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Les calculs astronomiques exigeaient remploi de certains développements en séries qui, le plus souvent, étaient simplement déduits de la méthode des coef&cieDt<; indéterminés, c Mais les démonstrations qu'on a prétendu donner de ces formules sont généralement insuffisantes : i^ parce qu'on n'a point examiné si les séries sont convergentes ou divergentes, et qu'en conséqueoce on ne peut dire le plus souvent, dans quels cas ces formules doivent être admises ou rejetées; 2^ parce qu'on ne s'est point attaché à démontrer que les développements ainsi obtenus avaient pour sommes les fonctions développées, et qu'il peut arriver qu'une série convergente provienne du développement d'une fonction, sans que la somme de la série soit équivalente à la fonction elle-même. Il est vrai que l'établissement des règles générales propres à déterminer dans quels cas les développements des fonctions implicites sont convergents et représentent ces mêmes fonctions, paraissait offrir de grandes difficultés. On peut en juger en lisant attentivement le Mémoire de M. Laplace sur la convergence et la divergence de la série que fournit, dans le mouvement elliptique d'une planète, le développement du rayon vecteur suivant les puissances ascendantes de l'excentricité. Je pense donc que les.géomètres et les astronomes attacheront quelque prix à mon travail, quand ils apprendront que je suis parvenu à établir, sur le développement des fonctions, soit explicites, soit implicites, des principes généraux et d'une application facile, à l'aide desquels on peut, non-seulement démontrer avec rigueur les formules et indiquer les conditions de leur existence, mais encore fixer les limites des erreurs que l'on commet en négligeant les restes qui doivent compléter les séries. Parmi ces règles, celles qui se rapportent à la fixation des limites des

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erreurs commises, présentent dans leur ensemble un nouveau calcul que je désignerai sous le nom de Calcul des limites. »

c Ce Mémoire, ajoute encore Cauchy, renferme, en outre : i°une théorie de la variation des constantes arbitraires plus générale, et à quelques égards plus simple que celles qui se trouvent exposées dans les Mémoires de MM. Lagrange, Laplace et Poisson ; 2^ des intégrales définies propres à représenter, dans le développement de la fonction perturbatrice, le coefficient du sinus ou du cosinus d'un angle donné ; 3*^ des formules d'interpolation qui servent à déterminer une fonction entière de sino? et de coso:, quand on connaît un nombre suffisant de valeurs particulières de cette même fonction ; l\^ plusieurs développements nouveaux de la fonction perturbatrice, avec des formules propres, non-seulement à fournir les termes généraux de ces développements, mais encore à déterminer les limites des erreurs commises quand on conserve seulement certains termes, en négligeant ceux qui les suivent. Je montre aussi dans quels cas l'un de ces développements doit être employé de préférence à l'autre. Ainsi, en particulier, si l'on demande les perturbations produites dans le mouvement d'une planète par une autre planète, située à très-peu près a la même distance du soleil que la première, le développement employé jusqu'ici par les astronomes devra être rejeté, et il faudra lui substituer un des autres développements ci-dessus mentionnés. On devra donc recourir à ces nouveaux développements dans la théorie des petites planètes, quand on rechefchera les inégalités qui dépendent de leurs attractions mutuelles. >

Lorsque Cauchy eut été élu, en novembre iSSg, Membre du Bureau des Longitudes, son attention se reporta

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de nouveau sur les perfectiomieinents dont les méthodes astronomiques étaient susceptibles. Ses travaux sont exposés dans le Recueil des nouveaux exercices et dans les Comptes rendus pour Tannée 1840. Ils avaient surtout pour objet de trouver des formules propres à faciliter et à réduire les calculs si longs et si pénibles auxquels les astronomes étaient assujettis. Outre les inconvénients déjà signalés, les anciens développements en séries en offraient d'autres qui n'étaient pas moins graves. D'abord on avait coutume de déduire les coefficients des divers termes des séries les uns des autres, ce qui entraînait des calculs prolixes et ne permettait pas de reconnaître facilement les erreurs qui avaient pu être commises. De plus, dans un grand nombre de cas, les formules employées n'étaient plus suffisamment convergentes, ou même cessaient de l'être tout à fait. Il était donc indispensable de remédier à ces divers inconvénients par une méthode complètement nouvelle. « Le besoin urgent, dit Cauchy, que l'on avait d'une semblable méthode en astronomie, m'était encore représenté dernièrement par M. Le Verrier, qui vient de terminer, à l'aide de ses formules d'interpolation, un grand et diflicile travail sur la planète Pallas. Cédant aux instances de ce jeune savant, j'ai dirigé mes recherches vers un problème dont la solution peut épargner aux astronomes tant de fatigues et tant de veilles. J'ai été assez heureux pour atteindre le but de mes efforts. »

Cette nouvelle étude repose sur certaines propriétés des fonctions entières et réelles des sinus et cosinus d*un même angle, qui peuvent toujours se transformer en des fonctions rationnelles dépendant simplement de la tangente trigonométrique de la moitié de cet angle. Si l'on égale ensuite la fonction à zéro, on a une équation auxi-

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liaîre dont les racines servent à calculer avec une grande approximation les diverses intégrales définies qui entrent dans le calcul des mouvements planétaires, notamment les intégrales relatives à diverses inégalités périodiques dont la détermination offrait de nombreuses difficultés. La méthode employée avait déplus l'avantage de s'appliquer à une foule d'autres problèmes du même genre qu'on rencontre, soit dans la théorie des transcendantes elliptiques, soit dans les questions de physique mathématique.

Les recherches dont il vient d'être parlé conduisirent Cauchy a une théorie toute nouvelle des mouvements planétaires, exposée dans les Comptes rendus pour l'année 1842. Lagrange, Laplace et Poisson, dans leurs Mémoires sur la variation des constantes arbitraires, avaient déjà réduit la détermination de ces mouvements à l'intégration d'équations différentielles renfermant, avec le temps et les éléments de chaque orbite, les dérivées partielles de la fonction perturbatrice prises par rapport à ces mêmes éléments. Il s'agit alors de trouver, pour le développement de la fonction perturbatrice, la forme la plus convenable. Pour y parvenir, Cauchy recourt à sa théorie des résidus et lui emprunte deux théorèmes fondamentaux. Le premier sert à exprimer en termes finis une intégrale dans laquelle la fonction sous le signe d'intégration est une fonction rationnelle, souvent même transcendante, d'une exponentielle trigonométrique, lorsque l'intégrale est prise entre les limites o et 27r de l'argument. Suivant un second théorème, si, après avoir multiplié, dans une semblable intégrale, l'exponentielle trigonométrique par un module quelconque, on fait varier ce module, la valeur de l'intégrale restera invariable lant que la fonction soumise au

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signe (l'intégration ne cessera pas d'être une fonclion continue de Targument.

Parmi les avantages considérables de la nouvelle méthode, on doit remarquer surtout les réductions relatives aux intégrales et aux transcendantes qui étaient nécessitées auparavant pour le calcul de la fonction perturbatrice. Ainsi, par e^iemple, au lieu de la triple série des transcendantes comprises dans l'ancien développement, il suffira de considérer une série double de transcendantes beaucoup plus faciles à calculer, c Pour donner, disait Cauchy, une idée de la réduction ainsi opérée dans les calculs, considérons en particulier le cas où les deux planètes sont Jupiter et Saturne. Alors, en suivant l'ancienne méthode, on devra former le tableau qui se trouve inséré dans le troisième volume de la Mécanique céleste, pages 8i et suivantes, et calculer en conséquence plus de quatre-vingt-dix transcendantes, dont plusieurs offriront des valeurs considérables, qui pourront s'élever au nombre 800 et au delà. Au contraire, suivant la nouvelle méthode, pour arriver au même degré d'approximation, on aura seulement à calculer une vingtaine de transcendantes, dont les douze premières sont déjà connues, et dont la plus grande surpasse à peine le nombre 2. >

Enonçons encore, avecCauchy, les propriétés les plus extraordinaires des nouveaux développements: t i*^ Chacun des termes séculaires, c'est-à-dire des termes qui sont indépendants des anomalies, peut s'exprimer sous forme finie par une certaine fonction des éléments des orbites, qui demeure algébrique par rapport aux grands axes et aux excentricités; 2** dans chaque terme périodique, les coefficients des sinus et cosinus des multiples des anomalies moyennes sont la somme d'une série simple de quantités dont chacune peut encore être exprimée

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SOUS forme finie, par une certaine fonction des éléments, qui demeure algébrique par rapport aux grands axes, mais qui devient transcendante par rapport aux excentricités. »

En 1845, une circonstance particulière mit en évidence toute la portée des méthodes astronomiques de Cauchy. M. Le Verrier avait soumis au jugement de l'Académie un Mémoire considérable sur le mouvement de la planète Pallas, et spécialement sur la grande inégalité due à Tinfluence de Jupiter. La longueur et la complication des calculs se prêtaient difficilement à un contrôle direct qui aurait consisté à reprendre la marche même de l'auteur; mais les méthodes nouvelles dont Cauchy était possesseur lui permirent de simplifier la question d'une façon inespérée, et le mirent en mesure de vérifier, en quelques heures, un travail qui, dans son ensemble, avait exigé plusieurs années de recherches. Voici en quels termes il indique la nature du problème : c On sait que la théorie des petites planètes, découvertes au commencement de ce siècle, s'est refusée jusqu'ici à tout calcul précis, en déconcertant les efforts des astronomes et des géomètres. Les positions de ces astres, données d'avance dans les éphémérides, diffèrent toujours assez notablement de celles qu'indiquent plus tard les observations. En vain l'Académie a-t-elle proposé cette théorie comme sujet de prix. Le concours n'a produit aucun Mémoire digne de l'importance du sujet. Les excentricités et les inclinaisons des orbites de Cérès, de Pallas, de Junon et de Vesta n'étant plus renfermées dans les limites compatibles'avec l'usage des méthodes de calcul jusqu'à présent appliquées aux planètes anciennes, on ne voyait plus comment il serait possible de fixer les inégalités périodiques des nouveaux astres, surtout lorsqu'il

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s^agissait d'inégalités dont l'ordre était fort élevé. On doit savoir gré a M. Le Verrier de n'avoir point recalé devant la pensée d'attaquer un problème si difficile; on doit lui savoir plus de gré encore d'avoir atteint le bal qu'il s'était proposé et d'avoir prouvé, par un exemple très- remarquable, que le problème pouvait être résolu. >

La méthode de Cauchy consiste surtout dans le choix des séries qui doivent être adaptées au calcul. Les séries dont on faisait usage autrefois étaient ordonnées suivant les puissances entières des excentricités ou des inclinaisons des orbites; mais lorsque ces éléments cessent d'être très-petits, les séries ne sont plus convergentes, et il faut leur substituer des développements ordonnés suivant les sinus et cosinus des multiples des longitudes ou des anomalies, et, dans ce cas, la grandeur de l'incliDai-* son peut même devenir favorable à la convergence des suites. En raison de l'insuffisance des développements connus, M. Le Verrier entreprit de calculer l'inégalité cherchée en se servant des formules d'interpolation adaptées à un système de deux variables. Les résultats de son Mémoire furent d'ailleurs reconnus exacts par Cauchy, qui, en appliquant ses méthodes propres, les vérifia de deux manières différentes. Dans un premier calcul, l'inégalité s'élevait, au maximum, à 906", 6, et l'angle qui doit être retranché des multiples des anomalies moyennes, était de ^g^'S'SS"; un second calcul conduisait aux nombres 906", 3 et lof'y 1^" . M. Le Verrier avait trouvé de son côlé les nombres SgS secondes et 29°'7'. On voit donc que les résultats de Cauchy s'accordaient entre eux à 3 dixièmes de seconde près, et avec ceux de M. Le Verrier dans des limites d'erreur très-restreintes qui pouvaient, du reste, s'expliquer par l'usage

des Tables de logarithmes à sept décimales, dont M. Le : Verrier s'était servi.

L'un des problèmes les plus épineux qui se présentent dans l'étude des mouvements planétaires a pour objet l'évaluation en séries de certaines intégrales qu'on ne sait pas obtenir sous forme finie. Ces développements peuvent être effectués d'une infinité de manières, même dans le cas où la fonction soumise au signe d'intégration ne dépend que d'une seule variable. On peut, en effet, développer la fonction, soit suivant les puissances de la variable elle-même, soit suivant les puissances d'une fonction continue quelconque de cette variable. On conçoit alors qu'on puisse choisir la fonction auxiliaire, de façon à réaliser une convergence plus ou moins rapide. Pour que la série soit convergente entre des limites données, il suffit que les deux modules extrêmes de la quantité prise pour variable soient inférieurs à l'unité; mais comme la série est d'autant plus convergente, que l'on est plus éloigné des limites extrêmes, il y aura avantagea prendre la variable auxiliaire de sorte que ces deux limites soient aussi distantes que possible. Pour réaliser ces diverses conditions, Cauchy décompose la fonction qu'il s'agit de développer, en deux facteurs, dont l'un reste fixe et l'autre se développe de plusieurs manières en séries rapidement convergentes. Si l'on suppose que, par suite du choix du premier facteur, chaque terme de la série puisse être facilement intégré, on aura alors des formules d'une application commode, qui permettront d'effectuer les calculs avec une grande approximation, tout en conservant un petit nombre de termes.

En ce qui concerne particulièrement le développement de la fonction perturbatrice, Cauchy décompose la partie de cette fonction, qui est réciproquement proportionnelle