SES TRAVAUX SCIENTIFIQUES

et complète. On est alors obligé de recourir à des développements en série, et, par ce moyen, on obtient une foule de résultats utiles.

Souvent aussi il arrive qu'une question se compose de divers éléments dont l'importance est trës-inégale; on la résout alors par des approximations successives, en tenant compte progressivement de ses divers éléments suivant leur ordre de grandeur. Dans une première approximation, on se contentera des éléments essentiels; on corrigera ensuite les résultats obtenus en se servant des éléments du second ordre, et l'on continuera ainsi jusqu'à ce qu'on ait atteint le degré d'exactitude nécessaire. Cette méthode conduit à une suite de calculs qui se développent d'après des procédés réguliers et uniformes, dont l'ensemble se rattache encore à la théorie des séries.

Mais, parmi toutes les branches des sciences mathématiques, il n'en est peut être pas où l'on fasse un emploi plus constant de ces formules que dans l'astronomie. Le problème des mouvements célestes se présente au premier abord comme étant des plus faciles. Les lois de ces mouvements ont été, depuis longtemps déjà, assignées par Kepler et Newton, et il semble que ces lois simples et élémentaires doivent donner immédiatement la solution de toutes les questions astronomiques. Toutefois, en examinant la chose de plus près, on rencontre bientôt des difficultés qui avaient échappé à un premier aperçu et qui, en s'accumulant, conduisent à des travaux immenses et à des calculs presque inextricables. Il suffit, pour en juger, de jeter un coup d'œil dans ces énormes volumes où des pages entières sont remplies par une seule formule, et où l'on trouve à chaque pas un étalage effrayant de chiffres et de notations algébriques. La raison en est cependant facile à comprendre. Si les planètes

1^6 LA VIE d' AUGUSTIN CAUCHT.

étaient complètement indépendantes les unes des antres dans le ciel, on les verrait se mouvoir en suivant exactement les lois élémentaires, et chacune décrirait autour du soleil son orbite elliptique. Mais tous les corps célestes sont solidaires; ils sont unis entre eux par les liens inTÎsibles mais trës-réels de l'attraction universelle ; on ne peut faire subir un changement à l'un d'eux sans que tous en ressentent immédiatement le contre*coap; de Ik des écarts, des perturbations^ qui modifient à chaque instant le mouvement primitif, et dont le calcul est extrêmement compliqué quand on veut avoir égard à tontes les causes dont Finfluence peut être sensible. Heureusement ces causes n'ont pas toutes la même importance; elles diminuent trës-rapidement avec la masse et la distance. Dans une première approximation, on aura donc seulement égard à l'action des astres les plus gros et les plus rapprochés; mais> si l'on veut arriver a une grande exactitude, il faut ensuite tenir compte des influences secondaires, et c'est précisément là que surgissent les difficultés.

Une condition essentielle, à laquelle doivent satisfaire les séries dont on fait usage en ces diverses circonstances, c'est d'être convergentes, c'est-à-dire de se rapprocher de plus en plus d'une limite déterminée à mesure qu'on prend un nombre de termes de plus en plus grand. On appelle, au contraire, séries divergentes celles dont les termes, en s'accumulant, donnent des sommes indéfiniment croissantes. Il en est en quelque sorte des séries comme de ces verres d'optique qui, tantôt réunissent les rayons lumineux en un foyer commun, et tantôt les dispersent en faisceaux divergents. Les séries convei^entes, seules, peuvent être appliquées avec sûreté dans les calculs. Ce n'est pas que les séries divergentes ne puissent

SES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. î 2'J

être utilisées» mais seulement dans des conditions toutes spéciales» et, si l'on s'en servait sans précaution, on tomberait dans des erreurs grossières.

Avant Gauchy cependant, personne ne s'inquiétait de cette question essentielle, et Ton adoptait avec une con* fiance aveugle les résultats vrais ou faux de théories incertaines. Il apprit le premier la nécessité de reconnaître, avant toutes choses, la convergence des séries, il signala les fautes graves auxquelles on s'exposait par cet oubli, et s'occupa de fonder cette partie de l'analyse sur des bases solides et inattaquables. Tel est l'objet de divers Mémoires présentés à l'Académie des Sciences, vers 1 8ao. Ces recherches frappèrent vivement les savants, et leur inspirèrent de véritables alarmes sur ceux de leurs travaux où il était fait usage des séries. Le grand ouvrage de la Mécanique céleste^ que Laplace venait de terminer récemment, rejposait presque en entier sur des développements de ce genre; contester la légitimité de leur emploi et convaincre quelques-uns d'erreur, c'était ébranler par la base tous les travaux du savant géomètre et remettre en question toutes ses découvertes. Laplace eut donc un moment d'effroi. On raconte qu'au sortir de la séance où Cauchy avait exposé ses premières recherches, il rentra précipitamment chez lui et n'en sortit pas avant d'avoir vérifié la convergence de ses formules. A la vérité, son génie l'avait bien inspiré, car son ouvrage était irréprochable et sortait victorieux de l'épreuve, mais une défaite était possible et tenait en définitive à peu de chose. Que l'orbite de la terre, par exemple, au lieu d'être sensiblement circulaire, eût affecté une forme un peu plus allongée, et tout l'édifice de la Mécanique céleste tombait en ruines.

Parmi les plus belles recherches de Cauchy, il faut

128 LA VIE d'aUGUSTIW CAUCHT.

compter aussi celles qu'il entreprit au sujet de la théorie des quantités imaginaires. Cette théorie est la plus extraordinaire et en même temps ta plus féconde de Tanalyse. Ici le savant n'opère plus, ni sur des nombres» ni sur des quantités géométriques, ni même sur des quantités algébriques de valeur arbitraire» mais uniquement sur des signes et de purs symboles. Les expressions ima* ginaires en effet» auxquelles on donne quelquefois improprement le nom de quantités, ne sont autre chose que des symboles abstraits, n'ayant absolument aucun sens par eux-mêmes ; et cependant, en les combinant suivant des lois déterminées, en les soumettant à une sorte d'analyse mécanique, on déduit, pour les quantités réelles elles-mêmes, des résultats d'une grande importance, qu'on chercherait vainement à démontrer de toute autre manière.

Si en littérature et en philosophie, ou dans toute autre partie des connaissances humaines, on raisonnait ainsi sur des fictions, ou si l'on essayait de tirer des conséquences de principes purement conventionnels, il est certain que les résultats obtenus inspireraient peu de confiance et qu'on ne s'arrêterait guère à des spéculations de cette nature; c'est pourtant ce que font constamment les géomètres dans l'analyse des symboles imaginaires, et le succès de leurs recherches a dépassé toute prévisiou. Il est juste d'ajouter que, dans les sciences mathématiques, on peut vérifier à chaque instant l'exactitude des formules obtenues, et que, si l'on n'avait pas cette ressource, on n'accepterait peut-être pas avec la même facilité les résultats d'une théorie qui semble au premier abord si téméraire. Avant Cauchy, la théorie des symboles imaginaires était pour ainsi dire dans renfance: c'est lui qui, le premier, introduisit dans cette branche