THÉORIE DES FONCTIONS INVERSES ET PÉRIODIQUES

Sommaire. — Réflexions générales sur les diflficultés que présente la détermination des fonctions inverses. — Nécessité de recourir à la considération des symboles imaginaires. — Mémoire de Cauchy sur les intégrales prises entre des limites imaginaires. — Série de nouveaux Mémoires en 1846. — Classification des fonctions. — Fonctions monodromes, monogènes, synectiques. — Théorie des fonctions elliptiques. — Recherches de MM. Hermite, Puiseux, Briot et Bouquet.

MÉMOIRES. — Théorie générale des fonctions, — Sur les intégrales prises suivant différentes courbes et suivant des contours fermés. — Sur les intégrales imaginaires des équations différentielles. — Sur l'inversion des intégrales. — Sur les diverses espèces d'intégrales des équations différentielles. — Application du calcul des résidus à la théorie des fonctions périodiques inverses. — Sur les compteurs logarithmiques et sur les régulateurs. — Ouvrages à consulter.

SOMMAIRE

On dit généralement qu'une quantité est fonction d'une autre, lorsqu'il existe entre ces deux quantités une relation telle, que pour chaque valeur assignées la seconde^ la première prenne une valeur correspondante parfaitement déterminée. C'est ce qui arrive pour la plupart des fonctions élémentaires, par exemple pour les fonctions algébriques entières et pour les lignes trigonométriques. Cependant une première difficulté se présente lorsqu'on revient de la fonction proposée à la fonction inverse. Si l'on passe du carré à la racine carrée, on obtient pour

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celle-ci une valeur double. En trigonométrie, le siniisïc définit sans ambiguïté au moyen de l'arc; mais si Ti remonte du sinus à Tare, on trouve, non plus uoeTalev simple, mais une expression périodique renfermant nie infinité de valeurs. La difficulté augmente encore quani pour donner à l'analyse toute sa généralité» on fait osap des symboles imaginaires. On est alors conduit à de fonctions qui admettent plusieurs systèmes de valeoR périodiques, et, dans ce cas, ce n*est plus une valeur déterminée qu'il faut considérer, mais une infinité de systèmes, dont chacun comprend lui-même une infinité de valeurs particulières; dès lors la fonction se présente sous une forme vraiment indéterminée, et le sens de h première définition est tout à fait dénaturé. Il en résultait, dans l'étude des fonctions, d'étranges anomalies dont les savants s'étaient vivement préoccupés, saDsa^ river cependant à vaincre des obstacles qu'ils avaient fini par considérer comme insurmontables. Pour juger de leurs sentiments à cet égard, il suffira de lire un article de M. Eisenstein, de Berlin, inséré dans le Journal it M, Liouçille, t. X, p. 445, qui montre l'embarras extrême où les difficultés de ce genre jetaient les Géomètres.

Si l'on veut faire d'une manière complète l'analyse des fonctions, il est indispensable de recourir à la considération des symboles imaginaires, dont l'utilité se manifeste déjà pour les fonctions élémentaires. Ainsi, par exemple, en trigonométrie, on peut étudier les propriétés do sinus, de la tangente, etc., au moyen des variables réelles dans le cercle; mais, au point de vue de l'Analyse, cette étude serait tout à fait insuffisante; elle laisserait decètf une foule de propriétés essentielles et ne ferait point connaître les relations intimes qui existent entre les lignes trigonométriques et les exponentielles imaginaires,

FONCTIONS INVERSES fiT PÉRIODIQUES. qS.

■WelatioDs qui jouent un rôle capital dans un grand nombre -ride théories.

53! Dès Tannée 1 825, les belles recherches de Cauchy sur les intégrales définies, prises entre des limites imagi- BaireSy avaient montré tout l'avantage qu'on peut retirer edes symboles imaginaires pour l'analyse des fonctions; -i« tOQtefoiSy à cette époque, il ne s'était point préoccupé de bidonnera sa méthode l'extension dont elle était suscep- 31 tible; c'est seulement en 1846 que son attention fut atti- Si rée de nouveau sur cette question. On trouvera le résumé ^( de ses recherches dans une série de Mémoires qui font j partie du tome XXIII des Comptes rendus des séances de ^ I r Académie des Sciences.

Ui € On connaît, dit Cauchy, le rôle important que jouent les expressions imaginaires, non-seulement dans la résolution des équations algébriques ou transcendantes, mais encore dans un grand nombre d'autres problèmes. Ainsi, par exemple, c'est en considérant les valeurs imaginaires d'une variable que l'on parvient à la condition de convergence de la série qui représente le développement d'une fonction suivant les puissances ascendantes de la variable; c'est aussi sur le passage du réel à l'imaginaire que repose, dans le calcul des résidus, l'établissement des* formules générales propres à la transformation, ou même à la détermination d'un très-grand nombre d'intégrales définies. Il était donc naturel de penser que, dans la théorie des équations différentielles, des résultats nouveaux et inattendus devraient sortir de la considération directe des intégrales imaginaires, non pas restreinte à quelques cas particuliers déjà traités par les Géomètres, mais étendue à tous les cas possibles. C'est en effet ce qui arrive. Ayant dirigé mes recherches de ce côté, je suis parvenu, non-seulement à porter la lumière dans des

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questions délicates qui n'avaient pas été suffisammeat éclaircies, mais encore à établir des théorèmes nouveani, qui, en raison de leur généralité, me paraissent digne? d'attention. >

Un premier point à établir, c'est la définition précise de ce qu'il faut entendre par la valeur, ou plutôt parl(^ valeurs d'une fonction imaginaire. Cauchy étend à ces fonctions les considérations dont il s'est déjà servi pour représenter les symboles imaginaires. Soit

une variable imaginaire, et

une fonction de cette variable. P et Q pourront être considérés comme les affixes d'un certain point f dans le plan des coordonnées. Si x, y varient d'une manière continue, le point 9 parcourra dans le plan une certaine courbe, et le mouvement de ce point servira à étudier les propriétés de la fonction elle-même. Toutefois, pour que cette étude puisse se faire utilement, il faut que les fooctions P et Q satisfassent à certaines conditions. En particulier, pour que l'analogie se maintienne entre les fonctions réelles et les fonctions imaginaires, il ne suffit j)a> que la fonction o soit déterminée pour chaque valeur de la variable, il faut encore qu'il en soit de même delà dérivée. Or cette dérivée dépend en général du coefficient

^? qui est, de sa nature, complètement arbitraire; et,

si l'on exprime qu'elle en est indépendante, on trouve que les fonctions P et Q doivent satisfaire à une même équation aux dérivées partielles :

dx^ df ""