CHAPITRE IX

SoMiiAiRE. — Usage des séries dans la théorie des équations difrérentielles. — Théorèmes fondamentaux sur l'existence des intégrales pour tout système d'équations différentielles. — Résumé des recherches de Cauchy sur cette théorie.

MÉMOIRES. — Théorie générale des équations dijférentielles , — Sur les diverses méthodes dont on peut faire usage pour l'intégration des équations différentielles. — Fonctions génératrices de La place. — Formules de Fourier. — Application du calcul des résidus à Fintégration des équations différentielles. — Convergence des séries qui représentent les intégrales. — Équations différentielles linéaires. — Équations linéaires à coefficients constants ou variables, avec ou sans second membre. — Équations aux dérivées partielles, — Équations différentielles simultanées. — Fonction principale. — Équation caractéristique. — Propriétés et transformations diverses de la fonction principale qui vérifie une équation caractéristique homogène.

SOMMAIRE

L*intégration des équations différentielles présente des difficultés analogues a celles que l'on rencontre dans la résolution des équations algébriques ou transcendantes. Le nombre des équations qu'on sait résoudre est y très-restreint, et, le plus souvent, on doit se borner à ^ exprimer les racines par des pâleurs approchéesjou par des développements4n séries); de même, il n'y a qu'un très-petit nombre d'équations différentielles qu'on sache intégrer, et, dans les autres cas, on est réduit à chercher quels sont les développements les plus convenables pour représenter approximativement les intégrales.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. Io5

Une première question à résoudre est celle-ci : à toute/ équation ou à tout système d'équations différentielles,! 7 :5orrespond-il nécessairement une intégrale ou un sys-j • tëme d'intégrales? Avant les recherches de Cauchy, cettel question étaitjLrès-obscure; on avait, il est vrai, appliqué la série de Maclaurin aux équations différentielles du premier ordre, renfermant une seule fonction d'une variable indépendante, et l'on en avait déduit l'existence de l'intégrale ainsi que? la forme de son développement en série; mais, dans ce cas même, la méthode était insuflîsantè et sujette a de graves objections. On ignorait sTlessenes employées étaient^onvergentes) et d'un autre v côté on sait qu'une série, même convergente, ne représente pas toujours la fonction qui lui a donné naissance. Dans ses leçons à l'École Polytechnique, Cauchy avait déjà donné une méthode rigoureuse pour les équations différentielles du premier ordre, ainsi que pour un système d'équations simultanées du même ordre, quel que fût le nombre des variables; plus tard il revint sur cette question et compléta ses premières recherches dans divers Mémoires, particulièrement dans un Mémoire lithographie à Prague en i835, et imprimé dans les Nouveaux Exercices pour l'année i84o.

Le point de départ de la nouvelle méthode consiste dans la /réduction de l'intégration d'un système d'équations différentielles à l'intégration d'une seule équation aux dérivées partielles du premier ordre\ L'idée de cette réduction fut suggérée à Cauchy par les recherches de M. Hamilton sur les éq^uations différentielles de la Mécanique, dont l'intégration se ramène, en dernier lieu, à la détermination d'une fonction représentée par une intégrale définie qui satisfait à deux équations du second ordre aux dérivées partielles.

Io6 TRAVAUX d' AUGUSTIN CAUCHY.

Cauchy oppelie équation caractéristique TéquatioD aui dérivées partielles qui peut ainsi remplacer un systëof d'équations différentielles, et il nomme intégrales pmcipales les intégrales générales de ce système représestéespardes intégrales particulières de l'équation can^ téristique. En faisant ensuite usage des règles relatiTfs au calcul des limites, il parvient, non-seulement à dé-

I montrer dani^tous les cas l'existence des intégrales, mai;

j encore à donner, sous une forme précise, leurs développements en séries, et à fixer les limites des erreurs coumises quand on s'arrête après un certain nombre de

! termes, t On peut voir, ajoute-t-il, dans le troisiènw Chapitre du second Livre de la Mécanique céleste^ avec quelle facilité l'intégration d'une seule équation aux dérivées partielles fournit cinq intégrales générales du mouvementelliptiqne. On a ainsi, dans l'Astronomie, an premier exemple des avantages que présente la considéralion de l'équation linéaire, que j'appelle caractéristique. La lecture de mon Mémoire suffira, je l'espère, pour montrer tout le fruit qu'on peut retirer de cette considération. Si, d'ailleurs, on songe à la rigueur et à la simplicité des méthodes ci-dessus appliquées à l'intégration par séries des équations linéaires, on se trouvera naturellement amené à cette conclusion, que, dans l'exposition des principes du calcul intégral, l'intégration d'une équation différentielle, ou d'une équation aux dérivées partielles, qui renferme une seule fonction inconnue d'une ou de plusieurs variables, doit précéder l'intégration des équations simultanées qui renferment plusieurs fonctions inconnues, même d'une seule vîiriable, et qu'en outre l'intégration des équations linéaires doit toujours précéder celle des équations non linéaires. »

^ ÉQUATIOIfS DIFFÉRENTIELLES. ÏO7

*i II n'est pas sans intérêt de faire ressortir la marche •' suivie par Cauchy pour Tintégration des équations diffé- ^ rentielîes. On avait coutume, mant lui, de ijcinder la ' question en deux problèmes distincts^ l'un, ayant pour but de déterminer d'abord le£(intégrales générales avpc un certain nombre de constantes ou de fonctions arbitraires^ l'autre, qe calculer les valeurs de ces constantes ou de ces fonctions d'après les valeurs initiales attribuées aux variables principales et à leurs dérivées^ L'ordre qu'il suit est inverse, et, en conséquence, il place en premier lieu la recherche^ \non pas des intégrales génépaïes, mais des intégrales parliculièresî^ de sorte que la ^ détermination des constantes ou des fonctions arbitraires ne soit^plus séparée de celle des intégrales elles-mêmes. Alors ^aque problème devient complètement déterminé,)^ et c'est surtout cette circonstance qui a permis à Cauchy de simplifier à la fois la solution des problèmes déjà traités, et de résoudre des questions qui avaient résisté, jusqu'alors, aux efforts des géomètres.

C'est encore par suite de considérations du même genre que, dans ses recherches sur les intégrales générales des fonctions différentielles qui dépendent d'une seule variable, Cauchy s'était d'abord occupé d'analyser Aa nature et les propriétés des iI^égrales déjk^^ v

entre des limites donnée^ Cette étude l'avait conduit à la théorie des intégrales définies singulières, simples ou doubles, et à celle des intégrales définies prises entre des limites imaginaires^ D'ailleurs l'existence et la na'^ ture des intégrales définies étant bien connues, il était^ facile de passer ensuite aux intégrales générales, c'est-à- ^ dire aux intégrales renfermant une constante arbitraire.

La méthode de Cauchy pour l'intégration des exprès- . sions différentielles qui dépendent de plusieurs variables

Io8 TRAVAUX d' AUGUSTIN CAUCHY.

indépendantes donne lieu à des remarques analogues.

/^La solution très-simple et élégante qu'il a trouvée de ce

) problème repose en efTet sur la substitution, aux intè-

) grales définies, d*intégrales définies prises à partir d*aoe

^origine fixe.

Équations linéaires. — La plupart des questions d^ Physique mathématique conduisent a des équations dit- /Tférentielles linéaires dont) le plus souvent, les coefficients sont constants, au moins si Ton se borne à une première approximation. Dans ces questions, on a ordinairemeDt à considérer quatre variables indépendantes : les trob coordonnées et le temps; mais le nombre des inconnues ou variables principales peut être quelconque, et il faut déterminer les valeurs générales des variables principales quand on connaît, à un certain moment pris pour origine, leurs valeurs initiales et celles de leurs dérivées. Lagrange a donné une méthode pour effectuer l'intégration dans le cas où il n'y a qu'une seule variable indépendante. Au moyen d'une élimination convenable, on commence par ramener le système à une équation différentielle unique qui n'a pas cessé d'être linéaire; puis on exprime la variable principale en fonction de la variable indépendante et d'un certain nombre de constantes arbitraires; enfin on détermine les constantes en fonction des valeurs initiales de la variable principale et de ses dérivées, au moyen d'un système d'équations algébriques du premier degré. Les calculs conduisent, comme on sait, à la résolution d'une certaine équation algébrique, dont le degré est précisément égal a l'ordre de l'équation différentielle proposée. Mais cette méthode, suivant la remarque deCauchy. présente plusieurs inconvénients sérieux : t i^Lagrange est forcé lui-même de modifier sa méthode dans le cas où

t ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. I OQ

js^réquation auxiliaire offre des racines égales; 2^ il est j^bien dur, pour un géomètre qui veut suivre cette méthode, • de se croire obligé à introduire dans le calcul des coni-stantes arbitraires qui doivent être éliminées plus tard et remplacées par les valeurs initiales de la variable principale et de ses dérivées; 3° il y a même quelque inconvénient, sous le rapport de la complication des calculs, à commencer par réduire un système d'équations différentielles données à une seule qui renferme une seule variable principale, sauf à revenir, par un calcul inverse, de la valeur générale de cette variable principale aux valeurs de toutes les autres. » La méthode de Cauchy donne, au contraire, le moyen d'exprimer immédiatement les valeurs générales des variables principales qui doivent vérifier un système d'équations différentielles linéaires, à coefficients constants, en fonction de la variable indépendante et des valeurs initiales des variables principales et de leurs dérivées, sans avoir à établir aucune distinction et à s'occuper séparément du cas où l'équation auxiliaire offre des racines égales.

Dans les Anciens Exercices, Cauchy avait déjà montré comment les formules du calcul des résidus conduisent facilement à l'intégration des équations linéaires renfermant une seule variable indépendante et une seule variable principale; par la suite il étendit sa méthode à un système quelconque d'équations différentielles simultanées, linéaires et à coefficients constants; enfin il fit voir que la même méthode s'applique également à un système d'équations aux dérivées partielles, linéaires et à coefficients constants. Ses formules permettent d'exprimer immédiatement, au bout d'un temps quelconque, les variables principales en fonction des variables indépendantes et des racines d'une certaine équation auxiliaire.

I I O TRA.VAUX D AUGUSTIlf CAUCHT.

Dès lors, dans les problèmes de Physique mathématique, on n'a plus à rechercher séparément les intégrales qn représentent les mouvements du son, de la chaleur etde la lumière, les vibrations des corps élastiques, etc; h question devra être censée résolue dans tous les cas, dèi qu'on sera parvenu aux équations différentielles. Dm le cas le plus général, la valeur complète d'une yariabk principale est représentée par une intégrale seitapk, mais elle se réduira à une intégrale quadruple si Féqiation devient homogène, et même à une intégrale doaUe si le premier membre de l'équation caractéristique est décomposable en deux facteurs du second degré. L'on des principaux résultats auxquels on arrive peut s'énoncer ainsi : c Étant donné un système d'équations linéaires aux dérivées partielles et à coefficients constants, entre les coordonnées, le temps et plusieurs variables principales, avec les valeurs initiales de ces variables et de leurs dérivées; on réduit la recherche des valeurs générales des variables principales à l'évaluation d'une intégrale définie sextuple relative à six variables auxiliaires:

la fonction sous le signe / étant proportionnelle à une

exponentielle dont l'exposant est une tonetion linéaire des variables indépendantes et réciproquement proportionnelle au premier membre de l'équation caractéristique. »

On remarquera encore, avec Cauchy, que la recherche des intégrales générales d'un système d'équations linéaires aux dérivées partielles peut se réduire a l'évaluation d'une seule fonction des variables indépendantes, qu'il dippeWe fonction principale. Cette fonction n'est autre chose qu'une intégrale particulière de l'équation unique aux dérivées partielles, à laquelle doit satisfaire

i^MCune (les variables principales, ou même une fonction •• ^éaire quelconque de ces variables. L'équation carac- 'i^ristique est alors celle qu'on obtient lorsque dans tous ^iles termes de cette équation aux dérivées partielles on ^«efface la lettre employée pour représenter la fonction liprineipale ; il en résulte entre les puissances des signes ^■fde différentiation une équation dont l'ordre est généralii lement la somme des nombres qui, dans les équations V données, représentent les ordres des dérivées les plus i" élevées des variables principales, différentiées par rapport au temps. L'ordre de l'équation caractéristique peut, du reste, s'abaisser dans un grand nombre de cas; plusieurs Mémoires de Cauchy sont employés à rechercher les diverses réductions dont elle est susceptible.

MÉMOIRES