générale, au moyen du produit d^une force par la variation de la distance.

Lorsque la pression reste constante, une élévation de température déterminée est accompagnée ordinairement d'une dilatation : il semble naturel de représenter le travail inté-

MOl'TEMEXT STATI055AlKfi. 490

rieur au moven du produit d*une force par un accroissemenl de distance. Cependant certains corps se contractent sous Finfluence de la chaleur : Teau, dans le voisinage de zéro, en offre un exemple. La chaleur spécifique de Teau liquide a zéro est prise pour unité; la chaleur spécifique absolue de IVau, calculée d'après la loi de Dulong et Petit, est égale à 0,4; la chaleur consommée en travail externe est insignifiante et, d'ailleurs, elle est négative. La chaleur consommée en travail interne, pour une élévation de température de i degré à partir de zéro, est supérieure à 0,6. La distance des molécules di« minue, lorsque la température de l'eau s'élève dans le voisinage de zéro; le produit d'une force par la variation de distance des molécules ne peut alors représenter le travail intérieur* il en est de même dans la fusion de la glace. Cette fusion a lieu avec diminution de volume, et la plus grande partie de la chaleur de fusion est consommée parle travail intérieur.

L'expression du travail, donnée par la Mécanique générale, peut s^appliquer à tous les phénomènes moléculaires tant que la température reste constante. La théorie générale des phénomènes capillaires, donnée par Gauss, emprunte à la Mécanique l'expression du travail : celte théorie donne des résultais d'accord avec l'observation. Dans l'étude de la capillarité, on suppose que la température reste invariable; l'application des principes de la Mécanique générale donne une explication corn* pléte des phénomènes, tant que la température demeure invariable ; cette application devient insuffisante dans Tétude de la chaleur, où l'on doit tenir nécessairement compte de l'influence exercée par la température sur les forces qui agissent entre deux points.

Que deviennent les formules de la Mécanique, si Ton admet que les forces puissent varier avec le temps ? L^n ressort

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bandé peut produire un certain travail en se détendant. Supposons que le ressort reste bandé pendant un certain temps et conserve exactement la même figure. Si Ton admet que la constitution intérieure du ressort puisse se modifier avec le temps, la puissance du ressort varie, avec le temps, sans que la figure du ressort éprouvedechangenâent. Pour apprécierla puissance du ressort au bout d^un certain temps, il faut connaître la loi suivantlaquelle varient les forces intérieures avec le temps. Dans Tétude de la chaleur, la température joue le même rôle que le temps à propos du ressort. Les forces intérieures dépendent à la fois des distances et de la température d'une manière générale. Dans le cas particulier où la chaleur spécifique sous pression constante est égale au triple de la chaleur spécifique absolue, les forces intérieures conservent une valeur constante lorsque la température change sous pression constante. Dans ce cas particulier, le travail intérieur peut se représenter au moyen des formules de la Mécanique générale.

PiESSlOX INTERNE. 497