FIG

Supposons qu'on puisse trouver une série de rayons issus de F, coupant la surface-coupe en deux points au moins, m, et m,. Leur image est confondue et se trouve en x, intersection de Fm,m, avec IT. Lorsque le sujet H et le foyer F se déplacent, m, et m,, liés à H, se déplacent aussi. La condition de stigmatisme est réalisée et vérifiée pour eux; leur image commune restera en x : les quatre points F, m,, m, et u resteront alignés.

Si nous considérons un point m, du solide, situé sur le segment MM, Ce point aura son image en x à l'instant initial. Au cours du déplacement tomographique, il restera sur la droite Fm;m,, qui contient m,m,, son image sera x, et la condition (de stigmatisme sera vérifiée pour lui.

Si P ne passe pas par F, il n’y a pas, à proprement parler, une surface-coupe, mais un volume-coupe qui est celui d’un cône de sommet F s'appuyant sur la surface P: ou bien P est la surface d’un cône de sommet F.

De toute façon, F est lié à H. Le cône rencontre le film II suivant une courbe et lui est lié par son intermédiaire.

Le film, le sujet, le focus, sont en repos l’un par rapport à l’autre, et l’on se trouve dans le cas (de la radiographie ordinaire.

AGE Conséquences :

1° Cette démonstration ne fait pas d’hypothèses sur la forme du film. Peu importe, du reste, que le sujet soit intérieur ou extérieur au cône.

2° Si P est algébrique de degré n, une droite issue de F la rencontrera en n points réels ou imaginaires.

Si n est pair, les racines réelles vont par paire; il faudra que P passe par le foyer; celui-ci sera un point ordinaire de la surface-coupe ou un point multiple d'ordre impair.

Si n est impair, il y a toujours au moins une racine réelle, et il ne faut pas que P passe par F, à moins que F ne soit point singulier d’ordre pair. Mais si P admet des points singuliers et si F est l’un d'eux, il est, par cela même, fixe dans H, et on est ramené au cas d'application du théorème précédent. Si P admet une ligne singulière, F est astreint à se trouver dessus.

3° Si P est transcendante, la notion de degré s’évanouit : on peut se livrer à des considérations analogues en considérant, suivant la surface, le nombre de points réels d’intersection avec une droite quelconque.

On peut donc affirmer, dans le cas où P n’admiet pas ide ligne singulière :

Si une droite peut rencontrer P en Zp points, F est un point simple mobile sur P.

Si une droite peut rencontrer P en 2p + 1 points, F n’est pas situé sur P.

Conséquences pratiques. — On n’a que faire, pratiquement, de surfaces-coupes de degré n > 2. Il est déjà assez difficile de se représenter des coupes de l’objet situées sur des sphères ou des cylindres emboîtés. On utilisera aussi pratiquement toujours des films plans.

D'ailleurs, si n — 2, la surface-coupe passe par F : dans les procédés réellement utilisés, pour les raisons énoncées plus haut, le sujet est loin du foyer, ce qui entraîne une courbure faible de la surface-coupe, qui est pratiquement un

Ne

plan. On ne peut pas avoir, commie surface-coupe, les surfaces du second degré de l'organisme (crâne, par exemple). Ceci nous conduit à rechercher, tout particulièrement, les mouvements tomographiques qui donneront, sur un film plan, l’image d’une surface-coupe plane.

Do — Théorème II.

LEMME 1. — Si le film I est plan, la surface-coupe P est forcément un plan. |

Supposons que P soit une surface gauche. Marquons sur IT trois points &, B, y formant un triangle. Le plan oBF coupe la surface P suivant une courbe (C,) pour laquelle la condition de stigmatisme est vérifiée. Au cours du déplacement, (GC) aura comme image la droite #8, ce qui entraîne que F est astreint à se déplacer dans le plan de (C,), puisque le cône projetant (C.) se réduit toujours au plan «BF. En appliquant des raisonnements analogues aux autres points, on voit que F est le sommet du trièdre défini par les plans des courbes (C,), (C) et (GC), intersections de la surface-coupe P, et des plans aBF, «yF et ByF. Il est fixe dans le solide. On voit de la même façon qu'il est lié à IT par ce trièdre : on est ramené au cas du théorème I.

Donc, s’il existe une surface-coupe, elle est telle que les courbes (C) ne suffisent pas à déterminer des plans : {C,), (C), (C,), sont des droites. P est un plan, puisque nous avons choisi sur le film des points &, B et y quelconques.

Remarquons que le raisonnement précédent s'applique en partie si II est réglée de telle façon qu'on puisse y choisir trois points pouvant former un triangle. Ceci exige que II soit au moins au 3° degré.

LEMME Il. — Le mouvement du plan de coupe P est une translation, plus une rotation dont l'axe reste parallèle à luimême au cours du déplacement.

Ceci veut dire qu'au cours du déplacement une direction

de P reste constante. Cette direction est celle de l’axe de rotation.

À l'instant initial, P coupe IL suivant une droite 8. Choi-

sissons dans P une droite D, parallèle à 5, dont l’image sera À, qui sera évidemment parallèle à D et à (fig. 2 a).

Choisissons sur D trois points a, b, c, dont les images sont a, B, y sur À. La condition de stigmatisme est réalisée pour tous ces points.

D’après le théorème de THALËSs :

ac dy d ab aF bF cF { ae pe: cé t 122 D pen LE | * @) 1 TR RS ur

Un instant après, F, D, a, b, c, occupent les positions F’, D’, a’, b’, «’. (La figure 2 b représente cette configuration où

l'on suppose que D’ n’est plus parallèle à A.) Les images sont toujours &, B, y, et comme D s’est dépla-

de a’; b’, c

cée en bloc, ac — a et ab — ab. La relation (1) est vraie, puisque la condition de stigmatisme est vérifiée pour Hbc

de’ ay (4°) — — —

ce qui nous suffit pour affirmer que D’ est encore parallèle à À. Au cours du déplacement de P, une droite parallèle

à à le reste : c’est ce que nous désirions démontrer. Si P subit une rotation par rapport au film, son axe est parallèle à à.

Nous avons en même temps démontré le corollaire important qui suit.

COROLLAIRE. — Si on suppose que la condition de stigmatisme est réalisée pour un point o dont l’image est w, la trajectoire (C) de F se déduit de celle (y) de o par une homothétie de centre w. |

En effet, le plan-coupe P passe par 0. Menons la droite passant par o et parallèle à à. Choisissons un point 0, arbitraire sur cette droite, son image est ..

D'après la relation (2) :

00, oF 0,F

(OI0A oF w,F ? ce qui exprime la relation annoncée, car o00,/ww, est une constante par hypothèse.

Nous pouvons maintenant énoncer le théorème qui résume tous les procédés de tomographie.