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une foule de propriétés remarquables des Iransccndanles représentées par des intégrales définies, et, par conséquent, d’une multitude de fonctiôns parmi lesquelles se trouvent comprises les fonctions elliptiques et les transcendantes abéliennes. »
Dans ses recherches antérieures, Cauchy avait supposé que la fonction sous le signe J reprenait la même valeur lorsque, après avoir parcouru une courbe entière, on revenait au point de départ. Mais rien: n’empêche d’admettre que, dans une telle intégrale, la fonction sous le
signe assujettie, si l’on veut, à varier avec x par degrés insensibles,
acquiert néanmoins des valeurs distinctes, à diverses époques où la valeur de .r redevient la môme. C’est ce qui arrivera eu particulier si la
fonction sous le signe ■J ' renferme des racines d’équations algébriques ou
transcendantes. Alors, si le point mobile parcourt plusieurs fois de suite la même courbe, lès racines comprises dans la fonction dont il s’agit pourront varier avec le nombre des révolutions qui ramèneront le point mobile à sa position primitive; de telle sorte, qu’une racine d’une équation donnée pourra se trouver remplacée, après une révolution accomplie, par une autre racine de la même équation. Par suite, la fonction sous le
signe ^ > que l’on doit supposer complètement déterminée au moment du
départ, pourra être remplacée, après une ou plusieurs révolutions, par des fonctions nouvelles. Alors aussi le nombre des révolutions pourra exercer une influence marquée sur la valeur de l’intégrale définie obtenue, et cette intégrale sera généralement elle-même une fonction de la variable .r, qui, variant avec x par degrés insensibles, pourra néanmoins, à diverses époques, acquérir diverses valeurs correspondantes à une seulp et môme valeur do x. H y a plus, si la courbe que l'on considère est formée d’une infinité de branches qui viennent toutes se couper au même point, et si dans ses révolutions le point mobile parcourt successivement toutes ces branches, les diverses valeurs de l’intégrale correspondantes à une môme valeur de x pourront être en nombre infini, et, par suite, si le nombre des révolutions reste indéterminé, la valeur de l'intégrale sera, dans certains cas, complètement indéterminée.
C. R, : 18 i(i, 2' sein., p. 702. — Sur la continuité des fonctions i/ui représentent les intégrales réelles ou imaginaires tl'un système d’équations différcnticUçS'.
C. R. : 18 Mi, a" sent., p. 729 et 779. — Sur les diverses espèces d'intégrales d’un système d’équations différentielles.
loa
, TRAVAUX d’aUGUSTJN CAUCHY. , ,
Intégrales limitées. — Intégrales rectilignes et curvilignes. — Intégrales complètes. — Sur les rapports et les différences qui existent entre les intégrales rectilignes d’un système d'équations différentielles et les intégrales complètes de ces mêmes équations.
C. R. : 1831, 1 " sem,, p. 68 , i 26 , 162 . — Mémoire sur tes fonctions irrationnelles et sur leurs intégrales définies.
C. R. : 1831, i' r sent., p. 160 . — Sur les fonctions dés variables imaginaires.
C. R. : 1831, I er sem., p. 276 , 493- — Rapport sur divers Mémoires de M. Puiscux, relatifs à la théorie des fonctions algébriques.
C. R. : 1831, i cr sem., p. 484 . — Sur les fonctions mopolypiques et monogènes.
C. R. : 1831. i* r sem., p. 44*- — Rapport sur un Mémoire de M. Hermite relatif aux fonctions à double période.
C. R. : 1831, i" sem., p. 821 . — Rapport sur un Mémoire de M. Marie relatif aux périodes des intégrales.
C. R. : 1831, i er sem., p. 910 . Sur la transformation des fonctions implicites en moyennes isotropiques, et sur les développements en séries trigonornétriques.
C. R- : 1831, 1 " sem., p. 945. — Formules générales pour la transformation des fonctions implicites en fonctions explicites.
Application à l’Astronomie.
C. R. : 1833, 1 " sem., p. 382 . — Sur la distinction et la représentation des fonctions continues ou discontinues.
C. R. : 1833, i" sem., p. 445. — Sur les rapports différentiels des quantités géométriques, et sur les intégrales synectiques des équations différentielles.
C. R. : 1833, 1 " sent., p. 65i, 713,804. — Sur les variations intégrales des fonctions .
C. R. : 1833, 1 " sem., p. 5u. — Sur ta recherche des intégrales monodromes cl monogènes d’un système d’équations différentielles.
C. R. : 1835, l*’ sem., p. 376 . — Sur la- nature des intégrales d’un système d'équations . différentielles du premier ordre.
C. R : 1855, 1 " sem , p. 878 . — Sur la transformation des. fonctions
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implicites en fonctions monodromes et monogènes, et sur les développements tle ces fonctions en séries convergentes.
C. R. : 1 8Sîi, I er sein., p. ioog. — Sur les compteurs logarithmiques ,
Application aux fonctions doublement périodiques.
C. R. : 1855, i' r sem., p. 557; 1856, a' sein., p. 26. — Rapport sur un Mémoire présenté à l’Académie par MM. Briot et Bouquet et intitulé : « Recherches sur les fonctions définies par des équations différen- v tielles ».
C. R. : 1855, i" sem., p. 787. — Note relative à un Mémoire de AI. Méruy sur les fonctions doublement périodiques.
C. R. : 1856, 1" sem „ p. 663. — Note sur un théorème de M. Puiseux relatif à la théorie des fonctions algébriques ,
C. R. : 1856, a' sem., p. i3. — Sur les fonctions monodromes et monogènes,
C. R. : 1856, 1* sem., p. 69. — • Sur la théorie des fonctions.
Sur les fondions déterminées par des équations finies. — Sur les fonctions implicites déterminées par des systèmes d’équations différentielles.
C. R. : 1857, 1 er sem., p. 849. — Sur les avantages que présente l'emploi des régulateurs dans l’analyse mathématique .
Ouvrage» à consulter.
Journal de M. Liouvilte, t. XV et XVI. — Recherches de M. Puiseux sur les propriétés des fonctions algébriques.
Journal de l’ École Polytechnique , cah. XXXVI. — Recherchos de MM. Briot et Bouquet sur les fonctions périodiques. — Le même travail a été reproduit dans un volume séparé, intitulé : Théorie des fonctions doublement périodiques, et en particulier des fonctions elliptiques.
Thèse il’ Analyse, parCu. Mérav, 1858. — Sur les. propriétés générales des racines d’équations synecliques.
Thèse (l’Analyse, par Camille Jordan, 1860. — Sur les périodes des fonctions inverses des intégrales des différentielles algébriques.
Thèse il’ Analyse, par H. Berger, 1863. — Étude, sur les fonctions des variables imaginaires, d’après Cauchy.
Thèse d’ Analyse, par H. Lairbnt, 1865.- — Sur la continuité des fonctions imaginaires, et (les séries en particulier.
I 04 TRAVAUX n' AUGUSTIN CAUCIIT.
