SES TRA.VAUX SCIENTIFIQUES
La théorie des séries se présente d'abord comme la base et le point de départ de ses principaux: travaux; D'est donc le premier sujet qu'il convient d'examiner.
La connaissance et l'usage des séries remonte trës-loin dans l'histoire des sciences. Les géomètres de l'antiquité en faisaient un usage continuel dans leurs investigations, et, à vrai dire, le premier homme qui s'occupa de l'art de compter inventa la première série. La suite naturelle des nombres entiers n'est pas autre chose, en effet, qu'une série, et la théorie de la numération est une des questions les plus utiles et les plus délicates que les anciens calculateurs aient eu à traiter. Toutefois, pour rencontrer des applications d'un ordre plus élevé, il faut arriver jusqu'à Ârchimède; c'est à lui qu'on doit la sommation des progressions, l'étude des propriétés de la spirale, la mesure du segment parabolique, celle du volume de la pyramide , et encore la détermination du rapport de la circonférence au diamètre. L'importance de ces premiers résultats aurait dû montrer dès lors tout le profit qu'on pouvait tirer de l'étude de cette branche naissante de l'analyse, mais Ârchimède ne fut pas compris de ses contemporains et se vit même en butte à leurs contradictions. Les sophistes de son temps allèrent jusqu'à accuser ses méthodes de fausseté. Leurs principales objections portaient sur l'introduction de la notion de l'infini dans les raisonnements, et le singulier paradoxe d'Achille aux pieds légers^ poursuivant une tortue sans pouvoir jamais l'atteindre, donne une idée des arguments peu judicieux qu'on lui opposait.
Toutefois des objections plus sérieuses, auxquelles on ne savait pas répondre avec assez de netteté, inquiétaient les savants et retardèrent pendant des siècles les progrès de l'analyse. C'est au xvii® siècle seulement qu'on reprit
1^4 l'A VIE d'aUGUSTIN CAUCHT.
Fétude des séries, et on sera peut-être moins étonné de voir la science arrêtée par des difficultés mal fondées, lorsqu'on apprendra combien cette importante théorie fut peu comprise par la plupart des savants modernes. La division des polynômes conduit Yiëte aux séries récurrentes; en étudiant le calcul des différences finies, Stirling et Taylor découvrent la série bien connue en analyse sous^ le nom de série de Taylor; de leur côté, Bernoulli, Euler, Leibnitz, appliquent les séries à Tétude des fonctions transcendantes, et cependant aucun ne se préoccupe de définir les conditions auxquelles doivent satisfaire les formules dont ils font usage. Le plus (souvent, il est vrai, les résultats de leurs calculs sont exacISt mais quelquefois aussi ils sont conduits à des conséquences erronées, et, lorsqu'ils rencontrent la vérité, c'est en quelque sorte par aventure et comme à leur insu. On peut donc dire que, jusqu'au commencement de ce siècle, la plus grande confusion régnait dans la théorie des séries. Gauchy entreprit le premier de remédier à ce désordre. Dans une science qui est le type des sciences exactes, il eut l'heureuse fortune de reconnaître et de combler, sous le rapport de l'exactitude, une lacune immense laissée par Newton, Leibnitz, Euler et Lagrange. C'était rendre aux savants un service des plus signalés, car les développements en séries infinies se rencontrent a chaque instant dans les questions les plus importantes des mathématiques pures ou appliquées. Il n'y a qu*un très-petit nombre de problèmes qu'on sache résoudre au moyen des formules élémentaires de l'analyse, en se bo^ nant par exemple aux fonctions algébriques ou circulaires; tous les autres conduisent à des fonctions d'un ordre plus élevé, qu'il n'est pas possible, du moins dans l'état de la science, d'étudier sous leur forme synthétiqtte
