FONCTIONS INVERSES KT PÉRIÔDIQIJES

une foule de propriétés remarquables des transcendantes représentées par des intégrales définies, et, par conséquent, dline multitude de fonctions parmi lesquelles se trouvent comprises les fonctions elliptiques et les transcendantes abéliennes. »

Dans ses recherches antérieures, Cauchy avait supposé que la fonction sous le signe / reprenait la même valeur lorsque, après avoir parcouru une courbe entière;, on revenait au point de départ. Mais rien n'empêche d'admettre que, dans une telle intégrale, la fonction sous le

signe / 5 assujettie, si l'on veut, à varier avec x par degrés insensibles,

acquiert néanmoins des valeurs distinctes, à diverses époques oii la valeur de X redevient la même. C'est ce qui arrivera en particulier si la

fonction sous le signe / renfermée des racines d'équations algébriques ou

transcendantes. Alors, si le point mobile parcourt plusieurs fois de suite la même courbe, les racines comprises dans la fonction dont il s'agit pourront varier avec le nombre des révolutions qui ramèneront le point mobile à sa position primitive ; de telle sorte, qu'une racine d'une équation donnée pourra se trouver remplacée, après une révolution accomplie, par une autre racine de la même équation. Par suite, la fonction sous le

signe / 9 que l'on doit supposer complètement déterminée au moment du

départ, pourra être remplacée, après une ou plusieurs révolutions, par des fonctions nouvelles. Alors aussi le nombre des révolutions pourra exercer une influence marquée sur la valeur de l'intégrale définie obtenue, et cette intégrale sera généralement elle-même une fonction de la variable x^ qui, variant avec x par degrés insensibles, pourra néanmoins, à diverses époques, acquérir diverses valeurs correspondantes à une seule et même valeur de x. Il y a plus, si la courbe que l'on considère est formée d'une infinité de branches qui viennent toutes se couper au même point, et si dans ses révolutions le point mobile parcourt successivement toutes ces branches, les diverses valeurs de l'intégrale correspondantes à une môme valeur de x pourront être en nombre infini, et, par suite, si le nombre des révolutions reste indéterminé, la valeur de l'intégrale sera, dans certains cas, complètement indéterminée.

C. R. : i8i6, 2* sem.y p. 702. — Sur la continuité des fonctions qui représentent les intégrales réelles ou imaginaires d'un système d'équations différentielles.

G. R. : i8i6, 2* sem., p. 729 et 779. — Sur les diverses espèces d'intégrales d'un système d'équations différentielles.

Intégrales limitées. — Intégrales rectilignes et curvilignes. — Intégrales complètes. — Sur les rapports et les différences qui existent entre les intégrales rectilignes d'un système d'équations différentielles et If^ intégrales complètes de ces mêmes équations.

G. R. : ^851, i*' sem.,^, 68, 126, 162. — Mémoire sur les fonciiohi irrationnelles et sur leurs intégrales définies,

G. R. : 1851, i" sem., p. 160. — Sur les fonctions des ifariables imaginaires,

G. R. : 1851, i**" sem., p. 276, 493. — Rapport sur divers Mémwm de M. Puiseux, relatifs à la théorie des fonctions algébriques.

G. R. : 1851, i**" sem.f p. 484. — Sur les fonctions monotypiques fi ■monogènes.

G.' R. : 1851. I*' sem, y p. 442* — Rapport sur un Mémoire de M. Hermite relatif aux fonctions à double période,

G. R. : 185i, i^sem., p. 821. — Rapport sur un Mémoire de 31. Marie relatif aux périodes des intégrales.

G. R. : 1854, i*' sem., p. 910. — Sur la transformation des fonctiom implicites en moyennes isotropiques, et sur les développements en série > trigonométriqiœs .

G. R. : 1854, i*"* sem., p. 945. — Formules générales pour la transformation des fonctions implicites en fonctions explicites. Application à l'Astronomie.

G. R. : 1855, i*"* sem., p. 382. — Sur la distinction et In représentation des fonctions conlinues ou discontinues.

G. R. : 1855, i*"" sem,, p. 445. — Sur les rapports différentiels dn quantités géométriques, et sur les intégrales syncctiqucs des équations différentielles.

G. R. : 18r>5, 1" sem., p. 05 1, 718, 804. — Sur les va nations inugrales des fonctions .

G. R. : 1855, i*"" sem., p. 5ii. — Sur la recherche des intégrales //;*nodromes et nionogènes d^un système d^ équations différentielles.

G. R. : 1855, i^.vr///., p. 376. — Sur la nature des intégrales d'un système d'équations différentielles du premier ordre.

G. R : 1855, i*"' sem , p. 878. — Sur la transformation des fonctiofn

FONCTIONS INVERSES ET PÉRIODIQUES. lo3

* implicites en fonctions monodromes et monogènes y et sur les développe"

^- ments de ces fonctions en séries convergentes .

G. R. : 1853, \" sein. y p. 1009. — Sur les compteurs logarithmiques , Application aux fonctions doublement périodiques.

C. R. : 1855, i®*" sem.y p. 667; 1856, 2" sem., p. 26. — Rapport sur un Mémoire présenté à l'Académie par MM, Briot et Bouquet et intitulé : « Recherches sur les fonctions définies par des équations différentielles ».

C. R. : 1855, i*"" se m., p. 787. — Note relative à un Mémoire de M, Méray sur les fonctions doublement périodiques,

G. R. : 1856, i" sem.^ p. 663. — Note sur un théorème de M. Puiseux relatif à la théorie des fonctions algébriques.

C. R. : 1856, t^^ sem.^ p. i3. — Sur les fonctions monodromes et monogènes,

C. R. : 1856, 1^ sem,, p. 69. — Sur la théorie des fonctions. Sur les fonctions déterminées par des équations finies. — Sur les fonctions implicites déterminées par des systèmes d'équations différentielles.

C. R. : 1857, i®"" sem., p. 8/Î9. — Sur les avantages que présente remploi des régulateurs dans l'analyse mathématique.

Ouvrages à consulter.

Journal de M. Liouville^ t. XV et XVI. — Recherches de M. Puiseux sur les propriétés des fonctions algébriques.

Journal de P École Polytechnique, cah. XXXVI. — Recherches de MM. Briot et Bouquet sur les fonctions périodiques. — Le même travail a été reproduit dans un volume séparé, intitulé : Théorie des fonctions iloublement périodiques , et en particulier des fonctions elliptiques.

Thèse d'Analyse, par Ch. Méray, 1858. — Sur les propriétés générales des racines d'équations synectiques.

Thèse d'Analyse, par Camille Jordan, 1860. — Sur les périodes des fonctions inverses des intégrales des différentielles algébriques.

Thèse d'Analyse^ par H. Berger, 1863. — Étude sur les fonctions des variables imaginaires, d'après Cauchy.

Thèse d'Analyse, par H. Laurent, 1865. — Sur la continuité des fonctions imaginaires, et des séries en particulier.

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