CHAPITRE IL

Sommaire. — Recherches sur les polyèdres el la Géométrie pure. — Théorie des surfaces du second degré. — Géométrie infinitésimale. — / •' Synthèse algébrique. — Applications de l’Analyse à la Géométrie.

Mémoires. — Polygones et polyèdres. — Géométrie analytique. — Rectifications, quadratures , etc. — Questions diverses et Rapports.

t SOMMAIRE.

Les premières recherches géométriques de Cauchy se rapportent à la théorie des polyèdres. Dans ses Mémoires de 1811, il s’était proposé d’établir d’une manière complète les conditions d’égalité et de similitude des polyèdres, question difficile qui avait arrêté, avant lui, des savants éminents. Il avait été ainsi conduit à plusieurs théorèmes importants, parmi lesquelson remarque celui qui est la généralisation du théorème d’Euler sur le nombre des sommets, des faces et des arêtes. Plus tard, il compléta cette étude, en démontrant plusieurs autres propriétés utiles des polyèdres, notamment celles qui concernent leurs projections sur des plans.

, En Géométrie Analytique, on trouvera d’abord une nouvelle méthode pour la discussion des lignes et des surfaces du second ordre; puis une analyse détaillée des formules qui servent pour le changement des axes de coordonnées et des variables. En Géométrie Infinitésimale, on remarquera un ensemble de recherches intéressantes

J 4 TRAVAUX d’aUGUSTIN CAUCHY.

sur les contacts des courbes et sur la théorie des rectifications et des quadratures.

Chargé par l’Académie d’examiner un travail considérable de M. Amyot sur les surfaces du second ordre, Cauchy avait été amené à réfléchir plus particulièrement sur les méthodes au moyen desquelles on peut appliquer l’Analyse à la Géométrie. Le résultat de ses recherches se trouve exposé dans une série de notes placées à la suite du Rapport académique ; elles furent en outre l'occasion d’un Mémoire sur la Synthèse algébrique, publié vers la même époque. L’Analyse appliquée à la Géométrie a, comme on sait, pour objet de représenter par des équations les figures sur lesquelles on raisonne et de ramener ainsi à des transformations algébriques la solution des problèmes de Géométrie; mais si cette méthode a l’avantage de conduire à des procédés plus uniformes, elle a, d’un autre côté, l’inconvénient de compliquer souvent les questions et de donner des solutions moins simples que celles de la méthode synthétique. Toutefois, en associant les deux méthodes, on peut, dans beaucoup de cas, arriver à des solutions aussi élégantes que par la Géométrie pure: tel est l’objet de la Synthèse algébrique. La plupart des problèmes de Géométrie plane, par exemple, se ramènent à la détermination d’un ou de plusieurs points définis par des intersections de droites ou de cercles. Cela posé, > on commencera par mettre le problème en équation; mais au lieu de résoudre directement les équations et de construire géométriquement leurs racines, on les combinera de manière à obtenir des équations nouvelles représentant des lieux géométriques simples, dont la construction suffise à la détermination des points cherchés. Ces lieux devront être, autant que possible, des droites ou des cercles, et on les obtiendra le plus souvent

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en combinant les équations par voie d’addition ou de soustraction. D’ailleurs, les équations à deux ou trois variables sont susceptibles de diverses interprétations géométriques, ce qui donne des théorèmes utiles dans les applications: on en voit des exemples nombreux dans le Mémoire dont il s’agit.

Quoique la plupart de scs travaux eussent rapport à l’Analyse pure, cependant Cauchy profilait habilement des ressources de la Géométrie. Toutes les fois que les résultats d’une théorie étaient susceptibles d’une interprétation géométrique simple, il ne manquait pas de la donner ; il en est résulté une foule de propositions qui sont éparses dans ses Mémoires et qu’il serait intéressant de trouver réunies. Je me bornerai à citer la suivante, relative aux polyèdres: « Dans un polyèdre ouvert par sa partie supérieure, le nombre des faces, augmenté du nombre des sommets, surpasse d’une unité le nombre des arêtes. » Elle est tirée d’un Mémoire qui pourra sembler, au premier abord, bien étranger à la question, car il s’agit de la discussion des éléments déterminés par un grand nombre d’observations, et de la méthode à suivre pour que la plus grande des erreurs devienne un minimum. ( Voir Éc. Pol., cah. XX, p. 1 85 . )

Ajoutons enfin que les beaux travaux de Cauchy sur la théorie des fonctions imaginaires et sur celle des fonctions inverses et doublement périodiques montrent avec quelle rare sagacité il savait se servira la fois de l’Analyse et de la Géométrie.

MÉMOIRES