CHAPITRE VII

Sommaire. — Résumé des recherches antérieures sur la théorie des équations. — Énumération des équations qu'on sait résoudre. — Détermination du nombre et des limites des racines. — Théorème de Sturm.

— Théorème de Cauchv.

MÉMOIRES. — Théorie des équations, — Sur la résolution des équations algébriques ou transcendantes. — Sur les racines réelles ou imaginaires des équations. — Sur la nature des racines de certaines équations transcendantes. — Méthodes diverses pour la résolution des équations, fondées sur la théorie des intégrales définies, sur celle des quantités géométriques, sur les propriétés des modules des fonctions, etc. — Calcul des indices des fonctions. — Développement des racines des équations en séries convergentes. — Application du calcul des résidus à la théorie des équations, — Equations simultanées. — Elimination»

— Résolution numérique de ces équations par la méthode d'interpolation. — Théorie de Télimination. — Questions diverses, — Ouvrages à consulter,

SOMMAIRE

Le problème de la résolution des équations, envisagé dans toute sa généralité, consiste à trouver les valeurs des racines en fonction des coefficients, c'est-à-dire à déterminer des expressions composées avec les coefficients de telle manière qu'en les substituant à la place de Tinconnue dans Téquation, celle-ci soit identiquement satisfaite; mais ce résultat n'a pu être obtenu que dans un trèspetit nombre de cas particuliers. La résolution de l'équation du second degré remonte à Diophante, et peut-être à Euclide, Dans le xvi® siècle, Scipion Ferrei, Tartaglia et Cardan trouvèrent la composition des racines pour

8o TRAVAUX D^AUGUSTlir CAUCHT.

TéquatioD du troisième degré, et Louis Ferrari poer criie du quatrième. Les divers procédés donton a fait usage poor arriver aux formules fioalesreposeot sur la considéralioa d'uoe équation auxiliaire que Lagraoge appelle /^oA^ani^; mais, au delà du quatrième degré, la résolvante est d*o« degré supérieur à celui de Téquation proposée et ne peot plus servir comme moyen d'abaissement. Relativement à Téquation du cinquième degré, Abel a démontré rimpossibilité de la résoudre par des radicaux, et un géomètre anglais, M. Jerrard, a seulement établi qu*OD pouvait, au moyen de transformations préalables, la ramener à la forme réduite : a?* — a? — a = o. Il devenait dès lors nécessaire d'introduire dans la question un élément nouveau et de changer le point de vue du problème; c'est ce que MM. Hermite et Kronecker ont fait, à la même époque, avec un rare succès, en appliquant à Téquation réduite la théorie des fonctions elliptiques (r). La composition des racines ne pouvant être obtenue directement, il restait à examiner s'il ne serait pas du moins possible de les exprimer indirectement au moyen de fonctions auxiliaires convenablement choisies, et qui dépendraient elles-mêmes des coefficients, comme cela arrive pour réqualion du troisième degré, dont on sait que les racines peuvent êtrereprésenlées par des lignes trigonométriques. MM. Hermite et Kronecker se sont proposé de rechercher si une méthode analogue ne réussirait pas pour l'équation du cinquième degré, et Ton peut voir en particulier, dans le beau Mémoire de M. Hermite sur la théorie des équations modulaires, comment les racines de l'équation ré-

(i) Voir dans les Comptes rendus des séances de l^ Académie des Sciences, année i858, l'extrait d'une lettre sur ce sujet, adressée à M. Hermite par M. Léopold Kronecker.

ÉQUATIONS. 8l

duite peuvent toujours être exprimées par un groupe déterminé de fonctions elliptiques. On a donc ainsi une véritable solution analytique d'un problème difficile dont les savants s'étaient vainement occupés depuis si longtemps.

Aux équations précédentes il faut joindre les équations binômes, qui, après les recherches partielles de divers géomètres, ont été complètement résolues par Gauss, ainsi qu'on l'a vu à l'occasion de la théorie des nombres. Mais en dehors de ces équations et de celles qui s'y ramènent au moyen de certaines transformations, le problème de la résolution générale subsiste encore dans toute sa difficulté. L'objet de la théorie des équations se limite alors à rechercher les propriétés communes aux équations des divers degrés et à établir des méthodes régulières et uniformes pour calculer, avec toute l'approximation nécessaire, les racines des équations dont les coefficients sont donnés numériquement. Sous ce rapport, les géomètres sont parvenus à une foule de résultats qui, dans les applications, suppléent convenablement à l'insuffisance de la théorie.

Leur attention s'est surtout portée sur la détermination des caractères au moyen desquels on peut reconnaître l'existence des racines réelles, leur nombre et les limites entre lesquelles elles sont comprises. On trouve déjà, sur ces questions, des règles nombreuses dans les ouvrages de Descartes, de Newton et d'Euler. Dans le célèbre traité de Lagrange on rencontre en particulier une méthode fondée sur la formation de l'équation aux carrés des différences; mais cette méthode, excellente au point de vue théorique, est habituellement impraticable à cause de la longueur des calculs.

Cauchy s'occupa à son tour de cette théorie difficile et II. 6

8a TRAVAUX d'augustin cauchy.

y réalisa des progrès essentiels. Ainsi par exemple, dans son cours d'Analyse, Note III, il montra que, pour séparer Ips racines réelles d'une équation, il suffisait, dans le cas où les coefficients sont des nombres entiers, d'employer la fonction alternée formée par le produit de toutes les différences des racines prises deux à deux; dès lors il n'est pas nécessaire de former l'équation complète de Lagrange, mais seulement de considérer son dernier terme.

Le problème de la résolution des équations numériques repose sur cette proposition fondamentale que : toute équation algébrique admet au moins une racine réelle on imaginaire. Gauss avait déjà consacré à traiter ce sujet trois Mémoires différents de la plus haute importance, qui font partie des Mémoires de la Société royale de Gottingue. On y remarque avec les idées de Cauchy une liaison évidente. La représentation géométrique des quantités imaginaires, mentionnée plus haut, sert de base à Gauss, et, dans la dernière des trois démonstrations de l'illustre géomètre, la conclusion ressort de la différence des valeurs d'une intégrale double, lorsqu'on intervertit l'ordre des intégrations. C'est ici qu'on voit les deux plus grands analystes de notre époque amenés au même fait el aux mêmes circonstances de calcul, car l'intégrale double de

Gauss dépend au fond de l'intégrale simple / ^J"^' dr:

mais l'auteur des Recherches arithmétiques^ se contentant d'une démonstration nouvelle d'un théorème connu, surprenante par sa singularité, laisse à Cauchy, et sans v pénétrer lui-même, le vaste champ de découvertes dont il s'était ouvert l'accès.

Cauchy ne se borna pas à démontrer que le théorème est toujours vrai pour les équations algébriques de degré

BQUATIOSrS. 83

quelconque, il assigna encdré les conditions sous lésquelles on peut l'étendre aux équations trahi^cendantes; il donna en outre des méthodes très-variées pour la détermination des racines, soit réelles, soit imaginaires. Ces méthodes sont fondées^ les unes sur les principes de l-algèbre élémentaire, les autres sur des considérations empruntées au calcul infinitésimal.

Parmi les recherches de Cauchy sur la théorie des équations, on doit surtout remarquer celles qui ontpoiir objet de préciser le nombre des racines réelles oti imaginaires comprises entre des limites données. Cette question difficile exerçait depuis longtemps la sagacité des plus habiles géomètres; dès la fin du siècle dernier, Fourier, dans ses leçons d'Analyse à l'École Polytechnique, avait exposé une méthode pour déterminer. une limite du nombre des racines réelles comprises entre deux nondbres donnés, en se servant des dérivées successives. De son côté, Budan fit connaître une autre règle pour la solution du problème, et même l'antériorité de sa découverte a été mise hors de doule, malgré les réclamations de Fourier, par les commissaires nommés par l'Académie des Sciences, qui se sont prononcés formellement à cet égard dans leur Rapport. Enfin, en 1829, M. Sturm réalisa un progrès décisif en publiant une méthode qui assigne, non plus une limite, mais le nombre exact des racines réelles comprises entre deux nombres donnés; de sorte que, pour achever la résolution de l'équation, il ne reste plus qu'à effectuer la séparation des racines par les moyens ordinaires. Cependant la question n'était point épuisée; la solution de M. Sturm, en particulier, ne faisait rien connaître sur les racines imaginaires. Cauchy intervint à son tour et fut assez heureux pour trouver une règle générale qui s'applique à tous les cas et qui déter-

mine d'une manière jcomplëte le nombre des racines, soit réelles, soit imaginaires, comprises entre deux limites données. Cette découverte. Tune des plus brillantes qui aient été faites en Analyse, produisit une vive sensation dans le monde savant, et plusieurs géomètres éminents, parmi lesquels on doit citer surtout MM. Sturm et Liouville, s'empressèrent de la reproduire en la présentant sous une forme plus commode et plus conforme aux idées et aux notations en usage. Cauchy lui-même s'occupa plus tard d'en donner une démonstration élémentaire, mais rien n'égale la beauté et la simplicité de sa première méthode. Les propositions relatives aux racines comprises dans un contour fermé se trouvent pour la première fois dans un Mémoire présenté à l'Académie de Turin, en i83i, sur les applications du calcul des résidus et du calcul des limites. La démonstration dont il s'agit est en effet fondée sur les propriétés des résidus, et se déduit, comme conséquence immédiate, d'une formule relative à ce genre de calcul; elle repose donc sur des considérations empruntées à l'Analyse infinitésimale, et, sous ce rapport, on peut dire qu'elle n'est point élémentaire; mais cette Analyse est aujourd'hui assez répandue pour que les notions qui s'y rapportent ne doivent pas être regardées comme appartenant à un ordre exceptionnel de difficultés. Quoi qu'il en soit, c'est là qu'il convient de recourir pour connaître la véritable méthode d'invention de l'auteur et pour contempler, en quelque sorte, la vérité dans sa source.

Parmi les diverses démonstrations du théorème de Cauchy, on doit citer: i** celle de MM. Slurm et Liouville. Journal de M. Liouville^ t. I, p. 278; 2** une autre déinonstralion de M. Sturm, même volume, p. 290; 3° une démonstration de M. l'abbé Moigno, même jour-

nal, t. V, p. 75. Enfin on trouve dans le XXV* cahier du Journal de VÉcole Polytechnique un long Mémoire ayant pour objet le calcul des indices des fonctions, au moyen duquel Caucliy retrouve directement, et sans re- <50urir au calcul intégral, les résultats qu'il avait déduits précédemment du calcul des résidus et de la théorie des intégrales définies.

Le Mémoire de Cauchy sur le calcul des résidus à paru ' lithographie en i83i, mais n'a jamais été imprimé dans son entier; on doit le regretter, car il est l'un des plus beaux et des plus importants que l'auteur ait publiés. Il en est résulté qiie la démonstration originale de Cauchy sur les racines des équations est peu connue, et il ne sera pas inutile d'en indiquer sommairement les traits principaux. Voici d'abord l'énoncé précis du théorème:

t Soit/(r) = o une équation algébrique à coefficients réels ou imaginaires, dans laquelle on attribue à la variable une valeur de la forme x -^y sj —i ; le premier

membre se présentera sous la forme P-4-Q V— i, P et Q désignant deux fonctions réelles et entières des variables ;r, y. A chaque système de valeurs de x^ y considérées comme des coordonnées, correspondra un point déterminé dans un plan, et on tracera dans ce plan un contour fermé S qui ne passe par aucun des points racines de

l'équation. Le rapport ^^ aura, en chaque point du contour, une valeur particulière; mais si l'on parcourt le contour, en partant d'un certain point et en avançant toujours dans le même sens, jusqu'à ce qu'on revienne au point de départ, ce rapport pourra devenir nul ou infini suivant que P ou Q seront nuls. Cela posé, soit n le

nombre de fois que le rapport tt s'évanouit et change de

86 TRAVAUX d' AUGUSTIN CAUCHY.

signe eu passant dû pyositif au négatif, et n' le nombre de fois qu'il s'évanouit et change de signe en passant du négatif au positif, le nombre n ne sera jamais inférieur à n', et U différence n — n' sera égale au double du nombre des racines égales ou inégales de Téquation, reofermées dans le contour proposé. >

La démonstration repose sur la proposition suivante relative au calcul dés résidus. « Soient a?, j^ deux variables réelles, considérées comme représentant des coordonnées

rectangulaires; r = a? -H j V— i une variable imaginaire; <£ {[/ (0]1 ^® résidu intégral de/(r) étendu à celles des

racines de l'équation ^— = o qui correspondent à de^

points renfermés dans un contour donné, et c le périmètre de ce contour. La valeur exacte du résidu intégral sera déterminée par l'équation

et le module de ce résidu aura pour limite supérieure

le produit de — par le périmètre c et par le plus grand

des modules de/(r) qui répondent à des points situés sur ce périmètre. > Or, si Ton considère une fraction

-AA et si Ton désigne parr,, r,, . . . r^^les racines de Té-

quation ^j; (r) = o comprise entre des limites données, on a

Si Ton fait

^<'-UF{r),

il viendra

Si Ton pose ensuite

Téquation ^{r) = o sera remplacée par ^rpr = o, et Ton

aura

F(r,) + F(rO+...+F(r„)= '=. Ç\f(r)^Js.

ds

De plus, le module de cette somme aura pour limite supérieure l'expression

dans laquelle A indique le plus grand module que puisse acquérir une fonction de r pour des points situés sur le contour.

On remarquera maintenant que, dans ce qui précède, la fonction F(r) est indépendante de/(r);on pourra donc lui donner telle forme qu'on voudra, pourvu qu'elle reste finie et continue. Si l'on suppose en particulier F (r) = I, la somme ci-dessus se réduit à m, nombre des racines comprises dans le contour donné, et l'on a

m=z = I , , , -r ds.

27rv/-i Jo +(^) ^*

Le calcul du nombre m se ramène donc à la détermination d'une intégrale définie, et l'on en déduit facilement le théorème en question.

88 TRAVAUX d' AUGUSTIN CAUCHY.

Caucliy suppose encore F (r) = r, et il obtient la formule suivante :

I C'' r+'(r) dr .

r, H- r, -4- . . . -f- r« =r — zn 1 , , , -r- as.

qui donne la somme des racines comprises dans un contour donné. On pourrait attribuer à F (r) une infinité d'autres formes et on obtiendrait autant de théorèmes correspondants, dont plusieurs offriraient sans doute de l'intérêt dans les applications; mais ce travail n'a pas encore été fait, et d'ailleurs il est malheureusement à craindre qu'une recherche de ce genre ne demeurât sans résultat, car le succès de l'analyse de Cauchy repose sur

la forme logarithmique de l'intégrale / K-tQ dr, dont

les propriétés ne s'étendent pas à l'intégrale plus gêné-

raie (^^'']fy^dr.

MÉMOIRES

THEORIE DES EQUATIONS.

Mém. Dét. : 1813. - £c. Pol. : cah. XVII, p. 457. — Méthode pour déterminer à priori le nombre des racines réelles positives et le nombre des racines réelles négatives d*une équation de degré quelconque,

Mém. Dét. : i8i7. - BuU. Phil. : 1817, p. 3 et i6i. - Éc. Pol.: cah. XVIII, p. 4ii' — ^^^ ^^^ racines imaginaires des équations.

Mém. Dét. : 18i9 et 1828. — Obsenmtions sur les principes de la résolution des équations numériques,

Mém. Dét. : 1837. — Sur la résolution générale des équations dUm degré quelconque.

ÉQUATIONS. 8g

I Mém. Dét. : 1837. — Sur une méthode générale pour la détermination des racines réelles des équations algébriques ou même transcenfiantes.

Galcnl différentiel. — Note sur la détermination approximative des racines d'une équation algébrique ou même transcendante.

Ane. Ex.: 1. 1, p. 297 (42 pages). — Sur la nature des racines de ' quelques équations transcendantes.

Il s'agit de certaines équations qu'on rencontre fréquemment dans la Physique mathématique; particulièrement dans les théories de la chaleur, des lames élastiques, des plaques vibrantes, etc.

Ane. Ex. : t. IV, p. 65 (64 pages). - Mém. Dét. : 1829. — Sur la ré-' solution des équations numériques et sur la théorie de l'élimination.

Résolution des équations du premier et du second degré à coefiBcients >éels ou imaginaires. — Équations binômes. — Équations de degré quelconque à coefficients réels ou imaginaires. — Toute équation algébrique

admet au moins une racine de la forme a + b yj — i. — Détermination des fonctions symétriques des racines d'une équation donnée. — Théorème général pour la formation de ces fonctions, et application à l'équation aux carrés des différences. — Détermination des racines réelles d'une équation d'un degré quelconque. — Fixation d'une limite inférieure à la plus petite différence entre les racines réelles. — Théorie de l'élimination. — Degré de l'équation finale.

Nony. Ex. : t. IV, p. 181. — Méthode nouvelle pour la résolution des équations algébriques, fondée sur les propriétés des modules des fonctions et sur la théorie des quantités géométriques.

Inst. : t. IV, p. XXVI. — Sur la résolution analytique des équations de tous les degrés par le moyen des intégrales définies,

ÉC. Pol. : cah. XXV, p. 176 (54 pages). — Calcul des indices des fonctions.

On en déduit une méthode nouvelle pour la résolution des équations. — Théorèmes divers sur les indices. — Théorème de Sturm sur les racines réelles. — Théorèmes relatifs aux racines imaginaires, soit pour une équation à une inconnue, soit pour un système d'équations simultanées.

G. R. : 1837, i*"" sem,, p. 216. — Lettre sur la théorie des équations.

Développement des racines en séries convergentes.

C. R. : 1837, i*""^/?//!., p. SGa; 2* sem., p. 3oi. — Lettres sur la résolution des équations de degré quelconque.

go TRAVAUX D AUGUSTIN CAUCHY.

C. R.: 1837, i*^ 5^/w., p. 778 et 8o5 (^Bipages).— Lettres sur la déurmi nation complète de toutes les racines des équations de degré quAconque.

G. R. : 1837, a" sem., p. 357. — Méthode généraie pour la nation des racines réelles des équations algébriques ou même transtndantes,

C. R. : 1837; 2* sem., p. 417. — Énoncé d^un Mémoire sur la détermination des racines des équations par une méthode dite linéaire.

G. R. : 1837, 1^ sem., p. 687. — Énoncé d'un Mémoire sur la détermination des racines réelles des équations, au moyen des fonctions interpolaires d* Ampère,

G. R. : 1840, 2* sem., p. 829. — Sur la résolution numérique des exultions algébriques ou transcendantes.

G. R. : 1854, i" sem., p. 1104. — Sur la résolution des équations rt sur le développement de leurs racines en séries convergentes. Application aux cartes homalographiques.

G. R. : 1857, i**" sem., p. 268. — Sur la résolution des éqoûtitms algébriques.