CHAPITRE IV

Ce Jeane homme est destiaé à nous remplacer tous tant qae nous sommes (le géomètres.

Paroli'S de Lagra.'vge.

Cauchy compose divers Mémoires. — Sur la théorie des polyèdres. — Sur les fonctions symétriques. — Sur les intégrales définies. — Sur les théorèmes de Fermât. — Il remporte en 1816 le grand prix de Mathématiques. — Il entre à l'Académie des Sciences. — Circonstances dans lesquelles eut lieu sa nomination.

Le premier travail dont Cauchy parait s'être occupé , concernait la théorie des ponts en pierre et celle des coûtes en général. Apres avoir traité avec détail de la construction des voûtes, il posait les principes d'une théorie nouvelle, puis confirmait par l'expérience les résultats de l'analyse. Ce travail fut composé pendant les premiers mois de son séjour à Cherbourg et adressé à VI. de Prony pour être soumis au jugement de l'Institut, mais il s'égara dans les papiers de cet académicien. Dans une de ses lettres^ Cauchy le réclame avec instance et prie son père de faire des démarches pour le retrouver et le lui renvoyer, ou tout au moins pour lui faire parvenir les principales formules dont il a besoin, afin de continuer la suite de ses recherches, mais ce fut en vain. L'intérêt que Cauchy attachait à ce Mémoire en fera regretter la perte; cependant ce n'était point par des essais de ce genre qu'il devait conquérir sa réputation de savant. Des

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travaux relatifs à ses fonctions d'ingénieur pouvaient intéresser les hommes spéciaux et lui assurer un rang distingué dans le corps des Ponts et Chaussées; mais pour fixer l'attention des géomètres et prendre rang parmi les maîtres, il lui fallait traiter des questions d'un ordre plus élevé, et réaliser dans la science pure quelques progrès essentiels et vraiment nouveaux. C'est ce qu'il fit bientôt en abordant plusieurs problèmes qui avaient exercé sans succès la sagacité des géomètres les plus illustres et qui attendaient depuis longtemps une solution.

Il y a toujours eu, aux diverses époques de l'histoire de la science, des questions épineuses, des espèces de desiderata qui résistent à tous les efforts et sont là comme une sorte d'énigme ou de défi jeté aux esprits inventifs. Par l'insuccès même des tentatives, elles signalent le point extrême où la science est parvenue et le pas difficile qu'il faut franchir pour en reculer les limites. Parmi les questions qui attiraient alors plus particulièrenMDt l'attention des savants, se trouvait la théorie des polyèdres, c'est-a-dire des solides terminés par des face» planes, assemblées d'une manière quelconque. De nos jours encore, malgré les efforts d'une foule de géomètres» la question est loin d'être épuisée et, tout récemment» l'Académie proposait comme sujet de prix digne de tenter les plus habiles : c de perfectionner en quelque pointes* sentiel la théorie des polyèdres. » L'objet particulier que s'était proposé Cauchy consistait à déterminer les coo- \ ditions d'égalité et de similitude de ces figures.

Avec trois lignes données, il est facile de voir qu'on ne peut construire qu'un seul triangle dont les angltf sont en même temps déterminés; mais il n'en est plus de même pour un polygone dont le nombre des côtés so^ passe trois; on peut alors, en changeant les angles, san^

faire varier les côtés, obtenir une infinité de figures différentes. Il ne suffit donc pas de donner les côtés d'un contour polygonal pour que celui-ci soit complètement défini. En passant ensuite aux polyèdres» on peut se demander par analogie si, pour déterminer la figure il suffit de donner toutes les faces sans assigner aucune condition relative aux angles, ou bien, en d'autres termes, si la détermination des faces entraine celle des angles. Telle est l'opinion d'Ëuclide dans ses Éléments de Géométrie^ et tous les géomètres l'avaient admise après lui, mais sans preuves, ce qui constituait une lacune grave. Il est vrai que, dans \es Éléments, l'absence d'une démonstration générale offrait peu d'inconvénients, car, pour les figures simples qu'on y considère, la proposition pouvait être établie directement dans cbaque cas particulier. C'est ce qui arrive, par exemple, pour les solides qui n'admettent pas plus de trois faces à cbaque sommet; mais si le nombre des faces assemblées est supérieur, la démonstration présente des difficultés d'un ordre très-élevé et, à la fin du siècle dernier, la question était encore indécise, malgré les efforts réunis des Euler, des Simpson et des Legeodre.

Lagrange avait indiqué cette question à Caucby comme sujet de recbercbes, et comme une de celles dont la solution lui ferait le plus d'bonneur. Caucby se mit en effet à l'œuvre sans se laisser décourager par l'insuccès de ses prédécesseurs, et, dès le mois de février iSi i, il présenta à TAcadémie un premier Mémoire qui fut très-remarque. La Commission cbargée d'examiner le travail, composée de MM. Legendre et Malus, fit un Rapport extrêmement favorable qui concluait ainsi : c Les démonstrations sur lesquelles l'auteur appuie ses tbéorèmes sont rigoureuses et exposées d'une manière élégante. Vos commissaires

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pensent que ces considérations sur les polygones et les polyèdres sont assez curieuses et assez neuves poor intéresser les géomètres, et que le Mémoire de M. Ouchy mérite d'être approuvé par la Classe et imprimé dans le Recueil des Savants étrangers. » Legendre, qui s'était spécialement occupé de ces questions et qui du reste ne se laissait pas facilement aller à l'enthousiasme, fut frappé de l'importance de ce premier essai, le regardant c comme le fruit d'un talent eiiercé et qui devait par la suite ob^ tenir de plus grands succès. > Il engagea donc vivement le jeune savant à continuer ses recherches et à tâcher d'épuiser la question.

C'est ce que fit Cauchy dans un second Mémoire présenté à l'Académie en janvier f 8i 2. Une première partie renfermait huit théorèmes sur les polygones convexes, rectilignes ou sphériques, et servait de préliminaire à h seconde, qui contenait cinq nouvelles propositions rela^ tives aux angles solides et aux polyèdres convexes et qui donnait enfin la solution si vivement désirée des géomètres. La Commission, composée deMM.Biot, Carnotet Legendre, en constatant la découverte, rendit l'hommage le plus complet au mérite de l'auteur; voici les conciii'sions du Rapport fait par Legendre : c Nous voulions ne donner qu'une idée de la démonstration de M. Cauchy, et nous avons rapporté cette démonstration presque toifi entière. Nous avons ainsi fourni une preaveplus évident! de la sagacité avec laquelle ce jeune géomètre est pa^ venu à vaincre une difficulté qui avait arrêté des mahres de Tart, et qu'il était important de résoudre pour le pa^ feetionnement de la théorie des solides. > En méine temps la découverte de Cauchy prenait rang parmi foi ouvrages classiques, et Legendre en faisait passer Ie9 principaux résultats dans son Traité de Géométrie.

Cet important succès ne fut cependant pas obtenu sans peine. M. Malus, premier juge du travail, crut d'abord la démonstration incomplète et vicieuse. Cauchy lui avait communiqué ses résultats par lettres, et, obligé ainsi de se restreindre à une rédaction abrégée, il s'était borné à mettre en relief les points essentiels de sa découverte. Il s'ensuivit une assez longue discussion dans laquelle Cauchy finit par triompher, c Si M. Malus, écrit-il à son père, n'a point paru satisfait de la démonstration que je vous ai envoyée, cela tient sans doute à ce que vous ne l'avez point averti de ce que j'avais eu pourtant soin de vous dire, que ma démonstration repose sur plusieurs lemmes qu'il est facile de démontrer. Je ne suis pas étonné d'après cela que M. Malus trouve que je suppose des choses qu'on pourrait me nier. Ce n'est pas là la question. Si j'avais eu plus de temps l'autre fois, je vous aurais transmis la démonstration des lemmes que je suppose. Je réduirai aujourd'hui la question à savoir si l'on peut admettre ma démonstration en supposant ces lemmes prouvés. »

Un autre reproche de M. Malus portait sur le mode même de la démonstration, qui est du genre de celles qu'on appelle en géométrie ab absurdo, et qui consiste k établir un« proposition en faisant voir que les suppositions contraires conduisent à des conséquences absurdes. Cauchy répond encore à ce reproche : c Quant à la forme de dénu>nstration que j'ai employée, je crois qu'il serait non-seulement difficile, mais même impossible de la changer. La raison en est que l'on n'a pas pu jusqu'ici démontrer géométriquement, sans réduction à l'absurde, le théorème qui, dans la Géométrie à deux dimensions, est analogue à celui que je démontre dans la Géométrie à trois dimensions; je veux dire celui par lequel on prouve que deux triangles sont égaux quand ils ont les trois côtés

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égaux. Si Ton parvient à démontrer ce dernier théorème sans Trigonométrie et sans réduction à l'absurde, je consens à ce que ma démonstration ne soit point admise. Il parait donc impossible de bannir de la Géométrie la démonstration ababsurdOf qui convient particulièrement au cas dont il s'agit. En effet, pour prouver qu'avec certaines conditions on ne peut construire qu'un seul polyèdre, il faut bien faire voir qu'après en avoir construit un premier avec les conditions données» on ne peut en construire un second sans tomber dans des absurdités. J'insiste sur cette réflexion, parce que l'espèce de démonstration que j'ai employée me parait inhérente à la nature du théorème en question. Aussi est-ce la seule que M. Legendre ait employée pour la démonstration de quelques cas particuliers du même théorème. >

Vers la même époque, Cauchy s'occupa de la théorie des directrices dans les sections coniques. Ses recherches sur ce sujet, quoique d'un ordre moins élevé, ont cependant une valeur réelle, parce qu'elles ont perfectionné un point important de la Géométrie analytique. Dans cette circonstance encore, il eut assez de peine à se faire rendre justice; on lui contestait le mérite de la priorité, mais sans apporter de preuves, c II parait, dit-il dans unede ses lettres, que le sort de mes théorèmes est d'être trouvés, à la première lecture, ou faux ou déjà connus. Mais n'en serait-il pas de la directrice de l'ellipse comme du théorème sur les polyèdres, et, quoique j'aie perdu ma cause en première instance, ne serait-il pas possible, en révisant l'affaire, de trouver que le théorème est nouveauf Toutefois ne croyez pas que j'attache à ce théorème une haute importance, mais comme j'ai feuilleté tous les livres où il est question des courbes du second degré et que je n'y ai rien trouvé, je désirerais au moins que vous

puissiez savoir de M. Poisson dans quel ouvrage on pourrait trouver le théorème dont je parle. Au surplus, j'ai d'autres théorèmes plus intéressants à produire, et j'ai déjà la matière d'un ou de plusieurs Mémoires que je composerai quand je serai à Paris. »

Au mois de novembre de la même année ( 1812), Cauchy publiait en effet un nouveau Mémoir;e , de la plus haute portée, sur le calcul à^s fonctions symétriques et sur le nombre des valeurs dont les fonctions sont susceptibles. Il convient de le mentionner d'une manière toute particulière, parce qu'il a donné à Abel la base même de sa démonstration sur l'impossibilité de la résolution algébrique de l'équation du cinquième degré, et qu'il a provoqué les belles recherches de MM. Bertrand et Serret sur la théorie si délicate des valeurs des fonctions.

L'année siiivante, paraissaient trois Mémoires ayant pour objet de développer une méthode propre à la détermination des racines réelles des équations. Cette question difficile était depuis longtemps le but des efforts des plus habiles géomètres, et Lagrange avait récemment publié son célèbre Traité de la Résolution des équations numériques. Les nouveaux Mémoires reçurent également l'approbation unanime des savants.

Dans le cours de l'année i8i4> Cauchy remportait un nouveau et éclatant succès; il publiait, à la date du mois d'août 9 son beau travail sur les intégrales définies qui éclaircissait un sujet obscur et délicat et constituait une véritable découverte en analyse. Voici les conclusions du Rapport académique qui donnent une idée sommaire de la question, de son importance et de sa difficulté.

c Nous n'examinerons pas, dit le rapporteur, M. Legendre, si les nouvelles méthodes de M. Cauchy sont plus simples que celles qui étaient déjà connues, si leur ap- L 4

5o LA. VIE d' AUGUSTIN CAUCHY.

piication est plus facile, et si on peut trouver par leur moyen quelque résultat que ne pouvaient donner les méthodes connues; car, quand même on répondrait négativement à ces questions, il n*en resterait pas moins à Tauteur le mérite:

> i*^ D'avoir construit, par une marche uniforme, une suite de formules propres à traiisformer les intégrales définies et à en faciliter la détermination;

» a** D'avoir remarqué le premier qu'une intégrale double, prise entre des limites données pour chaque variable, n'offre pas toujours le même résultat dans les deux manières d'effectuer les intégrations;

» 3** D'avoir déterminé la cause de cette diiTéreneeet d'en avoir donné la mesure exacte au moyen des intégrales singulières dont l'idée appartient à l'auteur, et qui peuvent être regardées comme une découverte en analyse;

» 4*^ Enfin d'avoir donné par ses méthodes de nouvelles formules intégrales fort remarquables, qui peuvent bien se déduire des formules connues, mais auxquelles personne n'était encore parvenu.

» Il nous parait, par tous ces motifs, que M. Gauefaya donné, dans ses recherches sur les intégrales définies, une nouvelle preuve de la sagacité qu'il a montrée dans plusieurs de ses autres productions. »

En i8i5, un travail de premier ordre vint achever lî^réputation du jeune savant, et montrer combien son génie scientifique était fécond et en même temps varié. Ses premiers essais avaient eu pour objet la Géométrie, et d'après le succès qu'il obtint, on pouvait penser que c'était lapartie spéciale de la science vers laquelle le portait la tournure propre de son esprit. Les Mémoires suivants signalèrent une aptitude au moins égale pour les recherches ardues et abstraites de l'analyse, et les travaux

SES PREMIERS TRA^VAUX. 5l

dont nous allons parler montrèrent même que là était sa véritable vocation.

Parmi les questions qui exerçaient alors la sagacité et la patience des savants, wse trouvaient diverses propositions relatives a la théorie des nombres et connues sous le nom de théorèmes de Fermât. La théorie des nombres a toujours été l'un des sujets favoris d'étude des géomètres. Les premières découvertes sur cettç matière nous viennent des Indiens, qui passent pour avoir été, dans Tantiquité, les inventeurs de l'Algèbre. Les Grecs s'en sont ensuite occupés avec succès; les philosophes de recelé de Pythagore excellaient dans ce genre de recherches, et le fameux théorème du carré de V hypoténuse n'est en définitive qu'un cas particulier de c^^ formes quadratiques dont Tétude exerce encore de nos jours les analystes les plus habiles. On cite surtout, parmi les anciens, Diophante d'Alexandrie, qui vivait du temps de la domination romaine en Egypte. Ce dernier a laissé sur la théorie des nombres et sur Y analyse indéterminée un ouvrage composé de treize livres, dont six seulement nous sont parvenus; ce qui reste suffit d'ailleurs à la gloire du savant, et c'est là que les modernes sont allés chercher le point de départ de leurs travaux. L'ouvrage de Diophante a été étudié par une foule de commentateurs, au premier rang desquels on distingue le géomètre Fermât.

Pierre de Fermât était originaire de Toulouse et membre du parlement de cette ville. C'était l'un des esprits les plus éminents du xvii® siècle, si fertile cependant en grands hommes. Jurisconsulte distingué, helléniste érudit, littérateur estimé, géomètre profond, il paraissait réunir tous les genres de mérite. Il a brillé surtout dans la carrière des sciences dont l'étude faisait l'objet de ses

5^ Lk VIE d' AUGUSTIN CAUCHY.

délassements et de ses loisirs. Il partage avec Descartes rhonneur d'avoir appliqué l'Analyse à la Géométrie» et avec Pascal celui d'avoir posé les bases du Calcul des probabilités; il fut aussi, avec Descartes» l'un des précurseurs de Leibnitz et de Newton dans la découverte du Calcul infinitésimal. Conduit» par ses études sur Diophante» à s'occuper de la théorie des nombres» il avait réalisé» à ce sujet» plusieurs découvertes importantes. On lui reproche seulement de faire trop volontiers un secret de ses démonstrations. C'était alors une coutume assez répandue parmi les savants de publier leurs découvertes sans démonstration ou sous la forme synthétique d'an simple énoncé» afin de rehausser ainsi par le mystère l'intérêt qui s'attachait naturellement à leurs travaux. Telle était en effet la forme sous laquelle Fermât livra au public les résultats de ses recherches. Possédait-il toujours» en réalité» les démonstrations de ses propositions» ou bien étaient-elles uniquement» de sa part» des aperçus de génie» des conséquences obtenues par une certaine intuition et par une généralisation hardie de propriétés plus élémentaires? Il serait difficile de le décider; cependant la dernière supposition parait la plus vraisemblable» car» si» par la suite» plusieurs des énoncés de Fermât ont été définitivement établis» il est juste d'ajouter que d'autres ont été trouvés en défaut et ont montré que l'auteur s'était trop hasardé.

Quoi qu'il en soit» ces problèmes attiraient vivement l'attention des savants à la fin du siècle dernier. Euler» Gauss» Legendre les avaient sondés avec toute l'activité et la puissance de leur génie mathématique» mais en vain : la solution avait résisté à tous leurs efforts et l'on avait presque renoncé à l'espoir de l'obtenir jamais. Cauchy vint à son tour» et» malgré sa jeunesse» ne craignit pas

de se mesurer avec les maîtres de la science; il devait du premier coup les surpasser.

La proposition qu'il s'agissait surtout d'établir concernait les nombres dits polygones ; elle avait pour objet de démontrer que tout nombre entier peut être formé par l'addition de trois triangulaires, de quatre carrés, de cinq pentagones, de six hexagones et ainsi de suite. Les recherches de Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticœ et celles de Legendre dans sa Théorie des nombres avaient seulement démontré les deux premières parties du théorème, c'est-à-dire que tout nombre entier est la somme de trois triangulaires et de quatre carrés. Cauchy fit voir que la proposition est générale et demeure vraie dans tous les cas; il donna en même temps une foule de résultats intéressants et nouveaux qui découlaient incidemment de ses recherches.

Ce travail produisit une vive sensation, non-seulement à cause de la difficulté même du sujet, mais surtout en raison de la nouveauté et du mérite de la méthode suivie. Cauchy avait rencontré en cette circonstance une de ces inspirations heureuses pour lesquelles il faut à la fois le coup d'œil sûr du génie et l'ardeur entreprenante de la jeunesse; aussi sa découverte le fit placer d'un accord unanime au rang des plus habiles géomètres.

Une autre production, non moins importante, vint, l'année suivante (1816), clore brillamment cette première période de sa carrière scientifique. L'Académie des Sciences avait proposé au concours pour le grand prix des Mathématiques la question suivante : < Établir la théorie de la propagation des ondes à la surface d'un fluide pesant d'une profondeur indéfinie. » Cauchy, au milieu de tous ses autres travaux, trouva encore le moyen de traiter la question proposée et remporta le prix par un

54 LA VJE d'aUGUSTIIT CAUCHT.

Mémoire remarquable qui a été inséré dans les recueils de l'Académie. Il avait pris pour épigraphe ce vers de Virgile :

Nosse quot lonii veniantad littora fluctus (i).

Heureuse réminiscence de ses études littéraires, qui résumait le but et la solution du problème d'une manière aussi exacte qu'élégante et ingénieuse.

Des succès aussi brillants et aussi précoces avaient signalé Cauchy à l'attention de tout le monde sayant; à peine parvenu à Tàge de vingt-sept ans^ il jouissait déjà d'une réputation que les plus habiles n'acquièrent ordinairement qu'à la longue; sa jeunesse ne faisait que la rendre plus éclatante. Les heureux présages que Lagrange avaient exprimés quelques années auparavant commençaient à se réaliser, et les géomètres avec lesquels M. Cauchy père se trouvait en rapport, lui adressaient pour son fils les plus vives félicitations. Dès l'année 1812, M. Cauchy pouvait lui écrire en leur nom : c Tu as frappé fort à la porte de l'Académie par ton dernier Mémoire sur les polyèdres. Un de ces théorèmes démontré (les théorèmes de Fermât) te l'ouvrirait toute grande. Le moment est favorable, ne le laisse pas échapper. > Legendre lui-même, le grave et sévère Legendre, avait été tellement satisfait de ses travaux en Géométrie pure, qu'il ne put s'empêcher de dire à l'auteur : c Maintenant, monsieur, vous pouvez entrer à l'Académie. > Ces paroles, dans la bouche d'un homme habituellement si froid et si réservé, prenaient une valeur toute particulière.

(i) Géorgiques, livre II, v. 108.

Les portes de l'Académie devaient en effet s'ouvrir bientôt devant Gauchy et jamais cet honneur n'avait été mieux mérité. Dès Tannée i8i3, il s'en fallut de peu que le jugement de Legendre ne reçût sa sanction. L'illustre géomètre de Turin, Lagrange, venait de mourir et laissait un héritage difficile à recueillir. La section de Géométrie, composée alors de Laplace, Biot, Legendre, Lacroix et Bossut, appelée à présenter dans la séance du 24 mai 181 3 une liste de candidats, l'arrêta dans l'ordre suivant : MM. Binet jeune, Gauchy, du Villas, Poinsot, Puissant, Ampère, Parseval-Deschênes. Dans la séance suivante, M. Poinsot réunit la majorité des suffrages et fut élu académicien. On voit que, malgré son jeune âge, Gauchy avait obtenu le second rang sur la liste, et s'il ne fut pas nommé c'est que, au scrutin, des considérations d'un autre ordre furent mises en balance avec le mérite. Les avenues de l'Institut étaient occupées par des hommes plus âgés, qui ayant d'ailleurs rendu à la science d'utiles services devaient être récompensés les premiers. L'année suivante, la mort de M. Lévêque laissait une autre place vacante. Gauchy fut de nouveau présenté, mais vit encore son élection ajournée par les mêmes motifs. Quant à ses droits et à la supériorité de ses titres, personne ne les mettait en doute, et ils étaient reconnus par ceux-là même qui appuyaient d'autres candidats. Deux lettres, retrouvées dans les papiers de famille, en sont une preuve irrécusable. La première est de Guvier à l'adresse du chancelier Dambray :

€ Monseigneur, le jeune M. Gauchy, pour lequel Votre Excellence a bien voulu m'écrire, est en effet l'un de nos géomètres les plus distingués. Son talent est attesté par les grands maîtres de la science et il n'est pas douteux que la Glasse ne fasse en lui une excellente acquisition.

56 LA VIE d'augustiit cauchy.

L'intérêt que Votre Excellence y prend, ajoute infiniment au désir que j'avais de le voir bientôt parmi nous, désir que partagent au reste unanimement mes confrères, ceux mêmes qui, dans le concours actuel, pourraient vouloir faire passer avant lui quelqu'un de ses rivaux.

J'ai l'honneur, etc.