CHAPITRE VII

Sommaire. — Résumé des recherches antérieures sur la théorie des équations. — Énumération des équations qu’on sait résoudre. — Détermination du nombre et des limites des racines. — Théorème de Sturm.

— Théorème de Cauchy.

Mémoires. — Théorie des équations. — Sur la résolution des équations algébriques ou transcendantes. — Sur les racines réelles ou imaginaires des équations. — Sur la nature des racines de certaines équations transcendantes. — Méthodes diverses pour la résolution des équations, fondées sur la théorie des intégrales définies, sur celle des quantités géométriques, sur les propriétés des modules des fonctions, etc. — Calcul des indices des fonctions. — Développement des racines des équations en séries convergentes. — Application du calcul des résidus à la théorie des équations. — Equations simultanées. — Elimination.

— Résolution numérique de ces équations par la méthode d’interpolation. — Théorie de l’élimination. — Questions diverses. — Ouvrages à considter.

SOMMAIRE

Le problème de la résolution des équations, envisagé dans toute sa généralité, consiste à trouver les valeurs des racines en fonction des coefficients, c’est-à-dire à déterminer desexpressions composées avec les coefficients de telle manière qu’en les substituant à la place de l’inconnue dans l’équation, celle-ci soit identiquement satisfaite; mais ce résultat n’a pu être obtenu que dans un trèspetit nombre de cas particuliers. La résolution de l’équation du second degré remonte à Diophante, et peut-être à Euclide. Dans le xvt e siècle, Scipion Ferrei, Tartaglia et Cardan trouvèrent la composition des racines pour

l’équation du troisième degré, et Louis Ferrari pour celle du quatrième. Les divers procédés donton a fait usage pour arriver aux formules finales reposent sur la considération d’une équation auxiliaire que Lagrange appel le résolvante; mais, au delà du quatrième degré, la résolvante est d’un degré supérieur à celui de l’équation proposée et ne peut plus servir comme moyen d’abaissement. Relativement à l’équation du cinquième degré, Abel a démontré l’impossibilité de la résoudre par des radicaux, et un géomètre anglais, M. Jerrard, a seulement établi qu’on pouvait, au moyen de transformations préalables, la ramener à la forme réduite : x s — x — a — o. Il devenait dès lors nécessaire d’introduire dans la question un élément nouveau et de changer le point de vue du problème; c’est ce que MM. Hermite et Kronecker ont fait, à la même époque, avec un rare succès, en appliquant à l’équation réduite la théorie des fonctions elliptiques (i). La composition des racines ne pouvant être obtenue directement, il restait à examiner s’il ne serait pas du moins possible de les exprimer indirectement au moyen de fonctions auxiliaires convenablement choisies, et qui dépendraient elles-mêmes des coefficients, comme delà arrive pour l’équation du troisième degré, dont on sait que les racines peuvent êtrereprésentées par des lignes trigonométriques. MM. Hermite et Kronecker se sont proposé de rechercher si une méthode analogue ne réussirait pas pour l’équation du cinquième degré, et l’on peut voir en particulier, dans le beau Mémoire de M. Hermite sur la théorie des équations modulaires, comment les racines de l’équation ré-

(i) Voir dans les Comptes rendus des séances de l 'Académie des Sciences, année i858, l’extrait d’une lettre sur ce sujet, adressée à M. Hermite par M. Léopold Kronecker.

ÉQUATIONS. 8l

duite peuvent toujours être exprimées par un groupe déterminé de fonctions elliptiques. On a donc ainsi une véritable solution analytique d’un problème difficile dont les savants s’étalent vainement occupés depuis si longtemps.

Aux équations précédentes il faut joindre les équations binômes, qui, après les recherches partielles de divers géomètres, ont été complètement résolues par Gauss, ainsi qu’on l’a vu à l’occasion de la théorie des nombres. Mais en dehors de ces équations et de celles qui s’y ramènent au moyen de certaines transformations, le problème de la résolution générale subsiste encore dans toute sa difficulté. L’objet de la théorie des équations sc limite alors à rechercher les propriétés communes aux équations des divers degrés et à établir des méthodes régulières et uniformes pour calculer, avec toute l’approximation nécessaire, les racines des équations dont les coefficients sont donnés numériquement. Sous ce rapport, les géomètres sont parvenus à une foule de résultats qui, dans les applications, suppléent convenablement à l’insuffisance de la théorie.

Leur attention s’est surtout portée sur la détermination des caractères au moyen desquels on peut reconnaître l’existence des racines réelles, leur nombre et les limites entre lesquelles elles sont comprises. On trouve déjà, sur ces questions, des règles nombreuses dans les ouvrages de Descartes, de Newton et d’Euler. Dans le célèbre traité de Lagrange on rencontre en particulier une méthode fondée sur la formation de l’équation aux carrés des différences; mais cette méthode, excellente au point de vue théorique, est habituellement impraticable à cause de la longueur des calculs.

Cauchv s’occupa à son tour de cette théorie difficile et II. ' 6

8a TRAVAUX d’aUGUSTIN CAUCHY.

y réalisa des progrès essentiels. Ainsi par exemple, dans son cours d’Analyse, NotellI, il montra que, pour séparer les racines réelles d’une équation, il suffisait, dans le cas où les coefficients sont des nombres entiers, d’employer la fonction alternée formée par le produit de toutes les différences des ràcines prises deux à deux; dès lors il n’est pas nécessaire de former l’équation complète de Lagrange, mais seulement de oonsidérer son dernier terme.

Le problèmedela résolution des équations numériques repose sur cette proposition fondamentale que : toute équation algébrique admet au moins une racine réelle ou imaginaire. Gauss avait déjà consacré à traiter ce sujet trois Mémoires différents de la plus haute importance, qui font partie des Mémoires de la Société royale de Gottingue. On y remarque avec les idées de Cauchy une liaison évidente. La représentation géométrique des quantités imaginaires, mentionnée plus haut, sert de base à Gauss, et, dans la dernière des trois démonstrations de l’illustre géomètre, la conclusion ressort de la différence des valeurs d’une intégrale double, lorsqu’on intervertit l’ordre des intégrations. C’est ici qu’on voit les deux plus grands analystes de notre époque amenés au même fait et aux mêmes circonstances de calcul, car l’intégrale double de

Gauss dépend au fond de l’intégrale simple J' dr\

mais l’auteur des Recherches arithmétiques , se contentant d’une démonstration nouvelle d’un théorème connu, surprenante par sa singularité, laisse à Cauchy, et sans y pénétrer lui-même, le vaste champ de découvertes dont il s’était ouvert l’accès.

Cauchy ne se borna pas à démontrer que le théorème est toujours vrai pour les équations algébriques de degré

quelconque, il assigna encore les conditions sous lesquelles on peut l’étendre aux équations transcendantes; il donna en outre des méthodes très-variées pour la détermination des racines, soit réelles, soit imaginaires. Ces méthodes sont fondées, les unes sur les principes de l’algèbre élémentaire, les autres sur des considérations empruntées au calcul infinitésimal.

Parmi les recherches de Cauchy sur la théorie des équations, on doit surtout remarquer celles qui ont pour objet de préciser le nombre des racines réelles ou imaginaires comprises entre des limites données. Cette question difficile exerçait depuis longtemps la sagacité des plus habiles géomètres; dès la fin du siècle dernier, Fourier, dans ses leçons d’Analyse à l’École Polytechnique, avait exposé une méthode pour déterminer une limite du nombre des racines réelles comprises entre deux nombres donnés, en se servant des dérivées successives. De son côté, Rudan fit connaître une autre règle pour la solution du problème, et même l’antériorité de sa découverte a été mise hors de doute, malgré les réclamations de Foncier, par les commissaires nommés par l’Académie des Sciences, qui se sont prononcés formellement à cet égard dans leur Rapport. Enfin, en 1829, M. Sturm réalisa un progrès décisif en publiant une méthode qui assigne, non plus une limite, mais le nombre exact des racines réelles comprises entre deux nombres donnés; de sorte que, pour achever la résolution de l’équation, il ne reste plus qu’à effectuer la séparation des racines par les moyens ordinaires. Cependant la question n’était point épuisée; la solution de M. Sturm, en particulier, ne faisait rien connaître sur les racines imaginaires. Cauchy intervint à son tour et fut assez heureux pour trouver une règle générale qui s’applique à tous les cas et qui déter-

84 TRAVAUX d’aUGUSTIN CAUCHY.

mine d’une manière complète le nombre des racines, soit réelles, soit imaginaires, comprises entre deux limites données. Cette découverte, l’une des plus brillantes qui aient été faites en Analyse, produisit une vive sensation dans le monde savant, et plusieurs géomètres éminents, parmi lesquels on doit citer surtout MM. Sturm et Liouville, s’empressèrent de la reproduire en la présentant sous une forme plus commode et plus conforme aux idées et aux notations en usage. Cauchy lui-même s’occupa plus tard d’en donner une démonstration élémentaire, mais rien n’égale la beauté et la simplicité de sa première méthode. Les propositions relatives aux racines comprises dans un contour fermé se trouvent pour la première fois dans un Mémoire présenté à l’Académie de Turin, en i83i, sur les applications du calcul des résidus et du calcul des limites. La démonstration dont il s’agit est en elfet fondée sur les propriétés des résidus, et se déduit, comme conséquence immédiate, d’une formule relative à ce genre de calcul; elle repose donc sur des considérations empruntées à l’Analyse infinitésimale, et, sous ce rapport, on peut dire qu’elle n’est point élémentaire; mais cette Analyse est aujourd’hui assez répandue pour que les notions qui s’y rapportent ne doivent pas être regardées comme appartenant à un ordre exceptionnel de difficultés. Quoi qu’il en soit, c’est là qu’il convient de recourir pour connaître la véritable méthode d’invention de l’auteur et pour contempler, en quelque sorte, la vérité dans sa source.

Parmi les diverses démonstrations du théorème de Cauchy, on doit citer : i° celle de MM. Sturm et Liouviile, Journal de M. Lio mille , t. I, p. 278; 2 0 une autre démonstration de M. Sturm, même volume, p. ago; 3° une démonstration de M. l’abbé Moigno, même jour-

nal, t. V, p. 75. Enfin on trouve dans le XXV e cahier du Journal de l'École Polytechnique un long Mémoire ayant pour objet le calcul des indices des fonctions, au moyen duquel Cauchy retrouve directement, et sans recourir au calcul intégral, les résultats qu’il avait déduits précédemment du calcul des résidus et de la théorie des intégrales définies.

Le Mémoire de Cauchy sur le calcul des résidus a paru lithographié en i 83 i, mais n’a jamais été imprimé dans son entier; on doit le regretter, car il est l’un des plus beaux etdes*plus importants que l’auteur ait publiés. Il en est résulté que la démonstration originale de Cauchy sur les racines des équations est peu connue, et il ne sera pas inutile d’en indiquer sommairement le£ traits principaux. Voici d’abord l’énoncé précis du théorème :

« Soit f {r) = o une équation algébrique à coefficients réels ou imaginaires, dans laquelle on attribue à la variable une valeur de la forme x -h y \J — 1 ; le premier membre se présentera sous la forme P 7+- Q y*— 1, P et Q désignant deux fonctions réelles et entières des variables x, y. A chaque système de valeurs de x, y considérées comme des coordonnées, correspondra un point déterminé dans un plan, et on tracera dans ce plan un contour feémé S qui ne passe par aucun des points racines de

l’équation. Le rapport ^ aura, en chaque point du contour, une valeur particulière; mais si l'on parcourt le contour, en partant d’un certain point et en avançant toujours dans le même sens, jusqu’à ce qu’on revienne au point de départ, ce rapport pourra devenir nul ou infini suivant que P ou Q seront nuis. Cela posé, soit n le

nombre de fois que le rapport ^ s’évanouit et change de

86 TRAVAUX d’aUGUSTIN CAUCHY.

signe en passant du positif au négatif, et n' le nombre de fois qu’il s’évanouit et change de signe en passant du négatif au positif, le nombre n ne sera jamais inférieur à n', et la différence n — n' sera égale au double du nombre des racines égales ou inégales de l’équation, renfermées dans le contour proposé. »

La démonstration repose sur la proposition suivante relative au calcul des résidus. « Soient#, y deux variables réelles, considérées comme représentant des coordonnées rectangulaires; r — x -\-y \/ — i une variable imaginaire; £ \ [f ( r )] l I e résidu intégral de / (r) étencfu à celles des

racines de l’équation = o qui correspondent à des

points renfermés dans un contour donné, et c le périmètre de ce contour. La valeur exacte du résidu intégral sera déterminée par l’équation

£ 1 [/< >1 H = jf V f ”) ê * '

et le module de ce résidu aura pour limite supérieure

le produit de ~ par le périmètre c et par le plus grand

des modules de / (r) qui répondent à des points situés sur ce périmètre. > Or, si l’on considère une fraction'

| et si l’on désigne par r,, r.,. . . . r,„les racines de l’équation 4 1 (r) = o comprise entre des limites données,

on a

Si l’on fait

il viendra

F|,0 + F,,,) + .... + FW =iaffi.

Si l’on pose ensuite

l’équation i|>(r) = o sera remplacée par = o, et l’on aura

F (r.) -+- F (r,) -»- — +F(r.) = — ~ f f(r)%- ds.

2tt\/—i J 0 as

De plus, le module de cette somme aura pour limite supérieure l’expression

dans laquelle A indique le plus grand module que puisse acquérir une fonction de r pour des points situés sur le contour.

On remarquera maintenant que, dans ce qui précède, la fonction F (r) est indépendante de/(r);on pourra donc lui donner telle forme qu’on voudra, pourvu qu’elle reste finie et continue. Si l’on suppose en particulier F (r) = i, la somme ci-dessus se réduit à m, nombre des racines comprises dans le contour donné, et l’on a

2 W— 1 Jo

(r) ds

Le calcul du nombre m se ramène donc à la détermination d’une intégrale définie, et l’on en déduit facilement le théorème en question.

TRAVAUX d’aUGUSTIN CAUCHY.

Cauchy suppose encore F(r) = r, et il obtient la formule suivante :

(r) -ds ds '

qui donne la somme des racines comprises dans un contour donné. On pourrait attribuer à F (r) une infinité d’autres formes et on obtiendrait autant de théorèmes correspondants, dont plusieurs offriraient sans doute de l’intérêt dans les applications; mais ce travail n’a pas encore été fait, et d’ailleurs il est malheureusement h craindre qu’une recherche de ce genre ne demeurât sans résultat, car le succès de l’analyse de Cauchy repose sur

la forme logarithmique de l’intégrale j ^—j.dr,

les propriétés ne s’étendent pas à l’intégrale plus géné-

raie

MÉMOIRES