FONCTIONS INVERSES ET PÉRIODIQUES

dette relation fondamentale établit immédiatement l'existence d'une série de propriétés communes aux fonctions imaginaires quelle que soit leur origine, et les sépare de «elles qui sont complètement indéterminées.

Voici du reste comment Caucliy classe les fonctions. Si les variations d'une fonction y sont telles que P et Q varient d'une manière continue, on dit que la fonction €st elle-même continue. Si le point qui représente la fonction reprend dans le plan la même position, en même temps que le point qui représente la variable, on dit qu'elle est, en outre, monodrome. Si, de plus, la dérivée n'admet qu'une valeur en chaque point, on dit encore que la fonction est monogène. Une fonction peut éive monodrome sans être monogène ou continue, et réciproquement. Si la fonction est à la fois finie, continue, monodrome et monogène, on dit qu'elle est ^/nec^/grwe. Enfin il convient de remarquer qu'une fonction peut être synectique dans toute l'étendue du plan, ou seulement dans une région limitée. Les nouvelles -recherches de Cauchy frappèrent vivement les géomètres et furent, de leur part, l'objet d'une foule de travaux et de commentaires. Nous allons signaler les principaux.

Citons d'abord ceux qui concernent la théorie des fonctions elliptiques. Celte célèbre théorie remonte au siècle dernier; Legendre en fit l'objet d'une étude persévérante pendant près de quarante ans. Cependant son grand Traité des fonctions elliptiques est incomplet, en raison surtout de ce que l'auteur ne connaissait pas la propriété essentielle de ces fonctions, qui consiste dans leur double périodicité, l'une réelle, l'autre imaginaire. Gauss paraît être le premier qui ait aperçu cette propriété caractéristique; on trouve, en effet, dans les Recherches arithmétiques, un résultat relatif à la division de la lemniscate ". 7

98 TRAVAUX d'aUGUSTIN CAUCHT.

qui suffit à lui seul pour montrer que l'auteur était, dès cette époque, en possession du principe de ia double périodicité et, sans doute, de la plupart des résultats obt^ nus postérieurement par Abel et Jacobi. Toutefois Gaoss ne publia rien de sesrecbercbes sur cette matière, etc'est seulement vers 1 826 qu* Abel établit nettement, etpoar la première fois, ce principe fondamental, qui servit de base à ses travaux et à ceux de Jacobi dans son Traité intitulé : Fundamenta nova theoriœ functionum eUipûcarum. Gaucby reprit à son tour la question, mais déplus baut. Sans s'arrêter exclusivement aux fonctions elliptiques, il s'attacha à définir et à analyser, d'une manière générale, la périodicité multiple des fonctions inverses de diverses classes d'intégrales définies qui compreDDent les fonctions elliptiques comme cas particulier.

Le caractère de double périodicité est tellement ialpo^ tant, que M. Hermite, en suivant la marche tracée par Jacobi dans ses leçons à l'université de Kœnigsberg, a pu le prendre pour point de départ d'une théorie spéciale des fonctions elliptiques et établir ainsi, d'une manière directe, leurs principales propriétés. Les recherches de ce savant sont exposées dans divers Mémoires insérés aux Comptes rendus de V Académie des Sciences^ et aussi dans les Notes qui accompagnent la nouvelle édition du Traité de Calcul différentiel et intégral de Lacroix.

Jacobi et plusieurs autres géomètres avaient établi la théorie des fonctions elliptiques en les mettant sous la forme de développements en séries; dans leur ouvrage sur les fonctions doublement périodiques, MM. Briot et Bouquet ont entrepris d'en donner une nouvelle analyse en les définissant par des équations différentielles dont elles sont les intégrales. C'est en effet sous cette forme que ces fonctions se présentent le plus habituellemeut