FONCTIONS INVERSES ET PÉRIODIQUES

en Analyse, et les méthodes de Cauchy permettent al(yps d'en étudier plus facilement les propriétés. Dans le même ouvrage, les auteurs se sont encore occupés d'analyser d'autres fonctions définies par diverses équations différentielles. La question étant ainsi abordée directement, on peut, d'après la forme des équations, reconnaître les propriétés des intégrales, leur nature et la catégorie à laquelle elles appartiennent. Enfin la méthode permet d'exprimer ces intégrales, soit au moyen des signes élémentaires lorsque la fonction est algébrique, soit ^u moyen des fonctions elliptiques.

L'analyse des fonctions algébriques avait été déjà, plusieurs années auparavant, l'objet des travaux de M. Puiseux, qui entra l'un des premiers dans la voie nouvelle frayée par Cauchy. Ce savant s'était proposé plus particulièrement d'étudier les fonctions définies par des équations algébriques. 11 a pu ainsi établir d'une manière définitive le mode d'existence des racines de ces équations, en montrant avec évidence ce qui les distingue essentiellement des fonctions rationnelles. L'auteur, appliquant ensuite ces données nouvelles k l'étude des intégrales des différentielles algébriques quelconques, a donné, pour la première fois, les raisons aussi claires que complètes de leurs valeurs multiples, levant ainsi les difficultés signalées par M. Eisenstein, et fondant sur ses véritables bases la théorie des fonctions abéliennes les plus générales. Les recherches de M. Puiseux ont été soumises à l'Académie pendant les années 1849 et f85o; leur publication a eu lieu dans le Journal de M. Liousnllt, pour les années i85o et i85i.

A tous ces travaux, enfin, il faut joindre ceux de M. Liouville, dont les savantes leçons au Collège de

lOO TRAVAUX D AUGUSTIN CAUCHY.

France, sur les fonctions elliptiques, ont été le point de départ des recherches 4eMM. Briot et Bouquet.

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