THÉORIE DES FONCTIONS INVERSES ET PÉRIODIQUES

Sommaire. — Réflexions générales sur les difficultés que présente la détermination des fonctions inverses. — Nécessité de recourir à la considération des symboles imaginaires. — Mémoire de Cauchy sur les intégrales prises entre des limites imaginaires. — Série de nouveaux Mémoires en 1846. — Classification des fonctions. — Fonctions monodromes, monogènes, svnectiques. — Théorie des fonctions elliptiques. — Recherches de MM. Hermite, Puiseux, Briol et Bouquet.

Mémoires. — Théorie générale des fonctions. — Sur les intégrales prises suivant différentes courbes et suivant des contours fermés. — Sur les intégrales imaginaires des équations différentielles. — Sur l’inversion des intégrales. — Sur les diverses espèces d’intégrales des équations différentielles. -- Application du calcul des résidus à la théorie des fonctions périodiques inverses. — Sur les compteurs logarithmiques et sur les régulateurs. — Ouvrages à consulter.

SOMMAIRE

On dit généralement qu’une quantité est fonction d’une autre, lorsqu’il existe entre ces deux quantités une relation telle, que pour chaque valeur assignée à la seconde, la première prenne une valeur correspondante parfaitement déterminée. C’est ce qui arrive pour la plupart des fonctions élémentaires, par exemple pour les fonctions algébriques entières et pour les lignes trigonométriques. Cependant une première difficulté se présente lorsqu’on revient de la fonction proposée à la fonction inverse. Si l’on passe du carré à la racine carrée, on obtient pour

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celle-ci une valeur double. En trigonométrie, le sinus se définit sans ambiguïté au moyen de l’arc; mars si l’on remonte du sinus à l’arc, on trouve, non plus une valeur simple, mais une expression périodique renfermant une infinité de valeurs. La difficulté augmente encore quand, pour donner à l’analyse toute sa généralité, on fait usage des symboles imaginaires. On est alors conduit à des fonctions qui admettent plusieurs systèmes de valeurs périodiques, et, dans ce cas, ce n’est plus une valeur déterminée qu’il faut considérer, mais une infinité de systèmes, dont chacun comprend lui-même une infinité de valeurs particulières; dès lors la fonction se présente sous une forme vraiment indéterminée, et le sens de la première définition est tout à fait dénaturé. Il en résultait, dans l’étude des fonctions, d’étranges anomalies dont les savants s’étaient vivement préoccupés, sans arriver cependant à vaincre des obstacles qu’ils avaient fini par considérer comme insurmontables. Pour juger de leurs sentiments il cet égard, il suffira de lire un article de M. Eisenslein, de Berlin, inséré dans le Journal de M. Liouville, t. X, p. 445, qui montre l’embarras extrême où les difficultés de ce genre jetaient les Géomètres.

Si l’on veut faire d’une manière complète l’analyse des fonctions, il est indispensable de recourir à la considération des symboles imaginaires, dont l’utilité se manifeste déjà pour les fonctions élémentaires. Ainsi, par exemple, en trigonométrie, on peut étudier les propriétés du sinus, de la tangente, etc., au moyen des variables réelles dans le cercle; mais, au point de vue de l’Analyse, cette étude serait tout à fait insuffisante; elle laisserait de côté une foule de propriétés essentielles et ne ferait point connaître les relations intimes qui existent entre les lignes trigonométriques et les exponentielles imaginaires.

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relations qui jouent un rôle capital dans un grand nombre de théories.

Dès l’année 1825, les belles recherches de Cauchy sur les intégrales définies, prises entre des limites imaginaires, avaient montré tout l’avantage qu’on peut retirer des symboles imaginaires pour l’analyse des fonctions; toutefois, à cette époque, il ne s’était point préoccupé de donner à sa méthode l’extension dont elle était susceptible; c’est seulement en 1846 que son attention fut attirée de nouveau sur cette question. On trouvera le résumé de ses recherches dans une série de Mémoires qui font partie du tome XXIII des Comptes rendus des séances de l' Academie des Sciences.

« On connaît, dit Cauchy, le rôle important que jouent les expressions imaginaires, non-seulement dans la résolution des équations algébriques ou transcendantes, mais encore dans un grand nombre d’autres problèmes. Ainsi, par exemple, c’est en considérant les valeurs imaginaires d’une variable que l’on parvient à la condition de convergence de la série qui représente le développement d’une fonction suivant les puissances ascendantes de la variable; c’est aussi sur le passage du réel à l’imaginaire que repose, dans le calcul des résidus, l’établissement des formules générales propres à la transformation, ou même à la détermination d’un très-grand nombre d’intégrales définies. Il était donc naturel dépenser que, dans la théorie des équations différentielles, des résultats nouveaux et inattendus devraient sortir de la considération directe des intégrales imaginaires, non pas restreinte à quelques cas particuliers déjà traités par les Géomètres, mais étendue à tous les cas possibles. C’est en effet ce qui arrive. Ayant dirigé mes recherches de ce côté, je suis parvenu, non-seulement à porter la lumière dans des

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questions délicates qui n’avaient pas été suffisamment éclaircies, mais encore à établir des théorèmes nouveaux, qui, en raison de leur généralité, me paraissent dignes d’attention. »

Un premier point à établir, c’est la définition précise de ce qu’il faut entendre par la valeur, ou plutôt par le» valeurs d’une fonction imaginaire. Cauchy étend à ces fonctions les considérations dont il s’est déjà servi pour représenter les symboles imaginaires. Soit

une-variable imaginaire, et

une fonction de cette variable. P et Q pourront être considérés comme les affixes d’un certain point <p dans le plan des coordonnées. Si a;, y varient d’une manière continue, le point y parcourra dans le plan une certaine courbe, et le mouvement de ce point servira à étudier les propriétés de la l'onction elle-même. Toutefois, pour que cette étude puisse se faire utilement, il faut que les fonctions P et Q satisfassent à certaines conditions. En particulier, pour que l’analogie se maintienne entre les fonctions réelles et les fonctions imaginaires, il ne suffit pas que la fonction <p soit déterminée pour chaque valeur de la variable, il faut encore qu’il en soit de même de la dérivée. Or cette dérivée dépend en général du coefficient

qui est, de sa nature, complètement arbitraire; et,

si l’on exprime qu’elle en est indépendante, on trouve que les fonctions P et Q doivent satisfaire à une même équation aux dérivées partielles :

• dx 2 ~ l dy* X> '

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Cette relation fondamentale établit immédiatement l'existence d’une série de propriétés communes aux fonctions imaginaires quelle que soit leur origine, et les sépare de celles qui sont complètement indéterminées.

Voici du reste comment Cauchy classe les fonctions. Si les variations d’une fonction f sont telles que P et Q varient d’une manière continue, on dit que la fonction est elle-même continue. Si le point qui représente la fonction reprend dans le plan la même position, en même temps que le point qui représente la variable, on dit qu’elle est, en outre, monodrorne. Si, de plus, la dérivée n’admet qu’une valeur en chaque point, on dit encore que la fonction est monogène. Une fonction peut être monodrorne sans être monogène ou continue, et réciproquement. Si la fonction est à la fois finie, continue, monodrorne et monogène, on dit qu’elle est synectique. Enfin il convient de remarquer qu’une fonction peut être synectique dans toute l’étendue du plan, ou seulement dans une région limitée. Les nouvelles recherches de Cauchy frappèrent vivement les géomètres et furent, de leur part, l’objet d’une foule de travaux et de commentaires. Nous allons signaler les principaux.

» Citons d’abord ceux qui concernent la théorie des fonctions elliptiques. Cette célèbre théorie remonte au siècle dernier; Legendre en fit l’objet d*une étude persévérante pendant près de quarante ans. Cependant son grand Traité des fonctions elliptiques est incomplet, en raison surtout de ce que l’auteur ne connaissait pas la propriété essentielle de ces fonctions, qui consiste dans leur double périodicité, l’une réelle, l’autre imaginaire. Gauss parait être le premier qui ait aperçu cette propriété caractéristique; on trouve, en effet, dans les Recherches arithmétiques, un résultat relatif à la division de la lemniscate

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qui suffit à lui seul pour montrer que l’auteur était, dès celte époque, en possession du principe de la double périodicité et, sans doute, de la plupart des résultats obtenus postérieurement par Abel et Jacobi. Toutefois Gauss nepublia rien de ses recherches sur cette matière, etc’est seulement vers i826 qu’Abel établit nettement, et pour la première fois, ce principe fondamental, qui servit de base à ses travaux et à ceux de Jacobi dans son Traité intitulé : Fundamenla nova theoriæ functionum ellipticarum. Cauchy reprit à son tour la question, mais de plus haut. Sans s’arrêter exclusivement aux fonctions elliptiques, il s’attacha à définir et à.analvser, d’une manière générale, la périodicité multiple des fonctions inverses de diverses classes d’intégrales définies qui comprennent les fonctions elliptiques comme cas particulier.

Le caractère de double périodicité est tellement important, que M. Hermite, en suivant la marche tracée par Jacobi dans ses leçons à l’ université de Kœnigsberg, a pu le prendre pour point de départ d’une théorie spéciale des fonctions elliptiques et établir ainsi, d’une manière directe, leurs principales propriétés. Les recherches de ce savant sont exposées dans divers Mémoires insérés aux Comptes rendus de l' Académie des Sciences, et aussi dans les Notes qui accompagnent la nouvelle édition du Traité de Calcul différentiel et tntégral de Lacroix.

Jacobi et plusieurs autres géomètres avaient établi la théorie des fonctions elliptiques en les mettant sous la forme de développements en séries; dans leur ouvragé sur les fonctions doublement périodiques, MM. Briot et Bouquet ont entrepris d’en donner une nouvelle analyse en les définissant par des équations différentielles dont elles sont les intégrales. C’est en effet sous cette formé que ces fonctions se présentent le plus habituellement