CHAPITRE VI

Sommaire. — Défauts et lacunes des anciennes théories. — Leibnitz, Ëuler^ Laplace. — Recherches de Cauchy. — Emploi des intégrales définies et des symboles imaginaires pour établir rigoureusement les règles relatives à la convergence des séries.

MÉMOIRES. — Développements en séries; règles de convergence. — Sur la convergence dos séries et les limites des restes. — Application du calcul des résidus à la théorie des séries. ~ Étude des séries qui servent à représenter les racines des équations algébriques et les intégrales des équations différentielles. — Sur les divers modes de développement des fonctions en séries. — Méthode logarithmique. — Séries syntagmatiques. — Série de Lagrange, — Séries multiples^ prolongées, divergentes. — Factorielles , — Application à la théorie des fonctions elliptiques. — Développement des fonctions en fractions rationnelles. — Questions diverses. — Progressions des divers ordres. — - Théorèmes relatifs aux sommes d'exponentielles. — Auteurs et ouvrages à consulter,

SOMMAIRE

Les séries étaient déjà connues des anciens, qui les avaient appliquées à la solution de quelques problèmes, mais c'est seulement dans les temps modernes que leur étude a été sérieusement approfondie. La division des polynômes conduit Viète aux séries récurrentes; le calcul des différences finies fait découvrir la série de Stirling, puis celles de Taylor et de Maclaurin; l'analyse dès fonctions transcendantes oblige Newton, Leibnitz, Euler et leurs disciples à représenter ces fonctions par des développementsen séries; plus prësdenous,Lagrangedécouvre la série célèbre qui porte son nom et dont les applications sont si fréquentes en astronomie. Ajoutons encore que les séries servent de base à la pltipart des théories exposées

64 TRAVAUX d'aUGUSTIN CAUCHY.

par Laplace dans la Mécanique céleste et dans le Irtài des probabilités^ et que, de nos jours enfin, elles consbtuent, entre les mains des géomètres, l'un des moyens les plus puissants de recherche.

Cependant, malgré les efforts des savants, la théorie des séries demeurait incomplète et, ce qui est plus grave, manquait même d'une base solide. Faute de soumettre ces formules à des règles rigoureuses et précises, des auteurs éminents sont tombés dans des erreurs palpables. On peut citer comme exemple la suite

de laquelle Leibnitz et Euler prétendaient déduire l'égalité :

Vll y a plus : le même développement conduisait à des limites différentes suivant la nature de la fonction qui lui avait servi de point de départ. Enfin, lors même quele> résultats étaient exacts, les raisonnements se trouvaient souvent défectueux. Il suffira de rappeler le développement defiH — ) quand m croît indéfiniment; la valeur

de la limite, qu'on désigne ordinairement par la notation ^, avait déjà été obtenue pair Euler, mais par une méthode d'une exactitude très-contestable. Cauchv fit ressortir, le premier, dans son Cours d'Analyse^ les lacunes de la démonstration d'Euler et la remplaça par une autre qui ne laisse rien à désirer sous le rapport de la rigueur. Il restait en outre adonner l'interprétation du développement quand la variable devient imaginaire. Euler se contentait de le conserver en lui appliquant les règles obtenues pour les valeurs réelles; mais une pareille exten-

sion avait besoin d'être justifiée, et c'est ce que fit Cauchy en montrant la nécessité d'établir préalablement une définition précise de la nouvelle fonction.

La cause principale des erreurs provenait de ce que Ton se servait des séries sans s'inquiéter de la légitimité de leur emploi, et en particulier, sans s'assurer si elles satisfaisaient à la condition essentielle d'être convergentes. Il en résultait, dans les applications, une foule de paradoxes inexpliqués et, au commencement de ce siècle, il régnait encore, dans cette branche de l'Analyse, une extrême confusion. Les travaux de Cauchy y ont au contraire introduit un ordre rigoureux et une exactitude vraimeat mathématique.

Il fallait, en premier lieu, établir une distinction importante entre les séries convergentes et les séries divergentes. Les premières seules ont été assujetties à des lois régulières. Les secondes ne doivent pas, sans doute, être proscrites de l'Analyse, elles peuvent aussi être employées comme des expressions symboliques au moyen desquelles on arrive à effectuer des transformations utiles, mais, jusqu'à présent du moins, leur usage est demeuré trèsrestreint.

Les premières recherches de Cauchy relatives à la convergence des séries ont été exposées dans son cours d'Analyse. Après avoir défini la convergence elle-même, l'auteur étudie d'abord les séries réelles à termes soit positifs, soit négatifs. Il traite ensuite des séries ordonnées suivant les puissances croissantes d'une variable. Abel avait déjà montré que, si une série de ce genre est convergente pour un certain module de la variable, elle sera également convergente pour toute valeur inférieure du module. Cauchy établit, à son tour, ce théorème et le complète par les propositions suivantes : i^Si dans une II. 5

66 TRAVAUX d'augustiw cauchy.

série les divers termes sont des fonctions continues Xm variable, et si, de plus, la série reste convergente pour des valeurs de la variable comprises entre certaines limites la l'onction qu'elle représente sera aussi continue entre les mêmes limites; 2° Si deux séries ordonnées suinnt les puissances d'une variable sont convergentes pour qb certain module de cette variable et ont la même valeor pour tout module inférieur, ces deux séries seront identiques; d'où il résulte qu'une fonction ne peut étredéf^ loppée que d'une seule manière suivant les puissances ascendantes de la variable.

L'emploi des symboles imaginaires conduit à des résultats encore plus importants. Dans son cours d'Analyse, Cauchy avait déjà étudié les séries à ce point de vue; nne série imaginaire se décompose en deux autres réelles qui doivent être séparément convergentes, et pour cela il suffit que la série réelle des modules le soit elle-même, ce qui ramène la question au cas précédent.

Supposons ensuite qu'il s'agisse du développement d'une fonction suivant les puissances de la variable. Il existe à cet égard une proposition fondamentale qui se trouve énoncée, pour la première fois, dans le Mémoire sur le calcul des limites présenté a l'Académie de Turin en i83i. La règle peut s'énoncer ainsi : c Soit a: une variable réelle ou imaginaire; une fonction réelle ou imaginaire de œ sera développable en série convergente, ordonnée suivant les puissances ascendantes de œ, tant que le module de jc conservera une valeur in férieure à celle pour laquelle la fonction cesse d'être finie et continue. » Cauchy était arrivé à ce résultat en partant des principes du calcul des résidus, et en s'appuyant sur les formules qui servent à convertir les fonctions en intégrales définies; plus tard, il en donna une démonstration élémeo-

taire, indépendante du calcul intégral et basée uniquement sur les notions du calcul différentiel.

Ce théorème fondamental est du reste susceptible d'une interprétation géométrique simple en faisant usage de ce qu'on appelle le cercle de convergence. Considérons la variable imaginaire x comme une quantité géométrique à chacune des valeurs de laquelle correspondra, dans un plan, un point déterminé; et désignons parR la limite supérieure des modules, c'est-à-dire le plus grand module de X pour lequel les modules des termes de la série restent nécessairement finis. Si, de l'origine comme centre avec un rayon égal à R, on décrit un cercle, ce sera le cercle de convergence, et, d'après ce qui précède, on pourra dire que la série est convergente pour toutes les valeurs de x comprises dans l'intérieur du cercle de convergence. Pour tous les points extérieurs, elle sera divergente; quant aux poifits situés sur la circonférence même du cercle, la série pourra être convergente pour quelques-uns, infinie ou indéterminée pour d'autres. Si le rayon limite R devient infini, la série est convergente, sans condition, dans toute l'étendue du plan. D'après ce9 principes, on verra par exemple que la série :

est convergente pour tous les points du plan. La série

sera seulement convergente dans l'intérieur d'un cercle de rayon égal à l'unité et divergente pour les points exté-* rieurs. Enfin elle sera encore convergente pour tous les

68 TRAVAUX d'augustiw cadchy.

points de la circooférence, à Texception de celui qui correspond à l'argument zéro.

On démontre de plus sans difficulté que toute série ordonnée suivant les puissances entières et ascendantes de la variable est une fonction continue, monodrome et monogène, c'est-à-dire synectique^ dans toute l'étendue do cercle de convergence.

Mais ce qui précède n'est encore qu'une partie des résultats auxquels Caucby est parvenu. Pour comprendre toute l'étendue et l'importance de sa découverte, il convient surtout de rappeler les recherches sur la théorie des fonctions qui ont fait l'objet d'une suite de Mémoires insérés dans les Comptes rendus des séances de F Académie des Sciences^ pendant l'année 1846. Bornons-nous, pour le moment, à indiquer sommairement celles qui concernent le développement des fonctions en série et qui reposent sur les propriétés des intégrales définies prises suivant des contours déterminés dans un plan.

Si l'on suppose qu'une fonction /(j?) reste synectique dans une certaine région du plan, et si Ton prend son intégrale entre deux points extrêmes, en suivant une courbe située dans cette région du plan, la valeur de l'intégrale sera indépendante du chemin suivi. 11 en résulte d'abord que, si une fonction reste synectique dans une région du plan limitée par une courbe fermée, l'intégrale prise en parcourant cette courbe, de manière à revenir au point de départ, sera nulle. En second lieu, si la fonction reste synectique seulement dans une portion du plan comprise entre deux contours fermés, les valeurs de l'intégrale relatives a ces deux contours seront égales. En partant de ces principes on arrive à un théorème très-important dont voici l'énoncé : t Pour qu'une fonction soit développable en une série ordonnée suivant les puissao-

ces entières, positives et croissantes de la variable, et demeure en outre convergente dans un cercle ayant son centre à l'origine, il faut et il suffit que la fonction reste synecliquedans toute l'étendue de ce cercle. » M. Laurent a montré que cette proposition pouvait être complétée par la suivante : t Si une fonction reste synectique entre deux cercles concentriques a l'origine, elle sera développable, dans cette région du plan, en une série prolongée dans les deux sens, et ordonnée suivant les puissances positives et négatives de la variable. » La méthode de démonstration donne en même temps le moyen d'effectuer le développement proposé et fait connaître l'expression des coefficients de chaque puissance de la variable sous la forme d'intégrales définies dont la composition est déterminée. Ajoutons enfin qu'on obtient des résultats analogues, soit pour les fonctions de plusieurs variables, soit pour les fonctions implicites définies par des équations.

Les cas où l'on sait obtenir sous forme finie les racines des équations algébriques ou transcendantes, ou bien les intégrales d'un système d'équations différentielles, sont très-rares et doivent être considérés comme des exceptions. On est alors obligé de recourir aux développements en séries, etl'on a un double problème à résoudre : i*^ démontrer l'existence de ces racines ou de ces intégrales; 2® établir leurs développements en séries et étudier, par ce moyen, leurs propriétés. Cauchy s'est occupé, à diverses reprises, de cette question difficile, et a enrichi l'Analyse de plusieurs résultats de la plus haute importance dont il sera parlé à l'occasion des équations algébriques ou différentielles. L'une des plus belles conséquences auxquelles il soit parvenu consiste dans une relation singulière qui existe entre les conditions de convergence

70 TRAVAUX d' AUGUSTIN CAUCHT.

de certaines séries et la résolution numérique de certains équations transcendantes. On en trouve un exemple nmarquable dans l'étude du mouvement elliptique. L» séries» dont le problème dépend, cessent d'être conmgentes quand l'excentricité e de la planète acquiert une valeur supérieure au module de la valeur imaginaire dec

qui vérifie l'équation : i— €COSi|^ = -> ce qui exige que

l'excentricité soit inférieure au nombre 0,6627434. Ce résultat avait déjà été obtenu par Laplace, mais sa méthode était applicable seulement au cas particulier quil avait en vue, et dans lequel, d'ailleurs, les intégrales | s'obtiennent sous forme finie; celle de Cauchy, au contraire, est générale, et convient également, soit à la série de Lagrange, soit a une foule d'autres séries provenant de fonctions qu'on ne sait pas exprimer sous fornae finie.

Les séries multiples et les séries divergentes ellesmêmes conduisent aussi à des résultats utiles. Ce ^rait une erreur de croire que ces dernières, en particulier, doivent être proscrites de l'Analvse. Cauchv a montré en effet que, dans beaucoup de cas, on peut continuer de s'en servir pour obtenir la valeur de certaines quantités avec une approximation, sinon indéfinie, du moins trèsgrande et ordinairement suffisante. Enfin, dans certaines circonstances, on peut employer les séries multiples ou divergentes pour calculer des quantités inconnues avei une approximation illimitée. Ces remarques trouvent leur application, par exemple, dans la théorie des mouvements planétaires.

Parmi les divers modes de développement des fonctions, citons encore celui qui a pour objet de les représenter, soit par des factorielles, c'est-à-dire, par des produits de

iacteurs en nombre fini ou infini, soit par des sommes, en nombre illimité, de fractions simples. Les formules de ce genre ont été appliquées avec avantage à l'étude des lignes trigonométriques et des exponentielles. On les rencontre notamment dans la théorie des fonctions elliptiques, et Jacobi s'en est servi avec habileté pour établir, au moyen de transformations variées, les propriétés essentielles de ces fonctions. Elles ont néanmoins Tinconvénient, inhérent à toutes les méthodes particulières, de ne conduire au but que par des voies détournées, et de ne pas avoir cette généralité et cette fécondité qui caractérisent les méthodes simples et directes. En prenant pour point de départ les principes du calcul des résidus, Cauchy est encore arrivé à des résultats importants dans celte partie de l'Analyse des séries.

MÉMOIRES