DÉVELOPPEMENTS EN SERIES; RÈGLES DE CONVERGENCE

Ane. Ex. : t. I, p. a5. — Sur les séries de Tayloret de Maclaurin. Discussion de la forme du reste.

Ane. Ex. : t. n, p. 221. — Sur la convergence des séries. Étude de la série des modules. — Considérations basées sur la théorie des intégrales définies.

Ane. Ex. : t. II, p. 317. — Méthode pour développer des fonctions fVune ou de plusieurs variables en séries composées de fonctions de même espèce.

Nonv. Ex. : t. I, p. 269. - C. R. : 4840, 1" j(?/w., p. 640. — Considérations nouvelles sur la théorie des suites et sur les lois de leur convergence.

Cauchy avait d'abord étudié les lois de convergence des séries, en se basant sur des considérations empruntées au calcul intégral; dans ce

72 TRAVAUX D AUGUSTfIC CAUCHY.

nouveau Mémoire, il montre qu'on peut leur substituer des démonstntions plus simples, fondées uniquement sur les principes du calcul dilè^ rentiel. — Développement des fonctions en séries convergentes.— Règte de convergence et limites des restes. — Développement des foDClioK implicites. — Formule de Lagrange. — Démonstration élémentaire « rigoureuse de cette formule.

Mém. Dét. : Turin, 1831 et 1832. — Sur le calcul des résidus et k

calcul des limites.

Nous aurons occasion de revenir sur ces importants Mémoires, qui comprennent les applications du calcul des résidus aux diverses branches des mathématiques. Mentionnons seulement la partie de ce travail quia pour objet d'établir les règles relatives à la convergence des séries ao moyen desquelles on développe les fonctions explicites ou implicites d'ime ou de plusieurs variables, et de 6xer en outre des limites su périeuresaui erreurs que l'on commet quand on arrête chaque série après un nombre donné de termes.

NouY. Ex. : t. II, p. 4i (70 pages).

Ce Mémoire a pour objet de reproduire plusieurs parties du traTail précèdent, qui avait été seulement lithographie. — Résumé lu à l'Académie de Turin. ~ Recherches sur le développement des fonctions en séries.

Inst. : t. VI, p. 6o3. — Sur le développement des fonctions en .séries périodiques.

Ce Mémoire concerne diverses séries auxquelles conduisent les problèmes de physique mathématique.

Journ. Liouv. : t. XI, p. 3i3. — Sur le développement fies fonction ordonnées suivant les puissances ascendantes des 'variables.

C. R. : 1837, i*"^ sem., p. 216. — Lettre a M. Coriolis sur la convergence des séries (jui représentent les racines des é(piations algébriques tn> transcendantes, et les intégrales des fonctions différentielles.

G. R. : 1839, li' sem.^ p. 687. — Sur la convergence des séries. Application du théorème fondamental aux fonctions implicites.

G R. : 1840, 'i*" sem., p. 639, G67, 730 (47 pages). — Sur la convergence et la transformation des séries.

Extension des théorèmes fondamentaux aux séries qui servent à représenter les racines des équations algébriques ou transcendantes, et les intégrales des équations différentielles. — Application à la Mécanique céleste.

SERIES. «y'i

C. R. : iSil, i^^ sem.y p. 323. — Sur le développement des fonctions en séries ordonnées, suivant les puissances des sinus et cosinus.

C. R. : 1841, 2* se m,, p. 84^. — Sur les diverses formes du reste de la série de Taylor.

La forme assignée par Lagrange est insuffisante dans un grand nombre de cas où les formules de Cauchy réussissent. — Voir^ sur le même sujet, les recherches plus récentes de M. Ed. Roche et de M. Schlomilch, Journal de M, Liouville pour i858.

C. R. : 1841, 1^ sem.y p. 909; 1843, o^ sem,, p. 193. — Sur le dévelop^ l^ement des fondions en séries.

On démontre qu'on obtient toujours un développement unique, dans le cas même où Ton suppose la fonction développée à la fois suivant les puissances positives et négatives de la variable.

G. R. : 1843, i'' sem., p. 370. — Remarques à l'occasion d'une Note de M. Laurent, ay^nt pour titre : a Extrait du théorème de M. Cauchy, relatif à la convergence du développement d'une fonction suivant les puissances ascendantes de la variable. »

C. R. : 1843, 2* sem,, p. 938. — Rapport sur un Mémoire de M, Laurent, ayant pour titre : « Extension du théorème de M. Cauchy relatif à la convergence du développement d'une fonction suivant les puissances ascendantes de la variable. » — Note à l'occasion de ce Rapport.

G. R. : 1843, i"^ sem., 1220. - NouY. Ex. : t. III, p. 388 — Sur les modules des séries,

G. R. : 1844, 2® sem,, p. 5i. — Sur la méthode logarithmique appliquée au développement des fonctions en séries.

Détermination d'une fonction dont le logarithme est représenté par une série ordonnée suivant les puissances entières d'une variable. — Sur le développement des puissances d'une fonction entière du sinus et du cosinus du même angle. — Sur les inégalités périodiques des mouvements planétaires. — Le principe de cette méthode consiste à substituer, au développement direct de la fonction en série, celui de son logarithme; il ne reste plus alors qu'à multiplier ce dernier par l'exposant de la puissance, pour revenir à la fonction proposée. Il en résulte des avantages analogues à ceux que présente l'emploi des logarithmes dans les calculs numériques. Cette méthode est surtout utile en astronomie : appliquée au calcul de la fonction perturbatrice, elle permet de remplacer des séries multiples par des séries simples, qu'il suffit ensuite d'ajouter, au lieu d'avoir à les multiplier.

74 TRAVAUX D AUGUSTIW CAUCHT.

G. R. : i84i, 1^ sent, y p. i4i, 159. — Sur divers théorèmes relatifik I ût ia convergence des séries. | \'

Application à l'astronomie.

G. R. : 1844, 1^ sem., p. 2o5. — Sur diverses propriétés remarquabh du développement d^une fonction ordonnée en série suivant les puissances entières d'une même variable.

G. R. : 1844, a' sem.^ p. 699. — Sur V application de la méthode hgÊrithmique au développement des fonctions en séries y et sur les avanta^ que présente, dans les applications, la détermination munérique des coefficients effectuée à l'aide d'approximations successives.

G.R. : 1844, 1*' sem., p. 1194» i33i. — Sur plusieurs formules nmvelles, qui sont relatives au développement des fonctions en séries. Extension remarquable de ces formules.

G. R. : 1845, \" sem., p. 280. — Sur l'emploi des variables complémentaires dans le développement des fonctions en séries.

On appelle variables complémentaires deux variables dont la somme est égale à Tunité.

G. R. : 1845, i*"" sem., p. SyS. — Sur diverses propriétés des fonctions continues ou discontinues.

Dans ce Mémoire, Cauchy définit plus complètement les limites assignées par le théorème fondamental pour la convergence des séries Au lieu de deux cercles concentriques, ayant pour rayons les valeurs extrêmes des modules, il donne deux courbes caractérisées par des conditions spéciales, et qui comprennent toutes les portions du plan où la série e>t ^ convergente. Les deux cercles de convergence étaient seulement assujettis à ne pas rencontrer ces deux courbes extrêmes entre lesquelles ils devaient être compris.

G. R. : 1845, i^^sem., p. 4^3. — Sur les séries syntaf^matiques, et sur celles qu'on obtient quand on développe les fonctions d'une seule variable suivant les puissances entières de son argument.

G. R. : 1852, i" sem., p. 8, 70, 121, i56. — Sur le développement (ie> fonctions en séries limitées, et sur les restes qui les co^nplètent. Application à l'astronomie.