CHAPITRE VI. — Séries

Sommaire. — Défauts et lacunes des anciennes théories. — Leibnitz. Euler, Laplace. — Recherches de Cauchy. — Emploi des intégrales définies et des symboles imaginaires pour établir rigoureusement les règles relatives à la convergence des séries t

Mémoires. — Développements en séries ; règles de convergence. — Sur la convergence des séries et les limites des restes. — Application du calcul des résidus à la théorie des séries. — Étude des séries qui servent à représenter les racines des équations algébriques et les intégrales des équations différentielles. — Sur les divers modes de développement des fonctions en séries. — Méthode logarithmique. — Séries syntagmatiques. — Série de Lagrange. — Séries multiples, prolongées, divergentes. — Fac-

.Yation, qu'il possédait une méthode pour décomposer directement en deux carrés un nombre premier de la forme %n + I . Dans son Mémoire sur les résidus quadratiquea, en 1825, Gauss donna une règle au moyeu de laquelle on peut obtenir la racine de l'un des deux carrés dans lesquels se décompose un nombre premier de cette forme. îl suflSt pour cela de chercher le plus petit reste qu'on obtient en divisant par n la moitié du coefficient du terme moyen dans le développement de la puissance 2n du binôme. Jacobi retrouva ensuite la règle de Gauss au moyen d'une théorie très-générale qui conduisait à d'autres résaltats du même genre. Ainsi, par exemple, il a démontré que le nombre premier/?, ou son quadruple 4/^, peut se réduire à la forme quadratique x^ -h 'jy^ quand /? — i est divisible par 7, ou à la forme x^-h 2'jy^ quand p— i est divisible par 3. Parmi les divers résultats auxquels Cauchy est parvenu de son côté, on remarquera surtout le suivant : Si n est un nombre premier de la forme 4^ -+• 3, et p un nombre premier de la forme zia? +- r, on peut résoudre directement en nombres entiers les équations :

X* -4- ny* = jy",

mayantune valeur qui se déduit simplement des nombres de Bernoulli: ce sera le double du plus petit nombre entier équivalent, abstraction faite du signe, et suivant le module n, a celui des nombres de Bernoulli dont le rang est représenté par le quart de n -h i. Plus tard, il généralisa ainsi ce résultat : Supposons que n, représentant toujours un diviseur impair de/? — i , soit encore de la forme 4^ H- 3, mais cesse d'être un nombre premier; soit d'ailleurs h l'un quelconque des nombres

XXII TRAVAUX d'aUGUSTIN CArCHY.