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épineuse des sciences mathématiques une clarté et une rigueur auparavant inconnues. Entre ses mains, les symboles imaginaires se prêtent aux transformations l<\s plus délicates et les plus variées, et deviennent le procédé de généralisation le plus puissant dont la science dispose.

A propos des imaginaires, il convient surtout de rappeler l'application qu'il en fit à l'analyse des équations algébriques. Citons, par exemple, le célèbre théorème, qu'on cherchait depuis si longtemps, sur l'existence, la nature et le nombre des racines des équations, et les diverses règles qu'il a posées pour déterminer le nombre des racines d'une équation entre des limites données, règles dont le théorème bien connu de Sturm n'est luimême qu'un cas très-particulier. Ces découvertes excitèrent vivement l'attention et l'émulation des géomètres. Cauchy y était arrivé par des considérations d'un ordre très-élevé et peu accessibles à la plupart des hommes livrés à l'étude des mathématiques; il importait donc de donner aux démonstrations une forme simple et commode afin de les faire entrer dans les éléments de la science ; c'est ce qu'entreprirent bientôt avec succès MM. Sturm et Liouville dans un de leurs plus beaux Mémoires. De son côté, Cauchy, sur la simple annonce de leur travail et avant d'avoir cqnnaissance de leur Mémoire, donna lui-même une démonstration élémentaire qui est un modèle d'élégance et de simplicité.

Cette même théorie des imaginaires lui doit encore un autre perfectionnement essentiel. Frappé de Tinconvénient de laisser à ces expressions une signification toute symbolique, il eut l'ingénieuse idée de leur attribuer une interprétation géométrique. A chaque expression imaginaire il fait correspondre un point dans un plan; à me- I. 9

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sure que les éléments varient, le point se déplace suivant une courbe, et il ne reste plus alors qu'à étudier les propriétés de ta courbe décrite en appliquant les principes ordinaires de la géométrie analytique. En définitive, la question se trouve ramenée à Tétude du mouvement d'un point dans un plan. Ce mode de représentation, que le plus illustre géomètre de l'Allemagne, Gauss, avait découvert de son côté, est devenu aujourd'hui un procédé habituel et a servi de base à une foule de travaux de la part des savants les plus distingués.

Les recherches de Cauchy sur la généralité et la périodicité des Fonctions se rapportent encore au même genre d'étude. Elles se trouvent développées dans divers travaux, parmi lesquels on doit citer en première ligne le beau Mémoire sur les Intégrales définies prises enire des limites imaginaires (i), que les hommes compétents considèrent, non-seulement comme le chef-d'œuvre du savant, mais encore comme une des plus admirables productions scientifiques de Tesprit humain. Malgré la nature tout à fait spéciale de ces recherches, je voudrais, à cause de leur importauQe exceptionnelle, essayer au moins d*en donner une idée; elles constituent certainement le plus beau titre de gloire de Cauchy, tant à cause de leur valeur propre qu'en raison de leur difficulfé et des progrès merveilleux qu'elles ont réalisés dans l'analyse.

Rappelons d'abord un fait bien connu en mathématiques. Lorsqu'on étudie des fonctions d'une certaine espèce et qu'on les compare à leurs fonctions inverser, ces dernières se présentent ordinairement avec un caractère de généralité bien supérieur à celui des fonctions

(i) Publié on août 1825.

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primitives. Ainsi, pour prendre un exemple simple, dans le cercle» un sinus est complètement déterminé par son arc ; mais le retour du sinus à l'arc donne pour ce dernier une infinité de valeurs, de sorte que le sinus se présente alors sous la forme d'une fonction périodique qui repasse une infinité de fois par les mêmes valeurs quand Tare croit indéfiniment. Les fonctions, dites Elliptiques, possèdent des propriétés tout à fait semblables, et, de plus, Abel a démontré, des 182G, qu'elles jouissent d'une double périodicité, l'une réelle et l'autre imaginaire. Considérons encore les fonctions appelées Intégrales. Celles-ci se présentent naturellement dans le calcul de l'aire des courbes, et, dans ce cas, elles ont une signification réelle et bien déterminée. Mais cette signification est-elle la seule dont elles soient susceptibles? Après l'avoir cru longtemps, les géomètres ont bien dû reconnaître qu'ils s'étaient trompés et qu'ils n'avaient envisagé qu'une face très-restreinte de la question. Assurément, la considération de ce point de vue particulier avait conduit à des résultats exacts et utiles, mais on avait limité gratuitement la généralité de l'analyse, et il en résultait, dans l'étude des fonctions, des anomalies analogues à celles qui surgissent dans la théorie des équations algébriques quand on essaye de l'établir en se bornant à l'emploi des quantités réelles et en excluant les symboles imaginaires. Telle était la lacune qu'il s'agissait de combler.

Déjà, au commencement du siècle, Laplace et d'autres savants de mérite, tels que MM. Brisson et Ostrogradski, s'étaient occupés avec succès de perfectionner l'étude des intégrales en les prenant entre des limites imaginaires; mais ils étaient bien loin d'avoir résolu définitivement la question, etCauchy, en donnant le résultat de

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ses recherches, pouvait affirmer, sans crainte d'être contredit, que < ni leur travail, ni aucun des Mémoires publiés jusqu'à ce jour, sur les diverses branches du calcnl intégral, n'avait fixé le degré de généralité que comporte une rntégrale définie prise entre des limites imaginaires, et le nombre des valeurs qu'elle peut admettre. » C'était le problème qu'il se proposait de résoudre et qu'il résolut avec une étonnante sagacité.

La matière était extrêmement délicate et difficile, aussi les savants furent longtemps avant de comprendre toute la portée et toute la fécondité des idées émises par Tillustre géomètre. En 1840, des hommes éminents, parmi lesquels on peut citer l'Allemand Eisenstein, eu étaient encore à regretter vivement que Tanalyse des fonctions fût remplie d'énigmes et de paradoxes, en apparence inex'plicables. Il était réservé aux disciples de Cauchy d'achever son œuvre en déduisant de ses décou* vertes la solution de ces étranges difficultés. C'est ce que firent, en particulier, M. Hermite, dans ses travaux sur les fonctions elliptiques; M. Puiseux, dans ses recherches sur les fonctions algébriques; et MM. Briot et Bouquet, dans leur récent ouvrage sur les fonctions doublement périodiques. La voie est maintenant tracée, et ceux qui la suivront sont assurés d'y recueillir d'abondantes moissons scientifiques.

Ce qui domine surtout dans le génie mathématique de Cauchy, c'est une puissante faculté d'invention, c'est l'art merveilleux avec lequel il savait, au milieu des complications les plus inextricables, se créer tout à coup des méthodes nouvelles. Les difficultés d'une question ne le rebutent pas; si d'autres y ont échoué avant lui, si les ressources de la science lui font défaut, il saura se fraver des routes inconnues, et souvent les problèmes les plus

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désespérés seront l'occasion de ses plus belles découvertes. Telle est en particulier l'origine du Calcul des Résidus^ qui est encore une de ses grandes créations. Ce calcul a été appliqué par lui successivement à l'étude d'une foule de questions d'un ordre très-élevé; à l'analyse des séries, puis à la mécanique moléculaire, à la mécanique céleste, à l'optique et aux diverses branches de la physique mathématique. Il n'est pas possible de donner ici une idée, même sommaire, de ce merveilleux calcul, mais il n'en élait pas moins nécessaire de le signaler comme une des méthodes qui ont le plus contribué aux progrès de l'analyse. Un habile mathématicien écrivait en 1827, au sujet du Calculées Résidas : t Je suis sûr qu'en dépit de l'envie, ce calcul restera comme l'une des méthodes les plus simples et les plus générales que les géomètres aient inventées. >

Il ne faudrail pas croire que les recherches de Cauchy, en analyse, fussent de pures spéculations dont le principal mérite serait celui de la difficulté vaincue; c'est, au contraire^ un caractère très-remarquable de ses méthodes que, presque toujours, elles sont devenues pour les savants des instruments précieux pour perfectionner et étendre pratiquement le domaine des sciences appliquées. On doit dire, du reste, qu'il en est toujours ainsi des découvertes théoriques réellement sérieuses. Il y a entre les lois abstraites des quantités et les lois concrètes des phénomènes naturels, une intime correspondance et une harmonie parfaite. Quelquefois l'étude de la science pure précède les applications, mais souvent aussi l'étude de la nature se présente la première et détermine ensuite les progrès des théories mathématiques; c'est même à l'occasion de l'étude du monde physique que les plus grandes découvertes analytiques ont élé réalisées. La

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nécessité de faciliter les immenses calculs des observations astronomiques a conduit Napier à la découverte des logarithmes; Tétude des mouvements célestes a fait trouver à Newton les méthodes du calcul infiDitésimal; Laplace, en approfondissant les difficiles problèmes de la Mécanique céleste , a perfectionné plusieurs parties essentielles de l'analyse ; au commencement de ce siècle, Fourier et Poisson, en étudiant les lois de la chaleur et des actions moléculaires, ont enrichi la science de méthodes nouvelles; c'est enfin en essayant de résoudre certaines questions de physique et de mécanique appliquée que les savants de notre époque ont été amenés à étudier avec tant de soin la théorie capitale des Fonctions elliptiques.

Ailleurs» au contraire, ce sont les spéculations abstraites qui se présenteront les premières dans Tordre des temps. On verra, pendant de longues générations, les géomètres occupés à scruter les combinaisons des nombres et les propriétés des figures; des siècles passeront avant qu'on rencontre l'application de leurs subtiles inventions; on se demandera à quoi peuvent servir. tant d'investigations curieuses, et quelle peut être l'utilité de ces beaux théorèmes, de ces profondes analyses ; enfin, on sera plus porté à admirer le génie des inventeurs qu'à estimer la valeur même de leurs découvertes. Mais un jour viendra où le physicien, désorienté au milieu de la multiplicité des phénomènes, interrogera en vain les forces et les causes de la nature; où l'ingénieur, surpris par des difficultés inattendues, demandera à l'analyse le secret de ses machines ; où l'astronome, perdu dans la complication inextricable de ses formules, implorera une main secourable qui lui vienne en aide et lui offre un fil conducteur dans le labyrinthe de ses interminables calculs.

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Ce sera te moment du triomphe des géomètres adonnés à Tétude de la science pure. On cessera de dédaigner leurs patientes recherches, et on viendra leur emprunter avec reconnaissance leurs méthodes et leurs procédés de calcul. Les propriétés des sections coniques avaient été étudiées avec une remarquable persévérance depuis les temps anciens, mais sans utilité pratique, lorsque Kepler vint révéler les relations inattendues de ces courbes avec les orbites planétaires; il s'est ainsi trouvé que, par une disposition en quelque sorte providentielle, Apollonius et ses successeurs, depuis près de deux mille ans, préparaient par leurs travaux spéculatifs les progrès futurs de l'Astronomie. Quelle théorie a essuyé plus de critiques que celle dont l'objet est l'étude des propriétés des nombres? Depuis Diophante jusqu'à Fermât, depuis les Indiens jusqu'aux modernes, les analystes s'en occupaient sans relâche, mais sans résultat apparent. Aujourd'hui cependant cette théorie est une de celles qui rendent le plus de services dans les sciences appliquées. L'étude de la Mécanique moléculaire, en particulier, lui doit des perfectionnements considérables, c Cette étude, dit un géomètre éminent (i), serait superficielle et incomplète si l'on n'avait pas recours aux propriétés des formes quadratiques des nombres entiers; à cette Théorie des Nombres^ si souvent anathématisée par les détracteurs de la science pure, par les praticiens exclusifs. > On voit, par ces exemples, avec quelle précaution il faut juger les travaux spéculatifs, et de quelle réserve il faut user avant de les condamner comme inutiles.

Ces réflexions s'appliquent également aux travaux de Cauchy. La tendance naturelle de son esprit le portait de

(i) M. Lamé, Leçons sur l'élasticité des corps solides.

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préférence vers les recherches abstraites, vers les régions élevées de la science. Il semblera d'abord exclusiv^ ment occupé de pénétrer les subtiles combinaisons des nombres et des symboles algébriques , mais bientôt il descendra aux applications ; le géomètre paraîtra avec ses Modules, avec ses Résidus, avec tous les instruments de sa mystérieuse algèbre ; son génie lui fera apercevoir, des le premier abord, les analogies et les harmonies cachées qui existent entre ses recherches et les lois des phénomènes naturels; quelques jours de méditation, quelques pages de calcul lui sufliront pour vaincre les difficultés, et les savants, tout a Theure désespérés de l'inutilité de leurs efforts, applaudiront avec enthousiasme aux découvertes du géomètre.

Parmi les circonstances où Cauchy montra le degré de puissance où l'analyse pouvait atteindre entre ses mains, il n'en est peut-être point de plus remarquable, ni qui ait produit une plus vive sensation, que celle où il fut amené à perfectionner les méthodes de calcul en astronomie. Ses principales recherches à ce sujet remontent à l'année i84o, à l'époque où il venait d'être élu Membre du Bureau des Longitudes. M. Le Verrier, dont les travaux astronomiques sont connus de tout le monde savant, avait présenté à l'Académie un grand Mémoire sur la planète Pallas. La théorie des mouvements de cet astre laissait beaucoup à désirer, et M.' Le Verrier avait entrepris d*en faire une étude plus approfondie; mais il se servait pour cet objet des seules méthodes alors en usage, et était ainsi conduit à des calculs d^une complication extrême. Dès lors, comment vérifier les résultats de l'astronome et contrôler sa théorie? Quel serait l'académicien assez dévoué et assez habile pour entreprendre cette lourde tâche? Dans la plupart des cas, il est facile

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à UD savant exercé de juger les Mémoires soumis à sou examen ; il aura bientôt vu et apprécié la méthode de l'auteur, il mettra en évidence les résultats principaux, et, au moyen de quelques vérifications, ordinairement assez simples, il lui sera aisé d'en contrôler l'exactitude. Les méthodes employées dans le Mémoire sur Pallas étaient bien connues; d'un autre côté les résultats étaient faciles à saisir, car ils se réduisaient en définitive à un certain nombre d'éléments numériques, propres à la construction des tables astronomiques ; mais il n'en était pas de même de leur vérification. Pour s'assurer de leur exactitude, il fallait suivre Fauteur pas à pas et refaire a\èc lui tous ses calculs; il fallait en deux mots recommencer son travail tout entier. En pareille circonstance, TÂcadémie se borne ordinairement à accueillir les travaux; elle laisse aux savants le soin de se contrôler mutuellement, et ne tient les résultats pour complètement acquis que lorsque divers savants sont arrivés aux mêmes conséquences par des méthodes différentes. On comprend tout ce qu'une telle manière de procéder a de fâcheux ; les questions les plus importantes sont ainsi exposées à demeurer indéfiniment en suspens, au grand détriment de la science. Cette fois du moins, les choses se passèrent autrement. Cauchy fut chargé de l'examen du Mémoire; il se mit aussitôt à l'œuvre, et déploya dans ce travail toutes les ressources de son inépuisable talent. Il tenait d'ailleurs à justifier l'élection récente dont il venait d'être l'objet, et à l'égard de laquelle le refus du serment politique lui suscitait tant d'ennuis. Il accepta le fardeau sans hésiter, et bientôt il reparut à l'Académie avec le résultat complet de ses recherches. Refaire tous les calculs, était une marche impraticable à laquelle il ûe fallait pas s'arrêter. Cauchy le comprit, et sa pre-

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miëre pensée fut de rechercher des procédés plus directs. Il retrouva dans cette circonstance toute sa vigueur et son initiative de jeune homme, lorsque, trente ans auparavant, il devinait, par une intuition de génie, la démonstration des théorèmes d'Euclide et de Fermât. Mais il y a plus; il s'était d'abord uniquement préoccupé de vérifier un Mémoire d'astronomie, et en même temps il découvrait des méthodes nouvelles destinées , par leur importance, à produire dans la science astronomique une véritable révolution.

Complétons cet exposé sommaire par quelques réflexions sur un caractère particulier des travaux scientifiques de Cauchy.

L'Analyse et la Géométrie sont les deux instruments essentiels des recherches mathématiques; le premier permet de découvrir les propriétés et les lois des quantités considérées à un point de vue général et abstrait; le second permet de poursuivre la réalisation et l'appii- . cation de ces lois dans l'étude de l'étendue figurée. De là, deux méthodes principales dont les savants se servent habituellement dans leurs recherches, recourant tantôt à l'une et tantôt à l'autre, suivant la nature du sujet et In tournure propre de leur esprit; méthodes qui ont des liens intimes et se prêtent sans cesse un mutuel appui. Cependant, si l'on compare leur influence sur le progrès des sciences, il n'est pas douteux que la méthode analytique ne possède un avantage très-réel. Cestelle qui a présidé aux grandes découvertes des temps modernes, et quia communiqué à l'étude des sciences exactes cette puissante impulsion dont nous recueillons, depuis bientôt deux siècles, les fruits merveilleux. On peut certainement réaliser dans le domaine de la Géométrie pure des inventions vraiment neuves; on doit même ajouter que,

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omme inoyen d'exposition, les procédés géométriques Qt une évidence, une simplicité, une élégance, souvent upérieure à celle des procédés analytiques. Mais enfin, 1 n'est pas impossible de communiquer ces précieuses [ualités à l'Analyse elle-même, et cette dernière conservera toujours une prééminence incontestable lorsqu'il Vagira d'aborder l'étude de problèmes tout à fait nouveaux. L'Analyse constitue dans les sciences mathématiques la véritable méthode d'invention, et c'est en cela surtout que réside sa supériorité.

Dans la plupart de ses travaux, Cauchy a fait un usage presque exclusif de la méthode analytique, et c'est dans les recherches de ce genre qu'il a obtenu ses plus beaux triomphes. Il ne dédaignait pas cependant les recherches géométriques, et, à diverses époques de sa vie, il a montré que dans cette voie il pouvait également prétendre à un rang éminent. Ses premiers travaux, ceux qui attirèrent sur lui, à l'origine de sa carrière, l'attention des savants, étaient de l'ordre géométrique; plus tard, lorsqu'il faudra préciser les lois des séries, interpréter les symboles imaginaires ou restituer à la théorie des Fonctions toute sa généralité , c'est encore à la Géométrie qu'il aura recours; enfin, dans tous ses travaux on le Terra employer parallèlement les deux méthodes. Par l'ensemble de ses divers ouvrages il a mérité, mieux que personne, cette dénomination de Géomètre, par laquelle on a coutume de désigner les hommes qui embrassent ^ns leurs études toutes les branches des Mathématiques pures.

Un seul nom peut lui être comparé à notre époque, c'est celui de l'illustre Gauss, son contemporain et son émule. A cause de la similitude que présente leur brillante carrière scientifique, il ne sera pas sans intérêt de

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rapprocher un moment les figures de ces deux hommes illustres. Né à Brunswick, en 1777, Gauss» de même que Cauchy, s'était fait connaître de bonne heure par des travaux de premier ordre. Dès la fin du siècle dernier, à Tàge de vingdeux ans, il publiait de savants Mémoires d'analyse. Deux ans plus tard, il donnait son célèbre traité des Disquisitiones Ariihmeiicœ, qui a renouvelé l'Arithmétique transcendante ; devenu, en 1807, professeur d'astronomie à Gœttingue,il mettait bientôt au jour son ouvrage classique : Theoria motûs corpqrum cœlestium. En même temps il s occupait avec succès de Tétude de la Physique, et ses recherches sur le magnétisme sont demeurées justement célèbres. Il put ainsi réunir a la fois dans sa personne les trois titres glorieux de Géomètre, d'Astronome et de Physicien. Ce sont précisément ceox que les savants ont décernés à Cauchy. Nous avons déjà parlé des travaux de ce dernier comme géomètre et comme astronome, et nous essayerons tout à l'heure de donner une idée des services qu'il a rendus à la physique et à la mécanique. Il ne nous appartient pas de nous prononcer sur le mérite personnel de ces deux grands génie8i sur l'importance et la fécondité de leurs découvertes; qu'il nous soit permis seulement d'exprimer ici une opi* nion, en nous faisant l'écho des hommes les plus compétents, et de dire que, si sur certains points, sur la théorie des Nombres, par exemple, Gauss a un avantage marqué, Cauchy reprend une supériorité incontestable dans set recherches sur les Fonctions. Personne avant lui D*aYait pénétré aussi loin dans les profondeurs de l'Analyse pure* et n'avait déployé une telle sagacité dans les régions abstraites de la science. Sous ce rapport, il est sans rival. -

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